浙江省岱山縣大衢中學2022-2023學年高三數(shù)學試題月考試題

浙江省岱山縣大衢中學2022-2023學年高三數(shù)學試題月考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．2．過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準線在第三象限交于點B，過點作準線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．3．已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知正四面體外接球的體積為，則這個四面體的表面積為（）A． B． C． D．7．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．9．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．11．已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元12．已知等差數(shù)列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內(nèi)角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.14．已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和，則該圓錐的體積為________15．的三個內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知，則________.16．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高），則由此可推得圓周率的取值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）分別為的內(nèi)角的對邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當?shù)拿娣e取得最大值時，求的周長.18．（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：若分數(shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.19．（12分）已知圓,定點,為平面內(nèi)一動點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，設動點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程（2）過點的直線與交于兩點，已知點，直線分別與直線交于兩點，線段的中點是否在定直線上，若存在，求出該直線方程；若不是，說明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個極值點為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.21．（12分）已知橢圓，點，點滿足（其中為坐標原點），點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右焦點為，若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.且與圓相切.的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.22．（10分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.2、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設準線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題3、C【解析】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．4、B【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應用意識.5、A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．6、B【解析】

設正四面體ABCD的外接球的半徑R，將該正四面體放入一個正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積．【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi)，設正方體的棱長為a，如圖所示，設正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得．因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球，則有，∴．而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為，因此，這個正四面體的表面積為．故選：B．【點睛】本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果.【詳解】對于，若，則可能為平行或異面直線，錯誤；對于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯誤；對于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對于，若，只有當垂直于的交線時才有，錯誤.故選：.【點睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.8、C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵點.本題屬中檔題.9、A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當時，沒有零點，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、A【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.11、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎題.12、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減，再由余弦定理結(jié)合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2，可知數(shù)列單調(diào)遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內(nèi)角為，由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.14、【解析】

依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式，求出底面半徑和母線長，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，最后利用圓錐的體積公式求出體積。【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，所以有解得，故該圓錐的體積為?！军c睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應用。15、【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，所以，因為，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎題.16、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高）,可得,進而可求出的值【詳解】解:設圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，將，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根據(jù)，選擇，所以當?shù)拿娣e取得最大值時，最大，結(jié)合（1）中條件，即可求出最大時，對應的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進而得到的周長．【詳解】（1）由，得，即.因為，所以.由，得.（2）因為，所以，當且僅當時，等號成立.因為的面積.所以當時，的面積取得最大值，此時，則，所以的周長為.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學運算能力．18、（1）；（2）①82，②分布列見解析，【解析】

（1）從20人中任取3人共有種結(jié)果，恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果，利用古典概型的概率計算公式計算即可；（2）①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和；②要注意服從的是二項分布，不是超幾何分布，利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】（1）設從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件，則，所以，恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.（2）組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①，估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3，隨機選取1人是“優(yōu)秀”的概率為，∴；；；；∴的分布列為0123∵，∴數(shù)學期望.【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題，涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.19、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）設以為直徑的圓心為，切點為，取關(guān)于軸的對稱點，連接，計算得到，故軌跡為橢圓，計算得到答案.（2）設直線的方程為，設，聯(lián)立方程得到，，計算，得到答案.【詳解】（1）設以為直徑的圓心為，切點為，則，取關(guān)于軸的對稱點，連接，故，所以點的軌跡是以為焦點，長軸為4的橢圓，其中，曲線方程為.（2）設直線的方程為，設，直線的方程為，同理，所以，即，聯(lián)立，所以，代入得，所以點都在定直線上.【點睛】本題考查了軌跡方程，定直線問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）求導.根據(jù)