貴州省百所學(xué)校2023年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

貴州省百所學(xué)校2023年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.2．已知空間四邊形，其對(duì)角線、，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，若（，），則（）A.2023 B.2022C.2021 D.20204．函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.5．已知曲線與直線總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知，若對(duì)于且都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列，，則公差d等于（）A. B.C.3 D.-39．下面三種說法中，正確說法的個(gè)數(shù)為（）①如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線可以確定一個(gè)平面；③若，，，則A.1 B.2C.3 D.010．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（）A. B.C. D.11．（）A. B.C. D.12．曲線y＝lnx在點(diǎn)M處的切線過原點(diǎn)，則該切線的斜率為（）A.1 B.eC.－1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.14．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為_____15．已知向量，若，則實(shí)數(shù)___________.16．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取人，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值18．（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.19．（12分）若等比數(shù)列的各項(xiàng)為正，前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.（1）求；（2）過點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：為直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.22．（10分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點(diǎn)，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B2、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點(diǎn)出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時(shí)注意方法，即從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點(diǎn)，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個(gè)過程，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】根據(jù)題意令可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式寫出，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，令，得，又，，所以，有，解?故選：C4、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B5、D【解析】對(duì)曲線化簡(jiǎn)可知曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對(duì)直線方程化簡(jiǎn)可得直線過定點(diǎn)，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因?yàn)椋郧€表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點(diǎn)，如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，直線過定點(diǎn)，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點(diǎn)，則，得，設(shè)直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D6、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對(duì)于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：D7、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.8、B【解析】根據(jù)題意，利用公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列，，可得等差數(shù)列的公差.故選：B.9、A【解析】對(duì)于①，有兩種情況，對(duì)于②考慮異面直線，對(duì)于③根據(jù)線面公理可判斷.【詳解】如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合或者是相交，故①不正確；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故②不正確；若，，，可知必在交線上，則，故③正確；綜上所述只有一個(gè)說法是正確的.故選：A10、D【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為.故選：D.11、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.12、D【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點(diǎn)坐標(biāo)并求得切線的斜率.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，故在點(diǎn)的切線的斜率為，所以，所以切點(diǎn)為，切線的斜率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以在軸上的投影向量為.故答案為:14、【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)列方程，解方程求得的值.【詳解】由于等比數(shù)列前項(xiàng)和，本題中，故.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，考查觀察與思考的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?故答案為：216、【解析】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)列方程，即可樣本容量n.【詳解】由分層抽樣的性質(zhì)知：，可得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題18、（1）；（2）答案見解析【解析】（1）求出曲線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值域斜率的關(guān)系，即可求出，（2）求出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的極值【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是，所以切線斜率是，且，求得，即點(diǎn)又函數(shù)，則所以依題意得解得（2）由（1）知所以令，解得或當(dāng)，或；當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是所以當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表：0極大值極小值所以，19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項(xiàng)，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果【小問1詳解】設(shè)各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為，，，則，，，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.由（1）知，所以.所以①在①的等式兩邊同乘以，得②由①②等式兩邊相減，得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，若成等比?shù)列，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列的裂項(xiàng)法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項(xiàng)：觀察數(shù)列的通項(xiàng)，將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式；累加：將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加；消項(xiàng)：將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消，將剩余的有限項(xiàng)相加，得到數(shù)列的前項(xiàng)和.2、消項(xiàng)的規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）點(diǎn)代入即可得出拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義即可求得.（2）由題，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，可得，利用韋達(dá)定理證得即可得出結(jié)論.【小問1詳解】點(diǎn)在拋物線上.，則，所以.【小問2詳解】證明：由題，設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)聯(lián)立方程，消得：，由韋達(dá)定理有，由，所以，所以，所以，所以為直角三角形.22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因?yàn)椋?，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾