廣西玉林市北流實驗中學2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

廣西玉林市北流實驗中學2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點（）A. B.C. D.2．下列說法正確的個數(shù)有（）（?。┟}“若，則”的否命題為：“若，則”；（ⅱ）“，”的否定為“，使得”；（ⅲ）命題“若，則有實根”為真命題；（ⅳ）命題“若，則”的否命題為真命題；A.1個 B.2個C.3個 D.4個3．把點隨機投入長為，寬為的矩形內(nèi)，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.4．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面5．，則（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.7．方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.8．橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.9．設(shè)等差數(shù)列，前n項和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.10．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.11．某學校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學進行一項調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.312．曲線與曲線（）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則_________14．已知數(shù)列滿足，則＝________.15．我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為________.16．已知點是橢圓上的一點，分別為橢圓的左、右焦點，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）將離心率相同的兩個橢圓如下放置，可以形成一個對稱性很強的幾何圖形，現(xiàn)已知.（1）若在第一象限內(nèi)公共點的橫坐標為1，求的標準方程；（2）假設(shè)一條斜率為正的直線與依次切于兩點，與軸正半軸交于點，試求的最大值及此時的標準方程.18．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線方程20．（12分）已知直線l過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值21．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求；（2）若，求的面積的最大值22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標準方程、圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設(shè)，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：由圓的切線性質(zhì)得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)特征可判斷（?。áぃ┑恼`，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷（ⅱ）的正誤，根據(jù)判別式的正誤可判斷（ⅲ）的正誤.【詳解】命題“若，則”的否命題”為“若，則”，故（?。╁e誤.“，”的否定為“，使得”，故（ⅱ）正確，當時，，故有實根，故（ⅲ）正確，“若，則”的否命題為“若，則”，取，則，故命題若，則為假命題，故（ⅳ）錯誤.故選：B3、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構(gòu)成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計算可得結(jié)果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，所求概率.故選：A.4、D【解析】根據(jù)對立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D5、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B6、B【解析】先確定拋物線的焦點坐標，和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為,由點到直線的距離公式可得.故選：B7、D【解析】根據(jù)曲線為焦點在y軸上的橢圓可得出答案.【詳解】因為方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.8、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數(shù)項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因為等差數(shù)列，的前n項和分別是，所以，故選：B10、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構(gòu)成三角形，當點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C11、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時人.故選：.12、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對照選項可知：焦距相等.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，再令，即可得出答案.【詳解】解：由，得，所以.故答案為：.14、4【解析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得，可得，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項公式化簡可得值.【詳解】因為，所以，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：4.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式以及對數(shù)的運算性質(zhì)，熟練運用相應的公式即可，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：16、【解析】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）；【解析】（1）設(shè)，將點代入得出的標準方程；（2）聯(lián)立與直線的方程，得出兩點的坐標，進而得出，再結(jié)合導數(shù)得出的最大值及此時的標準方程.【小問1詳解】由題意得：在第一象限的公共點為設(shè)，則有：的標準方程為：；【小問2詳解】設(shè)y=kx+m則①，則②，，，又，由①有代入①有，令，則令，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時，則，代入②得，綜上：的最大值2，此時.18、（1）答案見解析（2）【解析】（1），進而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的最小值，注意到使，進而結(jié)合函數(shù)隱零點求解即可.【小問1詳解】解：①，在上單調(diào)增；②，令，單調(diào)減單調(diào)增；③，單調(diào)增單調(diào)減.綜上，當時，在上單調(diào)增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：由題意知在上恒成立，令，，單調(diào)遞增∵，∴使得，即單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)增，∴實數(shù)的取值范圍是19、（1）．（或標準形式）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意，求出中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心的坐標，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案【小問1詳解】解：根據(jù)題意，因為圓過兩點，，設(shè)的中點為，則，因為，所以的中垂線方程為，即又因為圓心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，【小問2詳解】解：當過點P的切線的斜率不存在時，此時直線與圓C相切當過點P的切線斜率k存在時，設(shè)切線方程為即（*）由圓心C到切線的距離，可得將代入（*），得切線方程為綜上，所求切線方程為或20、（1）或（2）4【解析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過的點及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或法二：設(shè)直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線法二：∵，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形面積公式求得答案.【小問1詳解】由正弦定理及，得，∵∴,∵，∴【小問2詳解】由余弦定理，∴，即，當且僅當時取等號，∴，當且僅當時