安徽合肥六中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

安徽合肥六中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線經(jīng)過兩個定點，，則直線傾斜角大小是（）A. B.C. D.2．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞3．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.224．在等差數(shù)列中，其前項和為.若，是方程的兩個根，那么的值為（）A.44 B.C.66 D.5．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.6．經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.7．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.388．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.10．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.411．若等軸雙曲線C過點，則雙曲線C的頂點到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.212．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（）A.當(dāng)時，平面 B.當(dāng)時，平面C.當(dāng)為直角三角形時， D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓心在x軸上且過點的一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是______14．已知直線與平行，則實數(shù)的值為_____________.15．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、，P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內(nèi)心，連接并延長交于點N，則________.16．已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上的點P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.18．（12分）請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)（1）求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為多少時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？19．（12分）已知三角形的三個頂點是，，（1）求邊上的中線所在直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程20．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左，右頂點分別為A、B，點F是橢圓的右焦點，，（1）求橢圓C的方程；（2）不過點A的直線l交橢圓C于M、N兩點，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過定點，并求出定點的坐標(biāo)22．（10分）已知橢圓的長軸長是，以其短軸為直徑的圓過橢圓的左右焦點，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E左焦點作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交橢圓于M，N兩點，線段MN的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點Q，若點Q的縱坐標(biāo)的最大值是，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由兩點坐標(biāo)求出斜率，再得傾斜角【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角為故選：A2、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結(jié)合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.3、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當(dāng)時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.4、D【解析】由，是方程的兩個根，利用韋達(dá)定理可知與的和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得與的和等于，即可求出的值，然后再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【詳解】因為，是方程的兩個根，所以，而，所以，則,故選：.5、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長，然后取外心，作，取H為的中點，使得，則易得，求出的長即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過各面外心且與此面垂直的直線上6、A【解析】根據(jù)點斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A7、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項公式得到公差d，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A8、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數(shù)有兩個零點，實數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)9、A【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，列出關(guān)于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質(zhì)：，解的或，故選：A10、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因為可化為，所以，則.故選：B.【點睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點到其漸近線的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故上頂點到其一條漸近線的距離為.故選：A12、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當(dāng)為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，，故正確故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】確定x軸上一個點做圓心，求出半徑，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】以x軸上的點為圓心，則半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：14、或【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為直線與平行，所以有：或，故答案為：或15、①.②.【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內(nèi)切圓入手，找到等量關(guān)系，進(jìn)而得到，求解即可【詳解】由題，，所以如圖，連接，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【點睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎(chǔ)上，借助內(nèi)切圓的相關(guān)公式求解，層層遞進(jìn)，是一道好題．關(guān)鍵點在于找到“”這一關(guān)系16、【解析】由題意分析為直角三角形，得到關(guān)于a、c的齊次式，即可求出離心率.【詳解】設(shè)，則.由橢圓的定義可知：，所以.所以因軸，所以為直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以離心率.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為18、（1），定義域為；（2）當(dāng)時，包裝盒的容積最大是.【解析】（1）設(shè)出包裝盒的高和底面邊長，利用長方體的表面積得到等量關(guān)系，再利用長方體的體積公式求出表達(dá)式，再利用實際意義得到函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號變化得到函數(shù)的極值，即最值.小問1詳解】解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，則，，所以=其定義域為；【小問2詳解】解：由（1）得：，，因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以當(dāng)時，取得極大值，即當(dāng)時，包裝盒的容積最大是19、（1）；（2）【解析】（1）先求出BC的中點坐標(biāo)，再利用兩點式求出直線的方程；（2）先求出BC邊上的高所在直線的斜率，再利用點斜式求出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)線段的中點為因為，，所以的中點，所以邊上的中線所在直線的方程為，即（2）因為，，所以邊所在直線的斜率，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，即【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進(jìn)而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結(jié)合設(shè)而不求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點，，解得.設(shè)，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當(dāng)直線的斜率不存在時，此時，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.21、（1）；（2）證明見解析，(－5,0).【解析】(1)寫出A、B、F的坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)系即可列出方程組，求得a、b、c和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，，．聯(lián)立直線l與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，求出，根據(jù)即可求得k和m的關(guān)系，即可證明直線過定點并求出該定點.【小問1詳解】由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)∵，∴解得從而b2＝a2－c2＝3∴橢圓C的方程；【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，，∵直線l不過點A，因此－2k＋m≠0由得時，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程為y＝kx＋5k，恒過定點(－5,0).22、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計算即可作答.(2)設(shè)出直線MN的方