一類代數(shù)運算的近似環(huán)

一類代數(shù)運算的近似環(huán)

0集合r的限制在抽象代數(shù)中，環(huán)r是一組配法，可以通過替換被稱為加法的代數(shù)操作方法來交換。本文將給一個集合R規(guī)定兩個分別叫做加法和乘法的代數(shù)運算,并對這個叫做加法的代數(shù)運算進行限制,假設(shè)R對于這個叫做加法的代數(shù)運算來說不一定可交換,符號仍用“+”表示,并且當這個集合對于這兩個代數(shù)運算分別滿足一定規(guī)律時,我們稱這個集合R叫做一個近似環(huán)。a,br1.1近似環(huán)定義1假設(shè)R是一個非空集合,規(guī)定R中的兩個代數(shù)運算“+”、“×”分別叫做加法和乘法,假如:1.R對于加法“+”來說作成一個群;2.R對于乘法“×”滿足封閉性;3.這個乘法適合結(jié)合律:a×(b×c)=(a×b)×c,?a,b,c∈R;a×(b×c)=(a×b)×c,?a,b,c∈R;4.兩個分配律都成立:a×(b+c)=a×b+a×c,(b+c)×a=b×a+c×a,?a,b,c∈R,a×(b+c)=a×b+a×c,(b+c)×a=b×a+c×a,?a,b,c∈R,則稱(R,+,×)是一個近似環(huán)。定義2設(shè)(R,+,×)是一個近似環(huán),R對于加法“+”來說有唯一的單位元,我們用0來表示,并把它叫做R的近似零元;R中的每一個元a對于加法來說,存在唯一的逆元,我們用-a來表示,并把它叫做元a的近似負元。定義3設(shè)(R,+,×)是一個近似環(huán),若R對于乘法“×”有單位元,我們把它叫做R的近似單位元,并用1來表示;若R中的元a對于乘法來說存在逆元,則稱它為元a的近似逆元。例1假設(shè)R是所有2×2階可逆矩陣所做成的集合,并規(guī)定:a+b=ba,a×b=a,?a,b∈R,其中ba是普通的矩陣乘法,證明:(R,+,×)是一個近似環(huán),但不是一個環(huán)。證明顯然R對于“+”不滿足交換律,所以R不是一個環(huán)。首先,我們來證明(R,+)是一個群。1.顯然,R對于“+”來說是閉的。2.因為對?a,b,c∈R,有(a+b)+c=(ba)+c=c(ba),a+(b+c)=a+(cb)=(cb)a,c(ba)=(cb)a,(a+b)+c=(ba)+c=c(ba),a+(b+c)=a+(cb)=(cb)a,c(ba)=(cb)a,所以R對于“+”來說滿足結(jié)合律。3.設(shè)e是R中的單位矩陣,那么我們有a+e=ea=a,e+a=ae=a,a+e=ea=a,e+a=ae=a,所以e是(R,+)的單位元。4.因為對?a∈R,存在一個可逆矩陣a-1∈R,使得aa-1=a-1a=e;aa?1=a?1a=e;又因為a+a-1=a-1a=e,a-1+a=aa-1=e,a+a?1=a?1a=e,a?1+a=aa?1=e,所以a+a-1=a-1+a=e.a+a?1=a?1+a=e.所以R的任意元a對于這個加法來說有逆元a-1,所以(R,+)做成一個群。其次,因為對?a,b∈R,有a×b=a∈R,a×b=a∈R,所以R對于這個乘法來說是閉的。再次,因為對?a,b,c∈R,有(a×b)×c=a×c=a,a×(b×c)=a×b=a,(a×b)×c=a×c=a,a×(b×c)=a×b=a,所以(a×b)×c=a×(b×c),(a×b)×c=a×(b×c),即R對于這個乘法來說滿足結(jié)合律。最后,因為對?a,b,c∈R,我們有(a+b)×c=(ba)×c=ba,(a×c)+(b×c)=a+b=ba,(a+b)×c=(ba)×c=ba,(a×c)+(b×c)=a+b=ba,所以(a+b)×c=(a×c)+(b×c).(a+b)×c=(a×c)+(b×c).類似的我們可以得到c×(a+b)=(c×a)+(c×a),即R對于“+”和“×”來說滿足兩個分配律。所以(R,+,×)是一個近似環(huán),但R不是環(huán)。1.2近似環(huán)R的第i(i=1,2,3,4)型同態(tài)定義4假設(shè)“+”、“×”是集合R的兩個代數(shù)運算,ˉRRˉˉˉ上也有兩個代數(shù)運算“+”、“×”,φ是R到ˉRRˉˉˉ的滿射,若對?x,y∈R滿足:(1)φ(x+y)=φ(x)+φ(y),φ(x×y)=φ(x)×φ(y),則稱φ是R到ˉRRˉˉˉ的第1型同態(tài)滿射,并稱R與ˉRRˉˉˉ滿足第1型同態(tài)。(2)φ(x+y)=φ(x)+φ(y),φ(x×y)=φ(y)×φ(x),則稱φ是R到ˉRRˉˉˉ的第2型同態(tài)滿射,并稱R與ˉRRˉˉˉ滿足第2型同態(tài)。(3)φ(x+y)=φ(y)+φ(x),φ(x×y)=φ(x)×φ(y),則稱φ是R到ˉRRˉˉˉ的第3型同態(tài)滿射,并稱R與ˉRRˉˉˉ滿足第3型同態(tài)。(4)φ(x+y)=φ(y)+φ(x),φ(x×y)=φ(y)×φ(x),則稱φ是R到ˉRRˉˉˉ的第4型同態(tài)滿射,并稱R與ˉRRˉˉˉ滿足第4型同態(tài)。定理1假設(shè)(R,+,×)是一個近似環(huán),ˉRRˉˉˉ是一個非空集合,并規(guī)定“+”、“×”是ˉRRˉˉˉ中的兩個代數(shù)運算。若存在一個R到ˉRRˉˉˉ的滿射,使得(R,+,×)與(ˉR?+?×)(Rˉˉˉ?+?×)滿足第i(i=1,2,3,4)型同態(tài),那么ˉRRˉˉˉ也是一個近似環(huán)。證明以第2型同態(tài)為例,假設(shè)φ是R到ˉR的第2型同態(tài)。首先,我們來證明ˉR對于“+”來說做成一個群。1.對?ˉa,ˉb∈ˉR,存在a,b∈R,使得φ(a)=ˉa,φ(b)=ˉb.因為φ是第2型同態(tài),所以ˉa+ˉb=φ(a)+φ(b)=φ(a+b),因為(R,+)是一個群,所以a+b∈R,則ˉa+ˉb∈ˉR,即ˉR對于“+”來說閉的。2.對?ˉa,ˉb?ˉc∈ˉR,存在a,b,c∈R,使得又因為a+(b+c)=(a+b)+c,所以ˉa+(ˉb+ˉc)=(ˉa+ˉb)+ˉc,即ˉR對于“+”來說滿足結(jié)合律。3.對?ˉa∈ˉR,存在a∈R,使得φ(a)=ˉa.設(shè)0是R的近似零元,并設(shè)φ(0)=ˉ0∈ˉR.因為ˉa+ˉ0=φ(a)+φ(0)=φ(a+0)=φ(a)=ˉa=φ(0)+φ(a)=ˉ0+ˉa,所以ˉ0是ˉR的近似零元。4.設(shè)-a是a在R中的近似負元,并設(shè)φ(a)=ˉa,φ(-a)=ˉ-a.現(xiàn)在證明ˉ-a是ˉa在ˉR中的近似負元。因為(ˉ-a)+ˉa=φ(-a)+φ(a)=φ(-a+a)=φ(0)=ˉ0=φ(a)+φ(-a)=ˉa+(ˉ-a),又因為ˉ0是ˉR的近似零元,所以ˉ-a是ˉa的近似負元。所以(ˉR?+)是一個群。其次,我們來證明ˉR對于“×”來說是閉的。對?ˉa,ˉb∈ˉR,存在a,b∈R,使得φ(a)=ˉa,φ(b)=ˉb.又因為φ是第2型同態(tài),所以ˉa×ˉb=φ(a)×φ(b)=φ(b×a).因為R是近似環(huán),所以b×a∈R,所以ˉa×ˉb∈ˉR,即ˉR對于“×”來說是閉的。再次,我們來證明ˉR對于“×”來說滿足結(jié)合律。對?ˉa,ˉb,ˉc∈ˉR,存在a,b,c∈R,使得φ(a)=ˉa,φ(b)=ˉb,φ(c)=ˉc.因為c×(b×a)=(c×b)×a,(ˉa×ˉb)×ˉc=(φ(a)×φ(b))×φ(c)=φ(b×a)×φ(c)=φ(c×(b×a)),ˉa×(ˉb×ˉc)=φ(a)×(φ(b)×φ(c))=φ(a)×φ(c×b)=φ((c×b)×a),所以(ˉa×ˉb)×ˉc=ˉa×(ˉb×ˉc),即ˉR對于“×”來說滿足結(jié)合律。5.ˉR滿足兩個分配律。?ˉa,ˉb,ˉc∈ˉR,存在a,b,c∈R,使得φ(a)=ˉa,φ(b)=ˉb,φ(c)=ˉc.因為a×(b+c)=a×b+a×c,(ˉb+ˉc)×ˉa=(φ(b)+φ(c))×φ(a)=φ(b+c)×φ(a)=φ(a×(b+c)),ˉb×ˉa+ˉc×ˉa=φ(b)×φ(a