人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系）一元二次方程教育教學(xué)課件

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

韋達(dá)，1540

年出生于法國(guó)的波亞圖，他把符號(hào)系統(tǒng)引入代數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績(jī)，稱(chēng)他為“代數(shù)學(xué)之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2導(dǎo)入新課-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程兩根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.將二次項(xiàng)系數(shù)化為1

對(duì)于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一樣的規(guī)律嗎？講授新課對(duì)于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)Δ≥0時(shí)，設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1，x2，此時(shí)x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究結(jié)論如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為

x1，x2，那么，注意滿(mǎn)足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱(chēng)為“韋達(dá)定理”．探究結(jié)論例1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=-15．先化為一般式定理應(yīng)用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=．練習(xí)1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）3x2

+

7x

-

9=0；（2）

2x2-4x+9=0．（2）解：a=2，b=-4，c=9．

Δ

=b2-4ac

=(-4)2–4×2×9=-56<0．

∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根．（1）解：a=3，b=7，

c=-9．

Δ

=b2-4ac

=72–4×3×(-9)=157>0．

∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=-3．定理應(yīng)用例2

設(shè)

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個(gè)根，則(1)x1+x2=

，x1·x2=

．（x1+x2）2–2x1x2∴原式=42–2×1=1441(x1+1)(x2+1)=(2)求下列式子的值：x12+x22=x1x2+(x1+x2)+1∴原式=1+4+1=6定理應(yīng)用∵x1+x2=4，x1x2=1∵x1+x2=4，x1x2=1∴原式∵x1+x2=4，x1x2=1x1+x2=

４

，x1·x2=1

變式

設(shè)

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個(gè)根，求下列式子的值：(x1-x2)2

定理應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容應(yīng)用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是

x1，x2，那么，課堂小結(jié)……(x1+1)(x2+1)x12+x22(x1-x2)2