北京市昌平區(qū)2023年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案

北京市昌平區(qū)2023年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案一、選擇題本題共8道小題，每小題3分，共24分。1.如圖，在一塊直角三角板中，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：∵，∴．故選：B．2.為一根輕質(zhì)杠桿的支點(diǎn)，，，處掛著重的物體．若在端施加一個豎直向上大小為的力，使杠桿在水平位置上保持靜止，則和需要滿足的關(guān)系是，那么下列式子正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】將根據(jù)等式的性質(zhì)將原式進(jìn)行變形，即可判斷．【詳解】解：由題意知，，在下列選項中：A．將兩邊同除以12得：，故此選項錯誤；B．將兩邊同除以得：，故此選項錯誤；C．將兩邊同除以得：，故此選項錯誤；B．將兩邊同除以得：，故此選項正確；故選：D．3.關(guān)于四個函數(shù)，，，的共同點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.開口向上 B.都有最低點(diǎn)C.對稱軸是軸 D.隨增大而增大【答案】C【分析】根據(jù)a值得函數(shù)圖象的開口方向，從而判定A；根據(jù)a值得函數(shù)圖象的開口方向，即可得出函數(shù)有最高點(diǎn)或電低點(diǎn)，從而判定B；根據(jù)函數(shù)的對稱軸判定C；根據(jù)函數(shù)的增減性判定D．【詳解】解：A．函數(shù)與的開口向下，函數(shù)與開口向上，故此選項不符合題意；B．函數(shù)與的開口向下，有最高點(diǎn)；函數(shù)與開口向上，有最低點(diǎn)，故此選項不符合題意；C．函數(shù)，，，的對稱軸都是y軸，故此選項符合題意；D．函數(shù)與，當(dāng)時，y隨x增大而增大，當(dāng)時，y隨x增大而減??；函數(shù)與，當(dāng)時，y隨x增大而減小，當(dāng)時，y隨x增大而增大；故此選項不符合題意．故選：C．4.為做好校園防疫工作，每日會對教室進(jìn)行藥物噴酒消毒，藥物噴灑完成后，消毒藥物在教室內(nèi)空氣中的濃度和時間滿足關(guān)系（），已知測得當(dāng)時，藥物濃度，則的值為（）A.50 B. C.5 D.15【答案】A【分析】把，代入即可．【詳解】解：∵當(dāng)時，藥物濃度，∴代入得，解得：故選：A．5.如圖，是直徑，，點(diǎn)，是圓上點(diǎn)，，，點(diǎn)是劣弧上的一點(diǎn)（不與，重合），則的長可能為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【分析】先依次求出、長，即可根據(jù)得到的范圍，最后判斷即可．【詳解】解：連接、，∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴的長可能為，故選：C．6.怎樣平移拋物線就可以得到拋物線（）A.左移1個單位長度、上移1個單位長度B.左移1個單位長度、下移1個單位長度C.右移1個單位長度、上移1個單位長度D.右移1個單位長度、下移1個單位長度【答案】B【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，即可判斷．【詳解】解：由拋物線，左移1個單位長度，下移1個單位長度，可得到拋物線，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的平移規(guī)律，熟練掌握“左加右減，上加下減”的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7.如圖，為測樓房BC的高，在距離樓房30米的A處測得樓頂?shù)难鼋菫棣?，則樓高BC為（）A.30tanα米 B.米 C.30sinα米 D.米【答案】A【詳解】在Rt△ABC中，，∴BC＝AC·tanα，即BC＝30tanα米．故選A．8.我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形，若的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，則的長為（）A.12 B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，則，再根據(jù)平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦可得，，再根據(jù)可得是等邊三角形，則，最后結(jié)合三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)M，連接，∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，，∴，∵經(jīng)過圓心O，∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵在中，，，，∴，∴，故選C．二、填空題本題共8道小題，每小題3分，共24分。9.寫出一個開口向上，過的拋物線的函數(shù)表達(dá)式______．【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)開口向上，所以，又經(jīng)過點(diǎn)，則，即可寫出一個a為正數(shù)，的解析式即可．【詳解】解：∵開口向上，∴，又經(jīng)過點(diǎn)，∴拋物線解析式為：(答案不唯一)，故答案為：(答案不唯一)10.在半徑為的圓中，的圓心角所對弧的弧長是______．【答案】【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：半徑為的圓中，的圓心角所對弧的弧長是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長，掌握弧長公式：是解題的關(guān)鍵．11.如圖，中，，以為直徑作，交于，交于．若，則______．【答案】##50度【分析】在等腰三角形中，根據(jù)三線合一可求得，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求得即可【詳解】解：∵為的直徑，∴，即，∵，∴是等腰三角形，∴，∵，∴，故答案為：12.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為，則的值為_______．【答案】0【分析】根據(jù)“正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱”即可求解.【詳解】解：∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)均關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，∴正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)亦關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，∴，故答案為：0.13.我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》總共收集了246個數(shù)學(xué)問題，這些問題的算法要比歐洲同類算法早1500年．其中有這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可以表述為：“如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，寸，寸（注：1尺＝10寸），則可得直徑的長為______寸．”【答案】26【分析】根據(jù)垂徑定理得出的長，設(shè)半徑為r寸，再利用勾股定理求解．【詳解】解：連接OA，，由垂徑定理知，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

設(shè)半徑為r寸，由勾股定理得，，即，

解得：，，

即圓的直徑為26寸．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題利用了垂徑定理和勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形求出半徑長是解題關(guān)鍵．14.如圖，在中，，，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，解，得出，進(jìn)而解，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，故答案為：．15.如圖，，分別與相切于點(diǎn)，，為的直徑，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，勾股定理求得，根據(jù)切線的性質(zhì)以及切線長定理判斷是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵為的直徑，，，∴，，∴，∴，∵是的切線，∴∴，∵，分別與相切于點(diǎn)，，∴∴是等邊三角形，∴,故答案為：．16.某快遞員負(fù)責(zé)為，，，，五個小區(qū)取送快遞，每送一個快遞收益1元，每取一個快遞收益2元，某天5個小區(qū)需要取送快遞數(shù)量下表．小區(qū)需送快遞數(shù)量需取快遞數(shù)量1561058547134（1）如果快遞員一個上午最多前往3個小區(qū)，且要求他最少送快遞30件，最少取快遞15件，寫出一種滿足條件的方案______（寫出小區(qū)編號）；（2）在（1）的條件下，如果快遞員想要在上午達(dá)到最大收益，寫出他的最優(yōu)方案______（寫出小區(qū)編號）．【答案】①.A，B，C(答案不唯一)②.A，B，E【分析】（1）根據(jù)三個小區(qū)需送快遞總數(shù)量，需取快遞總數(shù)量，求解即可；（2）先求出第個小區(qū)總收益，再比較，選擇收益最多的，且又滿足需送快遞總數(shù)量，需取快遞總數(shù)量的三個小區(qū)即可．【詳解】解：（1）∵A小區(qū)需送快遞數(shù)量15，需取快遞數(shù)量6，B小區(qū)需送快遞數(shù)量10，需取快遞數(shù)量5，C小區(qū)需送快遞數(shù)量8，需取快遞數(shù)量5，∴若前往A、B、C小區(qū)，需取快遞數(shù)量為，需取快遞數(shù)量為，∴前往A，B，C小區(qū)滿足條件，故答案為：A，B，C(答案不唯一)；（2）前往A小區(qū)收益為：(元)，前往B小區(qū)收益為：(元)，前往C小區(qū)收益為：(元)，前往D小區(qū)收益為：(元)，前往E小區(qū)收益為：(元)，∵，，，∴他的最優(yōu)方案是前往A、B、E小區(qū)收益最大，故答案為∶A，B，E．三、解答題本題共52分，第17-20題，每小題5分，第21-23題，每小題6分，第24-25題，每小題7分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.計算：．【答案】【分析】先將特殊角的三角函數(shù)值代入，再進(jìn)行化簡．【詳解】解：原式＝18.如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上，，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）寫出圖中兩對相似的三角形（相似比不為1）（2）求的值．【答案】（1），（答案不唯一）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，，再證明三角形相似即可；（2）先根據(jù)求出，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求解．【小問1詳解】∵四邊形是矩形，∴，，∴，；∵，，∴；∵，，∴．【小問2詳解】∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴．19.已知二次函數(shù)．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合圖象直接寫出自變量時，函數(shù)的最大值和最小值．【答案】（1）（2）見解析（3）函數(shù)最大值為0，最小值為．【分析】（1）利用配方法把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，由此求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象即可；（3）觀察圖象寫出函數(shù)y的取值范圍．【小問1詳解】解：∵．∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【小問2詳解】解：二次函數(shù)的圖象如圖所示：【小問3詳解】解：觀察圖象得，當(dāng)自變量時當(dāng)時，取最小值，此時，當(dāng)時，取最大值，此時，

∴當(dāng)時，．即：函數(shù)最大值為0，最小值為．20.我們在課上證明圓周角定理時，需要討論圓心與圓周角的三種不同位置分別證明，下面給出了情形（1）的證明過程，請你在情形（2）和情形（3）中選擇其一證明即可．圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．已知：如圖，在中，弧所對的圓周角是，圓心角是．求證：．情形（1）證明：如圖（1），當(dāng)圓心在的邊上時∵，∴．∵是中的外角，∴．∴．即．請你選擇情形（2）或情形（3），并證明．【答案】見解析【分析】情形（2）：延長交于點(diǎn)，連接，利用同弧所對的圓周角相等及三角形外角的性質(zhì)求解即可求得答案；情形（3）：延長交于點(diǎn)，連接，利用同弧所對的圓周角相等及三角形外角的性質(zhì)求解即可求得答案．【詳解】情形（2）：如圖2，當(dāng)圓心在的內(nèi)部時，延長交于點(diǎn)，連接，則（同弧或等弧所對的圓周角都相等），，，（三角形的一個外角等于與它不相等的兩個內(nèi)角的和），，即．情形（3）：如圖3，當(dāng)圓心在的外部時，延長交于點(diǎn)，連接，則（同弧或等弧所對的圓周角都相等），，，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），，即．21.已知：如圖，過正方形的頂點(diǎn)，，且與邊相切于點(diǎn)．點(diǎn)是與的交點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）如果正方形邊長為2，求長．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出，結(jié)合已知條件得出，即可得證；（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，設(shè),則，在中，，求得，根據(jù)，求得的長，進(jìn)而即可求解．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵∴∴，∵四邊形是正方形，∴，為的直徑，即點(diǎn)在上，∴，∴是的切線；【小問2詳解】解：如圖，連接并延長交于點(diǎn)，∵過正方形的頂點(diǎn)，，且與邊相切于點(diǎn)，∴，∴，設(shè),則，在中，解得：∴∵，∴即,解得：,∴．22.小張在學(xué)校進(jìn)行定點(diǎn)處投籃練習(xí)，籃球運(yùn)行的路徑是拋物線，籃球在小張頭正上方出手，籃球架上籃圈中心的高度是3.05米，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為米時，球心距離地面的高度為米，現(xiàn)測量第一次投籃數(shù)據(jù)如下：0246…1.833.43…請你解決以下問題：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑曲線連接；（2）若小吳在小張正前方1米處，沿正上方跳起想要阻止小張投籃（手的最大高度不小于球心高度算為成功阻止），他跳起時能摸到的最大高度為2.4米，請問小昊能否阻止此次投籃？并說明理由；（3）第二次在定點(diǎn)處投籃，籃球出手后運(yùn)行的軌跡也是拋物線，并且與第一次拋物線的形狀相同，籃球出手時和達(dá)到最高點(diǎn)時，球的位置恰好都在第一次的正上方，當(dāng)籃球運(yùn)行的水平距離是6.5米時恰好進(jìn)球（恰好進(jìn)球時籃圈中心與球心重合），問小張第二次籃球剛出手比第一次籃球剛出手時的高度高多少米？【答案】（1）見解析（2）小昊不能阻止此次投籃（3）0.275米【分析】（1）先描出點(diǎn)，，，，再用平滑曲線連接即可；（2）先求出拋物線解析式，再求出當(dāng)?shù)膟值與2.4比較即可；（3）求出當(dāng)時的y值，再用即可．【小問1詳解】解：如圖所示，【小問2詳解】解：小昊不能阻止此次投籃．理由：設(shè)拋物線解析式為，把，，代入，得，解得：，∴，當(dāng)時，則，∵，∴小昊不能阻止此次投籃．【小問3詳解】解：對于拋物線，當(dāng)時，，(米)，∵第二次在定點(diǎn)處投籃，籃球出手后運(yùn)行的軌跡也是拋物線，并且與第一次拋物線的形狀相同，籃球出手時和達(dá)到最高點(diǎn)時，球的位置恰好都在第一次的正上方，∴小張第二次籃球剛出手比第一次籃球剛出手時的高度高0.275米．23.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，（點(diǎn)，不重合）在拋物線（）上．（1）當(dāng)時，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①若，則的值為______；②已知二次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】（1）（2）①；②或【分析】（1）先將代入拋物線，然后再化成頂點(diǎn)式即可解答；（2）①先分別求得，再根據(jù)得到關(guān)于a的分式方程求得a的值，再看是否與B、C重合即可解答；先求得拋物線的對稱軸為，然后分和兩種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對稱性即可解答．【小問1詳解】解：將代入拋物線可得：．所以二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【小問2詳解】解:①將代入可得：將代入可得：∵∴解得：經(jīng)檢驗：是分式方程的解∴當(dāng)時，∵∴點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，故，即；②二次函數(shù)的對稱軸為，即當(dāng)時，，二次函數(shù)圖像開口向上，當(dāng)時，y隨x的增大而增大由軸對稱可得點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為∵∴，即當(dāng)時，，二次函數(shù)圖像開口向下，當(dāng)時，y隨x的增大而增大由軸對稱可得點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為∵∴，即綜上，或，即或．24.如圖，在中，，點(diǎn)在上，，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線分別交，于，．（1）依題意補(bǔ)