廣東省汕頭市潮陽新世界中英文學校2023年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省汕頭市潮陽新世界中英文學校2023年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則的值為（）A. B.C. D.2．在等差數(shù)列中，若，，則公差d=（）A. B.C.3 D.－33．已知梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，過點E作與AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是與，則直線l與CD所在直線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.44．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-95．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.6．算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.167．在等比數(shù)列中，是和的等差中項，則公比的值為（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或18．函數(shù)在和處的導數(shù)的大小關系是（）A. B.C. D.不能確定9．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素，現(xiàn)從，兩個品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數(shù)為 D.品種的中位數(shù)為10．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.11．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.612．在空間直角坐標系中，已知點M是點在坐標平面內(nèi)的射影，則的坐標是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與圓相交于A，B兩點，則的最小值為__________.14．等差數(shù)列的前項和為，已知，則__.15．設數(shù)列滿足且，則________.數(shù)列的通項=________.16．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長；（2）圓M過點A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，若的周長為8.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為橢圓上的動點，過原點作直線與橢圓分別交于點、（點不在直線上），求面積的最大值.19．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離20．（12分）已知拋物線上任意一點到焦點F最短距離為2，（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點F的直線，互相垂直，且與C分別交于A，B，M，N四點，求四邊形AMBN面積的最小值21．（12分）已知等差數(shù)列公差不為0，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式及其前n項和；（2）記，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將用基底表示，然后利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，則為的中點，，則.故選：D2、C【解析】由等差數(shù)列的通項公式計算【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列通項公式可得，3、B【解析】先求得直線AB和CD之間的距離，再求直線l與CD所在直線的距離即可解決.【詳解】梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，則有△與△相似，相似比為，則，點E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的又AB和CD所在直線的距離為，則直線l與CD所在直線的距離為2故選：B4、D【解析】作出可行域，作出目標函數(shù)對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】解：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在中，，當直線向下平移時，增大，因此把直線向上平移，當直線過點時，故選：D5、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關于、、的表達式.【詳解】故選：B.6、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選：A7、D【解析】由題可得，即求.【詳解】由題意，得，所以，因為，所以，解得或.故選：D.8、A【解析】求出函數(shù)導數(shù)即可比較.【詳解】，，所以，即.故選：A.9、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，然后對各選項進行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數(shù)據(jù)波動比品種的數(shù)據(jù)波動大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數(shù)為與，故C錯誤；品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故D正確.故選.【點睛】本題主要考查了對數(shù)據(jù)的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可對各選項進行判斷，較為基礎10、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.11、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標運算求解【詳解】由已知，解得故選：C12、C【解析】點在平面內(nèi)的射影是坐標不變，坐標為0的點.【詳解】點在坐標平面內(nèi)的射影為，故點M的坐標是故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直線過定點，圓心，當時，取得最小值，再由勾股定理即可求解.【詳解】由，得，由，得直線過定點，且在圓的內(nèi)部，由圓可得圓心，半徑，當時，取得最小值，圓心與定點的距離為，則的最小值為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，，則，故答案為：33.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題.15、①.5②.【解析】設，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以當時，，，解得，設，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項為，所以，即，所以，當時，可得，其中也滿足，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：；.16、對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【解析】因為命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定為：對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0故答案為對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點到直線的距離公式，即可求解（2）根據(jù)已知圓的方程，令y＝0，結(jié)合韋達定理，求出圓心的橫坐標，即可求出圓心，再結(jié)合勾股定理，即可求出半徑【小問1詳解】∵圓C：，∴，即圓心為(－1,1)，半徑r＝3，∵直線y＝x，即x－y＝0，∴圓心(－1,1)到直線x－y＝0的距離d＝，∴直線y＝x被圓C所截得的弦長為＝【小問2詳解】設A（x1，y1），B（x2，y2），∵圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點，∴x2－2x－7＝0，則，|x1－x2|＝＝，∴圓心的橫坐標為x＝，∵圓心在直線y＝x+1上，∴圓心為(1,2)，∴半徑r＝，故圓M的方程為18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當直線軸時，計算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時，可設，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當直線軸時，；當直線不垂直軸時，設，，，∴.設與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，∴，綜上，面積的最大值為.【點睛】方法點睛：求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，而面積的最值的計算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計算，此類轉(zhuǎn)化為面積最值計算過程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設與交點為，延長交的延長線于點，進而根據(jù)證明，再結(jié)合底面得，進而證明平面即可證明結(jié)論；（2）由得點到平面的距離等于點到平面的距離的，進而過作，垂足為，結(jié)合（1）得點到平面的距離等于，再在中根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】證明：設與交點為，延長交的延長線于點，因為四棱錐的底面為直角梯形，，所以，所以，因為為的中點，所以，因為所以，所以，所以，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以又因為底面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面【小問2詳解】解：由于，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離的，因為平面平面，平面平面故過作，垂足為，所以，平面，所以點到平面的距離等于在中，，所以，點到平面的距離等于.20、（1）（2）128【解析】（1）設拋物線上任一點為，由可得答案.（2）由題意可知，的斜率k存在且不為0,設出其方程并與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達定理，從而得出弦長的表達式，同理得出弦長的表達式，進而得出四邊形AMBN面積的不等式，從而求出其最小值.【小問1詳解】設拋物線上任一點為，則，所以當時，，又∵，∴，即所以拋物線C的方程為【小問2詳解】設交拋物線C于點，,交拋物線C于點，由題意可知，的斜率k存在且不為0設的方程為由，得，同理可得，，當且僅當時，即時，等號成立∴四邊形AMBN面積的最小