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第二十五章
概率初步25.3用頻率估計(jì)概率
情境引入投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí),結(jié)果“正面向上”的概率是多少?拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí),“正面向上”和“反面向上”發(fā)生的可能性相等。情境引入周末,縣體育館有一場(chǎng)精彩的籃球比賽,我手中有一張球票,小強(qiáng)和小明都是班上籃球迷,兩人都想去,我很為難,不知給誰(shuí),請(qǐng)大家想個(gè)辦法解決這個(gè)問(wèn)題。方案:抓間、擲硬幣等。為什么要用抓間、擲硬幣的方法呢?理由:這樣做公平。能保證小強(qiáng)和小明得到球票的可能性一樣大,即得票概率相同。情境引入不可以。也就是:當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè),或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí),我們一般還要通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率。在同樣條件下,大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),根據(jù)一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù),可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率。前面的列舉法只能在所有可能是等可能并且有限個(gè)的大前提下進(jìn)行的,如果不滿足上面二個(gè)條件,是否還可以應(yīng)用以上的方法呢?探索新知試驗(yàn)把全班同學(xué)分成10組,每組同學(xué)拋擲一枚硬幣50次,整理同學(xué)們獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù),并完成如圖所示的表格。探索新知根據(jù)上頁(yè)表中的數(shù)據(jù),在下圖中標(biāo)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。試驗(yàn)規(guī)律:探索新知可以發(fā)現(xiàn),在重復(fù)拋擲一枚硬幣時(shí),“正面向上”的頻率在0.5附近擺動(dòng)。一般地,隨著拋擲次數(shù)的增加,頻率呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性:在0.5附近擺動(dòng)的幅度會(huì)越來(lái)越小。這時(shí),我們稱“正面向上”的頻率穩(wěn)定于0.5。它與前面用列舉法得出的“正面向上”的概率是同一個(gè)數(shù)值。試驗(yàn)規(guī)律:探索新知在拋擲一枚硬幣時(shí),結(jié)果不是“正面向上”,就是“反面向上”因此,從上面的試驗(yàn)中也能得到相應(yīng)的“反面向上”的頻率。當(dāng)“正面向上”的頻率穩(wěn)定于0.5時(shí),“反面向上”的頻率也穩(wěn)定于0.5.它也與前面用列舉法得出的“反面向上”的概率是同一個(gè)數(shù)值。探索新知?dú)v史上,有些人曾做過(guò)成千上萬(wàn)次拋擲硬幣的試驗(yàn),其中一些試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)下表。探索新知實(shí)際上,從長(zhǎng)期實(shí)踐中,人們觀察到,對(duì)一般的隨機(jī)事件,在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率,總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng),顯示出一定的穩(wěn)定性。因此,我們可以通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn),用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率。探索新知從拋擲硬幣的試驗(yàn)還可以發(fā)現(xiàn),“正面向上”的概率是0.5,連續(xù)擲2次,結(jié)果不一定是“正面向上”和“反面向上”各1次;連續(xù)拋擲100次,結(jié)果也不一定是“正面向上”和“反面向上”各50次。也就是說(shuō),概率是0.5并不能保證擲2n次硬幣一定恰好有n次“正面向上”,只是當(dāng)n越來(lái)越大時(shí),正面向上的頻率會(huì)越來(lái)越穩(wěn)定于0.5??梢?jiàn),概率是針對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)而言的,大量重復(fù)試驗(yàn)反映的規(guī)律并非在每一次試驗(yàn)中都發(fā)生。探索新知問(wèn)題一:某林業(yè)部門要考察某種幼樹(shù)在一定條件下的移植成活率,應(yīng)采用什么具體做法?它能夠用列舉法求出嗎?為什么?
探索新知下表是一張模擬的統(tǒng)計(jì)表,請(qǐng)補(bǔ)全表中空缺,并完成表下的填空。從表可以發(fā)現(xiàn),隨著移植數(shù)的增加,幼樹(shù)移植成活的頻率越來(lái)越穩(wěn)定。當(dāng)移植總數(shù)為14000時(shí),成活的頻率為0.902,于是可以估計(jì)幼樹(shù)移植成活的概率為
。0.9探索新知問(wèn)題二:某水果公司以2元/kg的成本價(jià)新進(jìn)10000kg柑橘.如果公司希望這些柑橘能夠獲得利潤(rùn)5000元,那么在出售柑橘(去掉損壞的柑橘)時(shí),每千克大約定價(jià)為多少元比較合適?銷售人員首先從所有的柑橘中隨機(jī)抽取若干柑橘,進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計(jì),并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在下表中。請(qǐng)你幫忙完成此表。探索新知統(tǒng)計(jì)表如下:填完表后,從表可以看出,隨著柑橘質(zhì)量的增加,柑橘損壞的頻率越來(lái)越穩(wěn)定。柑橘總質(zhì)量為500kg時(shí)的損壞頻率為0.103,于是可以估計(jì)柑橘損壞的概率為0.1(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)。由此可知,柑橘完好的概率為0.9。探索新知
小結(jié)用頻率估計(jì)概率:一般地,在大量重復(fù)試驗(yàn)中,如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某一個(gè)常數(shù)p的附近,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=p。其中0≤p≤1。通過(guò)試驗(yàn)的方法去估計(jì)一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率時(shí),試驗(yàn)次數(shù)越多,估計(jì)的效果就越好,但是頻率不能替代概率。小結(jié)3.
概率是對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)而言的,大量試驗(yàn)反映的規(guī)律并非在每一次試驗(yàn)中一定出現(xiàn)。4.
用頻率估計(jì)概率是求概率的一種方法,目前主要學(xué)習(xí)了兩種求概率的方法。知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1:用頻率估計(jì)概率。一般地,在大量重復(fù)試驗(yàn)中,如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某一個(gè)常數(shù)p的附近,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=p。其中0≤p≤1。條件是:在同等條件下,需要做大量的重復(fù)試驗(yàn)。關(guān)鍵是:通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)找出頻率的穩(wěn)定值。知識(shí)點(diǎn)2:概率的應(yīng)用。通過(guò)計(jì)算頻率來(lái)估計(jì)概率,從而進(jìn)行計(jì)算總體的數(shù)目。課堂練習(xí)例1:在一個(gè)不透明的布袋中,紅球、黑球、白球共有若干個(gè),除顏色外,形狀、大小、質(zhì)地等完全相同,小新從布袋中隨機(jī)摸出一球,記下顏色后放回布袋中,搖勻后再隨機(jī)摸出一球,記下顏色,……如此大量摸球?qū)嶒?yàn)后,小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%,摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%,對(duì)此實(shí)驗(yàn),他總結(jié)出下列結(jié)論:①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn),摸出白球的頻率穩(wěn)定于30%,②若從布袋中任意摸出一個(gè)球,該球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是紅球。其中說(shuō)法正確的是(
)。A.①②③B.①②
C.①③D.②③B課堂練習(xí)【解析】∵在一個(gè)不透明的布袋中,紅球、黑球、白球共有若干個(gè),其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%,摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%,∴①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn),摸出白球的頻率穩(wěn)定于1-20%-50%=30%,故此選項(xiàng)正確;∵摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%,大于其他頻率,∴②從布袋中任意摸出一個(gè)球,該球是黑球的概率最大,故此選項(xiàng)正確;③若再摸球100次,不一定有20次摸出的是紅球,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤。故正確的有①②。課堂練習(xí)例2:為獲知野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)內(nèi)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,工作人員逮到該種動(dòng)物1200只,作標(biāo)記后放回。若干天后,再逮到該種動(dòng)物1000只,其中有100只作過(guò)標(biāo)記。按概率方法估算,保護(hù)區(qū)內(nèi)這種動(dòng)物有
只。12000
小練習(xí)1.在一次質(zhì)檢抽測(cè)中,隨機(jī)抽取某攤位20袋食鹽,測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為(單位:g):492,496,494,495,498,497,501,502,504,496,497,503,506,508,507,492,496,500,501,499根據(jù)以上抽測(cè)結(jié)果,任買一袋該攤位的食鹽,質(zhì)量在497.5g~501.5g之間的概率為(
)。
B小練習(xí)
小練習(xí)2.在一個(gè)暗箱里放有m個(gè)除顏色外完全相同的球,這m個(gè)球中紅球只有3個(gè)。每次將球充分搖勻后,隨機(jī)從中摸出一球,記下顏色后放回。通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到紅球的頻率在20%,由此可推算出m約為(
)。
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