三角形的外心內(nèi)心垂心重心

三角形的“四心”所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心.當(dāng)三角形是正三角形時(shí)，四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心.一、外心【定義】三角形三條中垂線的交點(diǎn)叫外心，即外接圓圓心.的重心一般用字母表示.【性質(zhì)】外心到三頂點(diǎn)等距，即.外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線垂直于三角形的這一邊，即.3..二、內(nèi)心【定義】三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心.的內(nèi)心一般用字母表示.【性質(zhì)】1.內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角.2.三角形的面積＝三角形的周長(zhǎng)內(nèi)切圓的半徑．3.；三角形的周長(zhǎng)的一半.4.，.三、垂心【定義】三角形三條高的交點(diǎn)叫重心.的重心一般用字母表示.【性質(zhì)】頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對(duì)邊，即.△的垂心為，△的垂心為，△的垂心為.四、重心【定義】三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心.的重心一般用字母表示.【性質(zhì)】1.頂點(diǎn)與重心的連線必平分對(duì)邊.2.重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的倍.即重心的坐標(biāo)是三頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值．即.向量性質(zhì)：（1）；（2），5..三角形“四心”的向量形式：結(jié)論1：若點(diǎn)為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為的垂心.結(jié)論2：若點(diǎn)為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為的垂心.結(jié)論3：若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)為的重心.結(jié)論4：若點(diǎn)為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為的重心.結(jié)論5：若點(diǎn)為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足（其中為三角形的三邊），則點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心.結(jié)論6：若點(diǎn)為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為的外心.結(jié)論7：設(shè)，則向量，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡過(guò)的內(nèi)心.同理可證：平分，平分．從而是的內(nèi)心，如圖⑸.【命題6】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心．【解析】由題意得，∴當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，如圖⑹.四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的外心．圖⑺圖⑺圖⑻【解析】若，則，∴，則是的外心，如圖⑺.【命題7】已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心.【解析】由于過(guò)的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示垂直于的向量，所以在垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心，如圖⑻.練習(xí)：1.已知三個(gè)頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，若實(shí)數(shù)滿足：，則的值為（）A．2B．C．3D．62．若的外接圓的圓心為O，半徑為1，，則()A．B．0C．1D．3．點(diǎn)在內(nèi)部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圓的圓心為O，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心5．是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心6.的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,，則實(shí)數(shù)m=7．（06陜西）已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形8．已知三個(gè)頂點(diǎn)，若，則為（）A．等腰三角