武漢宏圖藝考 函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的奇偶、周期性(三)

武漢宏圖藝考武昌徐東大街岳家嘴東湖春樹里小區(qū)4棟1單元2004室函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的奇偶、周期性（三）●知識梳理1.奇函數(shù)：對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，則稱f（x）為奇函數(shù).2.偶函數(shù)：對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，則稱f（x）為偶函數(shù).3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)（1）具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）.（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.（3）若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0，則f（0）=0.（4）奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù).（5）定義在（－∞，+∞）上的任意函數(shù)f（x）都可以唯一表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和.●點(diǎn)擊雙基1.下面四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）A.1 B.2 C.3 D.4解析：①不對；②不對，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域可能不包含原點(diǎn)；③正確；④不對，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A2.已知函數(shù)f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函數(shù)，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既奇且偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)解析：由f（x）為偶函數(shù)，知b=0，有g(shù)（x）=ax3＋cx（a≠0）為奇函數(shù).答案：A3.若偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，0］上是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是A.f（cosα）＞f（cosβ） B.f（sinα）＞f（cosβ）C.f（sinα）＞f（sinβ） D.f（cosα）＞f（sinβ）解析：∵偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，0］上是減函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間［0，1］上為增函數(shù).由α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B4.已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋踑－1，2a］，則a＝___________，b解析：定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對稱，故有a－1＝－2a，得a＝.又對于所給解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，應(yīng)b＝0.答案：05.給定函數(shù):①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+）.在這五個函數(shù)中，奇函數(shù)是_________，偶函數(shù)是_________，非奇非偶函數(shù)是__________.答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x－2）在［0，2］上是單調(diào)減函數(shù)，則A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）剖析：由f（x－2）在［0，2］上單調(diào)遞減，∴f（x）在［－2，0］上單調(diào)遞減.∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）在［0，2］上單調(diào)遞增.又f（－1）=f（1），故應(yīng)選A.答案：A【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；（3）f（x）=；（4）f（x）=剖析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：（1）函數(shù)的定義域x∈（－∞，+∞），對稱于原點(diǎn).∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).（2）先確定函數(shù)的定義域.由≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對稱于原點(diǎn)，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷.由得=，這時有f（－x）==－=－f（x），故f（x）為奇函數(shù).（4）∵函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當(dāng)x＞0時，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.當(dāng)x＜0時，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).評述：（1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明.（2）判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式.【例3】（2005年北京東城區(qū)模擬題）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0}，且滿足對于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求x的取值范圍.（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）證明：令x1=x2=－1，有f［（－1）×（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）為偶函數(shù).（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴（*）等價于不等式組或或或∴3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范圍為{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.評述：解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙：（1）無從下手，不知如何脫掉“f”.解決辦法:利用函數(shù)的單調(diào)性.（2）無法得到另一個不等式.解決辦法：關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.深化拓展已知f（x）、g（x）都是奇函數(shù)，f（x）＞0的解集是（a2，b），g（x）＞0的解集是（，），＞a2，那么f（x）·g（x）＞0的解集是A.（，） B.（－b，－a2）C.（a2，）∪（－，－a2） D.（，b）∪（－b2，－a2）提示：f（x）·g（x）＞0或∴x∈（a2，）∪（－，－a2）.答案：C【例4】已知函數(shù)f（x）=x++m（p≠0）是奇函數(shù).（1）求m的值.（2）（理）當(dāng)x∈［1，2］時，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，當(dāng)x∈［1，2］時，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－+m=－x－－m.∴2m=0.∴m（2）（理）（?。┊?dāng)p＜0時，據(jù)定義可證明f（x）在［1，2］上為增函數(shù).∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（ⅱ）當(dāng)p＞0時，據(jù)定義可證明f（x）在（0，］上是減函數(shù)，在［，+∞）上是增函數(shù).①當(dāng)＜1，即0＜p＜1時，f（x）在［1，2］上為增函數(shù)，∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.②當(dāng)∈［1，2］時，f（x）在［1，p］上是減函數(shù).在［p，2］上是增函數(shù).