2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第九章平面解析幾何第五節(jié)橢圓 課件（51張）

第五節(jié)橢圓第九章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).3.了解橢圓的簡單應(yīng)用.1.橢圓定義的應(yīng)用2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3.橢圓的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運算強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的

,兩焦點間的距離叫做橢圓的

,焦距的一半稱為

.

數(shù)學(xué)表達(dá)式:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}焦點

焦距

半焦距

微思考在橢圓的定義中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,動點M的軌跡是什么?提示

當(dāng)2a=|F1F2|時,動點M的軌跡是線段F1F2;當(dāng)2a<|F1F2|時,動點M的軌跡不存在.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

焦點跟著分母大的跑

簡單幾何性質(zhì)范圍

_____________

______________對稱性對稱軸為

,對稱中心為

頂點A1

,A2

,B1

,B2

A1

,A2

,B1

,B2

軸長軸A1A2的長為

,短軸B1B2的長為

焦距|F1F2|=

離心率e=

∈(0,1)越接近于1,橢圓越扁平;

越接近于0,橢圓越接近于圓

-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a坐標(biāo)軸

原點

(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)

(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b

2c微點撥1.橢圓的焦點F1,F2必在它的長軸上.2.求橢圓離心率e時,只要求出a,b,c的一個方程,再結(jié)合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1).微思考焦點弦(過焦點的弦)的弦長最短是多少?提示

垂直于長軸的焦點弦最短,弦長為

常用結(jié)論1.若點P在橢圓上,點F為橢圓的一個焦點,則(1)b≤|OP|≤a;(2)a-c≤|PF|≤a+c.2.焦點三角形:橢圓上的點P(x0,y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓

=1(a>b>0)中,(1)當(dāng)r1=r2,即點P為短軸端點時,θ最大;(2)S=b2tan=c|y0|,當(dāng)|y0|=b,即點P為短軸端點時,S取最大值,最大值為bc.對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.(

)(2)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓.(

)(3)關(guān)于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲線是橢圓.(

)×√×√答案

A解析

因為△ABF2的周長為12,根據(jù)橢圓的定義可得4a=12,解得a=3,則c2=a2-a-2=4,所以c=2,則橢圓E的離心率為3.已知橢圓

=1上一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則點P到另一個焦點的距離為

.

答案

9

解析

因為橢圓方程為

=1,所以a=6.因為P是橢圓上的點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,所以|PF1|+|PF2|=2a=12.若|PF1|=3,則|PF2|=12-3=9,即點P到另一個焦點的距離為9.增素能精準(zhǔn)突破考點一橢圓定義的應(yīng)用(多考向探究)考向1.利用橢圓定義求軌跡方程典例突破例1.已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切,和圓C2外切,則動圓圓心M的軌跡方程是(

)答案

D

解析

設(shè)動圓的圓心為M(x,y),半徑為r.因為圓M在圓C1:(x-4)2+y2=169內(nèi)部,且與圓C1內(nèi)切,與C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r,所以|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8.由橢圓的定義,知點M的軌跡是以C1,C2為焦點,長軸長為16的橢圓,所以a=8,c=4,所以b2=82-42=48,名師點析通過對題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后,能明確動點軌跡滿足橢圓的定義,便可直接求解其軌跡方程.答案

B因為D,E分別為AF2和BF2的中點,所以4a=|AB|+|AF2|+|BF2|=2(|DE|+|DF2|+|EF2|)=8,所以a=2.設(shè)B(x0,y0),F1(-c,0),A(0,b),考向2.利用橢圓定義解決焦點三角形問題典例突破答案

A

由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=2a=14.又3|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=8,|PF2|=6,所以|F1F2|=2c=10.因為|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以名師點析解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理,其中將|PF1|+|PF2|=2a兩邊進(jìn)行平方是常用技巧.對點訓(xùn)練2已知P是橢圓

=1上的點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積為

.

在△F1PF2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°,即4c2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,可得28=64-3|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=12.由三角形面積公式可得△F1PF2的面積為考向3.利用橢圓定義求最值典例突破答案

D

名師點析已知|PF1|與|PF2|的和為定值,可利用基本不等式求|PF1||PF2|的最值;利用|PF1|+|PF2|=2a變形或轉(zhuǎn)化,借助三角形性質(zhì)求最值.對點訓(xùn)練3已知橢圓C:

=1的左焦點為F,點M在橢圓C上,點N在圓E:(x-2)2+y2=1上,則|MF|+|MN|的最小值為(

)A.4 B.5C.7 D.8答案

B

解析

由題可知圓心E為橢圓的右焦點,且a=3,b=,c=2,所以|MF|+|ME|=2a=6,所以|MF|=6-|ME|,所以|MF|+|MN|=6-|ME|+|MN|=6-(|ME|-|MN|).要求|MF|+|MN|的最小值,只需求|ME|-|MN|的最大值,顯然M,N,E三點共線時|ME|-|MN|取最大值,且最大值為1,所以|MF|+|MN|的最小值為6-1=5.故選B.考點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例突破

(2)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若該方程表示橢圓方程,則實數(shù)k的取值范圍是

.

名師點析求橢圓方程的方法與步驟

考點三橢圓的簡單幾何性質(zhì)(多考向探究)考向1.橢圓的長軸、短軸、焦距典例突破B.|AF1|+|BF1|為定值C.C的焦距是短軸長的2倍D.存在點A,使得AF1⊥AF2答案

ABD

名師點析求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時,要理清頂點、焦點、長軸長、短軸長、焦距等基本量的內(nèi)在聯(lián)系.對點訓(xùn)練5已知點A(3,0),橢圓C:

=1(a>0)的右焦點為F,若線段AF的中點恰好在橢圓C上,則橢圓C的長軸長為

.

答案

4考向2.求橢圓的離心率典例突破答案

(1)A

(2)C

解析

(1)設(shè)橢圓C的右頂點為B,由于P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對稱,所以直線BP與AQ的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線AP的斜率為kAP,直線BP的斜率為