2024屆浙江省杭州地區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆浙江省杭州地區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（）A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.4．方程表示的圖形是A.兩個(gè)半圓 B.兩個(gè)圓C.圓 D.半圓5．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.7．過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線的方程是（）A. B.C. D.8．已知橢圓與圓在第二象限的交點(diǎn)是點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.9．已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.10．已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.11．“不到長(zhǎng)城非好漢，屈指行程二萬(wàn)”，出自毛主席1935年10月所寫(xiě)的一首詞《清平樂(lè)·六盤(pán)山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長(zhǎng)城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知四面體，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.-1 D.-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是4個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，圖①是由4個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成；圖③是由8個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成；圖④是由6個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計(jì)容器厚度）內(nèi)有一幾何體，則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______（填所有正確結(jié)論的番號(hào)）14．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為_(kāi)_________.15．已知點(diǎn)P在圓上，已知，，則的最小值為_(kāi)__________.16．關(guān)于曲線C：1，有如下結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱；③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2＝2無(wú)公共點(diǎn)；⑤曲線C與曲線D：|x|+|y|＝2有4個(gè)公共點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程18．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對(duì)值都不超過(guò)1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.（2）假設(shè)該起點(diǎn)站等候人數(shù)為24人，請(qǐng)你根據(jù)（1）中的結(jié)論預(yù)測(cè)車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔多少時(shí)間合適?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為20．（12分）已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)在軸上方），問(wèn)在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面22．（10分）如圖，已知頂點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)分別在軸，軸上移動(dòng)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）過(guò)點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線的斜率為定值；（3）過(guò)點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若，直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分必要條件的定義即得.【詳解】若，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則；所以“”是“方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的充要條件.故選：A.2、C【解析】根據(jù)題意，由為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.3、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率，再推導(dǎo)出直線的傾斜角即可.【詳解】選項(xiàng)A：直線的斜率，則直線傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項(xiàng)B：直線的斜率，則直線傾斜角為鈍角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：直線的斜率，則直線傾斜角為0，不是銳角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：直線沒(méi)有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯(cuò)誤.故選：A4、D【解析】其中，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意，，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點(diǎn)睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對(duì)應(yīng)，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對(duì)應(yīng)到圖形中的坐標(biāo)的取值范圍5、D【解析】有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來(lái)，圖象的應(yīng)用常見(jiàn)的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)6、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A7、A【解析】根據(jù)題意利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)的直線與直線平行，，即.故選：A.8、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)閳A，可得，過(guò)點(diǎn)作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因?yàn)?，所以橢圓的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知?jiǎng)t離心率，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點(diǎn)三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.10、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D11、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：設(shè)為不到長(zhǎng)城，推出非好漢，即，則，即好漢到長(zhǎng)城，故“好漢”是“到長(zhǎng)城”的充分條件，故選：A12、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】四面體所有棱長(zhǎng)均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正八面體，其外接球直徑同棱長(zhǎng)為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正方體，體對(duì)角線的長(zhǎng)度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①14、##【解析】先求出的范圍，再利用面積公式可求面積的最大值.【詳解】圓即為，直線為過(guò)原點(diǎn)的直線，如圖，連接，故，解得，此時(shí)，故的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)即，故答案為：.15、【解析】推導(dǎo)出極化恒等式，即，結(jié)合最小值為，求出最小值.【詳解】由題意，取線段AB中點(diǎn)，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因?yàn)閳A心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：16、4【解析】直接利用曲線的性質(zhì)，對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷①②；求出可判斷③；聯(lián)立方程，解方程組可判斷④⑤的結(jié)論【詳解】對(duì)于①，將方程中的x換為﹣x，y換為﹣y，方程不變，曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，將方程中的x換為﹣y，把y換成﹣x，方程不變，曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，由方程得，故曲線C不是封閉圖形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，曲線C：，不是封閉圖形，聯(lián)立整理可得：，方程無(wú)解，故④正確；對(duì)于⑤，曲線C與曲線D：由于，解得，根據(jù)對(duì)稱性，可得公共點(diǎn)為，故曲線C與曲線D有四個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形，故⑤正確故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，由得，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得，求出，即可求直線的方程.試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)?，所以，所求橢圓方程為.（2）由題得直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+1，則由得，且．設(shè)，則由得，又，所以消去得，解得，，所以直線的方程為，即或.18、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進(jìn)行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系﹒【小問(wèn)1詳解】如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點(diǎn)，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問(wèn)2詳解】取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O(shè)原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖：設(shè)|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設(shè)平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設(shè)二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒19、（1），是“恰當(dāng)回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應(yīng)用最小二乘法求出回歸直線方程，再分別估計(jì)、時(shí)的值，結(jié)合“恰當(dāng)回歸方程”的定義判斷是否為“恰當(dāng)回歸方程”.（2）根據(jù)（1）所得回歸直線方程，將代入求x值即可.【小問(wèn)1詳解】中間4組數(shù)據(jù)是：間隔時(shí)間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928因?yàn)?，所以，故，又，所以，?dāng)時(shí)，，而；當(dāng)時(shí)，，而；所以所求的線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間10分鐘較合適.20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）設(shè)出圓心，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑列方程求出的值可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的方程；（2）由題可設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍）.所以圓.【小問(wèn)2詳解】由題可設(shè)直線的方程