關于n次冪的運算

關于n次冪的運算

一、.運算不滿足結合律時的n次莎.定義a是非空組合，是a中的一個二元算子。如果運算╋滿足結合律,那么對A中任意n個元素x1,x2,…,xn,運算結果x1╋x2╋…╋xn是唯一確定的,即只要不改變x1,x2,…,xn的順序,相鄰兩個元素做運算的先后次序是無關緊要的,也即可以任意加括號而不改變運算結果,正因為如此,通常都省略括號。特別,當x1=x2=…=xn=x時,n個相同元素x作運算,其結果x1╋x2╋…╋xn是唯一確定的,稱為x的n次冪,記作xn。問題1:當運算不滿足結合律時,n次冪的運算是否有意義呢?答案是否定的。例1:設A={1,a,b,c,d},A上的二元運算╋如下表所示:容易看出,在代數(shù)系統(tǒng)(A,╋)中,運算滿足交換律且有單位元1。因為:所以運算不滿足結合律。又因為:所以a4沒有意義。我們知道,在非空集合A以及A上一個二元運算╋構成的代數(shù)系統(tǒng)(A,╋)中,如果存在單位元,則單位元是唯一存在的。進一步,當運算滿足結合律時,如果元素x存在逆元素,則x的逆元素是唯一存在的。問題2:當運算不滿足結合律時,如果一個元素有逆元存在,是否其逆元一定唯一存在呢?答案也是否定的。這里順便指出文中一處錯漏。文中說:“如果單位元、逆元存在,則它們是唯一的”。例2:設(A,╋)與例1相同。易見,a有兩個逆元b和c,b有兩個逆元a和c,c有三個逆元a、b和d,d有唯一一個逆元c。問題3:在代數(shù)系統(tǒng)(A,╋)中,如果每個元素都有唯一的逆元,那沒運算是否一定滿足結合律呢?答案是否定的。例3:設A={1,a,b,c},A上的二元運算╋如下表所示:容易看出,在代數(shù)系統(tǒng)(A,╋)中,運算滿足交換律且有單位元1,每個元素都有唯一的逆元,但運算不滿足結合律。二、結論4:“數(shù)”不可兼析取式的不可兼析取式在命題邏輯中,由文我們知道,對命題總共可以定義八個二元運算,即“合取、析取、蘊涵、等價、與否、或非、蘊涵否定、不可兼析取”,再加上一個一元運算“否定┑”,總共有九個運算。但在大多數(shù)教材中都只引入“否定┑、合取∧、析取∨、蘊涵→、等價?”等五個常用的聯(lián)結詞運算,至多如文那樣再引入“不可兼析取∨ˉˉ∨ˉ”,總共引入六個聯(lián)結詞。容易證明,“與否、或非、蘊涵和蘊涵否定”這四個運算都不滿足結合律,而“合取∧、析取∨、等價?和不可兼析取∨ˉˉ∨ˉ”都滿足結合律。設P1,P2,…,Pn是n個命題,那么:P1∧P2∧…∧Pn為真的充要條件是設P1,P2,…,Pn都為真;P1∨P2∨…∨Pn為真的充要條件是P1,P2,…,Pn中至少有一個為真。這都是與合取和析取的日常意義相吻合的。即n個命題的合取式為真,當且僅當這n個命題同時為真;n個命題的析取式為真,當且僅當這n個命題中至少有一個為真。由此我們自然地提出下列問題。問題4:P1?P2?…?Pn和P1∨ˉˉP2∨ˉˉ?Ρ1∨ˉΡ2∨ˉ?∨ˉˉPn∨ˉΡn的邏輯意義怎樣呢?對此我們有下列結論。結論1:P1?P2?…?P2m為真,當且僅當P1,P2,…,P2m中恰好有偶數(shù)個(含0個)為真。P1?P2?…?P2m+1為真,當且僅當P1,P2,…,P2m+1中恰好有奇數(shù)個為真。證明:當m=1時,直接由命題聯(lián)結詞“?”的定義可得:P1?P2為真,當且僅當P1和P2同時為真或同時為假;P1?P2?P3為真,當且僅當P1,P2和P3中三個都為真或只有一個為真,所以結論1成立。假設對m結論1成立,往證m+1的情形。因為所以,P1?P2?…?P2m?P2m+1?P2m+2為真,當且僅當P1?P2?…?P2m和P2m+1?P2m+2同時為真或同時為假。若同時為真,則由歸納假設,P1,P2,…,P2m中有偶數(shù)項為真;P2m+1,P2m+2中也有偶數(shù)項為真。因而P1,P2,…,P2m+2中也有偶數(shù)項為真。若同時為假,則由歸納法假設,P1,P2,…,P2m中有奇數(shù)項為真,P2m+1,P2m+2中也有奇數(shù)項為真,因而P1,P2,…,P2m+2中有偶數(shù)項為真。所以P1?P2?…?P2m+2為真,當且僅當P1,P2,…,P2m+2中恰好有偶數(shù)項為真。同理可證P1?P2?…?P2m+3為真,當且僅當P1,P2,…,P2m+3中恰好有奇數(shù)項為真。由歸納原理即證明了結論1。結論2:P1∨ˉˉP2∨ˉˉ?∨ˉˉPnΡ1∨ˉΡ2∨ˉ?∨ˉΡn為真,當且僅當P1,P2,…,Pn中恰好有奇數(shù)個為真。證明:對n(≥2)作數(shù)學歸納法即可。由結論1和結論2得到下列有趣的推論。推論1:推論2:由此可知,“偶數(shù)個命題的不可兼析取式”與“這偶數(shù)個命題的等價式”互為否定,這與不可兼析取是等價的否定、即P∨ˉˉQ?┑(P?Q)Ρ∨ˉQ?┑(Ρ?Q)的邏輯意義相符;但是,“奇數(shù)個命