關(guān)于代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論

關(guān)于代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論

在定義非空集時(shí)，定義代碼常序操作方法后，它具有一定的代碼結(jié)構(gòu)。在代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論中，必定要涉及到一些與“左”、“右”有關(guān)的運(yùn)算規(guī)律及相關(guān)概念。它們中的一些對(duì)“左”（“右”）能成立，對(duì)“右”（“左”）卻不一定能成立。1．分配律的成立在涉及兩種代數(shù)運(yùn)算的體系中，有其中一種運(yùn)算對(duì)另一種運(yùn)算的第一分配律和第二分配律，或稱為左分配律和右分配律。比如，對(duì)于矩陣的乘法和加法，左、右分配律皆成立。對(duì)于向量的數(shù)性積與向量的加法，左、右分配律也成立。事實(shí)上，我們?cè)诤芏嗲闆r下碰到的都是這種左、右分配律成立的事實(shí)。說明它們不一定總是成立的例子如下：設(shè)G={f/f是定義在實(shí)數(shù)集上的全體實(shí)連續(xù)函數(shù)},在G上定義代數(shù)運(yùn)算“○”和“+”為：于是（g+h）○f=g○f+h○f總成立，不管g,h,f是G中的哪三個(gè)元。然而f○（g+h）=f○g+f○h，并不是對(duì)G中的任意三元f,g,h都成立。為了看清楚這一點(diǎn)，敘述一個(gè)命題如下：命題：設(shè)f是定義在實(shí)數(shù)集上的實(shí)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y）=f(x）+f(y）,則f(x）=kx(k為不等于零的常數(shù)），證明參見文獻(xiàn)。這樣，只要f不是齊次的線性函數(shù)，則就不成立。2非一事變換我們知道，如果一個(gè)非空集G對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算構(gòu)成群，則它的每個(gè)a不但有左逆元，而且有右逆元，并且左逆元和右逆元相等。把一個(gè)集合A的全體變換放在一起，構(gòu)成一個(gè)集合規(guī)定S的代數(shù)運(yùn)算為則S具有恒同變換ε，ε：a→a，并且對(duì)于任意τεs，有τε=ετ。但S不構(gòu)成群，是因?yàn)閷?duì)于S中非一一變換τ，沒有逆元τ-1使τ-1τ=ττ-1=ε成立。現(xiàn)在，我們把要求降低一點(diǎn)，對(duì)于非一一變換，它存在左逆元或者右逆元嗎？令G={f/f是定義x≥0上的全體實(shí)函數(shù)}τ：x→0，若0≤x≤1,x→x-1；若x>1，τ是G中的元，由于τ非一一變換，不存在τ-1∈G使τ-1τ=ττ-1=ε?，F(xiàn)在我們構(gòu)造τ的右逆元τ右-1:(或中的任一實(shí)數(shù))，若x=0,x→x+1；若x>0，則ττ右-1=ε。因此，τ存在無數(shù)個(gè)右逆元，然而τ不存在左逆元，這種情況的發(fā)生不是偶然的。定理1:S中的任何一一映射在上面定義的代數(shù)運(yùn)算下都不存在左逆元，而S中所有的非一一滿射變換在S中恒存在右逆元，且右逆元不唯一。證明：設(shè)τ是非一一映射，其左逆元設(shè)為λ，則有由于τ非一一映射，故存在x1≠x2∈A，使τ（x1）=τ（x2），于是λτ（x1）=λτ（x2），但是λτ（x1）=x1，λτ（x2）=x2，從而λτ（x1）≠λτ（x2），存在矛盾。這就是說，τ是不存在左逆元的。設(shè)τ是S的非一一的滿射變換，定義變換μ為：μ：x→x在τ變換下的逆象之一。因此，給定了非一一的滿射變換τ后，μ變換存在，但不唯一確定，且λτ=ε。3r有多個(gè)右單位元在一個(gè)無單位元的環(huán)中,左、右單位元不能同時(shí)存在,它可能不止一個(gè)左單位元而沒有右單位元,同樣也可能不止一個(gè)右單位元而沒有左單位元。譬如,所有形如的矩陣構(gòu)成一個(gè)環(huán),它無右單位元,但有無窮多個(gè)左單位元同樣,所有形如的矩陣構(gòu)成環(huán),但它沒有左單位元,而有無窮多個(gè)右單位元然而,我們有定理2。定理2：一個(gè)環(huán)R有單位元的充要條件是R只有一個(gè)右單位元（左單位元）。證明：必要性是顯然的，設(shè)eR(eL）是R的唯一的右（左）單位元，對(duì)于R的任意元a，由于所以eR+eRa-a=eR(eL+aeL-a=aL），因此，eRa=a(aaL=a）。這就是說，eR(eL）是R的左（右）單位元，故它是R的單位元。在一個(gè)有單位元的環(huán)中，每一個(gè)非零元不一定有逆元，一個(gè)元可能有幾個(gè)左逆元而沒有右逆元，同樣也可能有幾個(gè)右逆元而沒有左逆元。定理3：環(huán)R中的非零元a有逆元的充要條件是a在R中有且僅有一個(gè)右（左）逆元。證明：必要性顯然，假定非零元a只有唯一的左（右）逆元因?yàn)楣室彩莂的左(右)逆元,因而我們有,所以9也是a的右(左)逆元。4．同構(gòu)映射的同構(gòu)設(shè)G是一個(gè)群，g∈G,g在G上產(chǎn)生的右移動(dòng)Rg定義為Rg:G→G，使Rg(x）=xg。左移動(dòng)Lg定義為L(zhǎng)g:G→G，使Lg(x）=gx。若定義右移動(dòng)間的代數(shù)運(yùn)算RgRn:G→G，使RgRh(x）=Rg(Rh(x））=Rg(xh）=xhg，左移動(dòng)間的代數(shù)運(yùn)算LgLh:G→G,使LgLh(x）=Lg(Lh(x））=Lg(hx）=xhg。那么，我們可證定理4。定理4：群G的所有右移動(dòng)構(gòu)成一個(gè)群GR，左移動(dòng)構(gòu)成一個(gè)群GL。證明：我們只證左移動(dòng)構(gòu)成一個(gè)群，右移動(dòng)構(gòu)成群的證明是類似的。由定義，左移動(dòng)對(duì)運(yùn)算封閉，同時(shí)，由于Lf(LgLh）(x）=fghx，(LfLg)Lh(x）=fghx；因此，結(jié)合律成立，設(shè)G的單位元為e，則Le是左移動(dòng)的單位元，Lg的逆元是Lg-1。因而，左移動(dòng)構(gòu)成群。定理5:GL艿GR艿G。證明：只要證得GL艿G,GR艿G就行了，這里只證GL艿G,GR艿G的證明類似。作映射Φ：g→Lg，則Φ是G到GL的一個(gè)滿射，且由消去律得g≠h圯gx≠hx，即g≠h圯Lg≠Lh。因此，Φ是G到GL的一個(gè)一一映射，又Lgh(x