泛函分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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Thisdocumentisforreferenceonly-rar21year.March泛函分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié)泛函分析一，距離空間定義設(shè)X是任一非空集合，對(duì)于X中的任意兩點(diǎn)x,y，均有一個(gè)實(shí)數(shù)d(x,y)與它對(duì)應(yīng)，且滿足：d(x,y)≥0（非負(fù)性）d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(嚴(yán)格正)d(x,y)=d(y,x)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）則稱(chēng)d(x,y)為X中的一個(gè)距離，定義了距離d的集合稱(chēng)為一個(gè)距離空間，記為（X,d），有時(shí)簡(jiǎn)記為X。設(shè)（X,d）是一個(gè)距離空間，X中的一個(gè)數(shù)列，存在X中的任意點(diǎn)，如果當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，這個(gè)數(shù)列按照距離收斂到這個(gè)點(diǎn)，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列以這點(diǎn)收斂。(x,y)是x,y的二元函數(shù)，若當(dāng)存在一個(gè)x的數(shù)列收斂到x,存在一個(gè)y的數(shù)列收斂到y(tǒng)，則這個(gè)距離關(guān)于x,y的二元函數(shù)也收斂。(利用三角不等式證明)開(kāi)球的定義（X,d）是一個(gè)距離空間，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}則稱(chēng)以x0為中心，r為半徑的開(kāi)球。有界集：稱(chēng)A為有界集，若存在一個(gè)開(kāi)球，使得A屬于這個(gè)開(kāi)球。內(nèi)點(diǎn)：稱(chēng)x0為集合G的內(nèi)點(diǎn)，若存在一個(gè)開(kāi)球B(x0,r)屬于G。開(kāi)集：稱(chēng)G為開(kāi)集，若G中的每一個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)。閉集：開(kāi)集的補(bǔ)集就是閉集。（若用接觸點(diǎn)定義閉集就是，A的接觸點(diǎn)的全體稱(chēng)為A的閉包，也就是閉集。）閉集的等價(jià)條件是這個(gè)集合中的收斂點(diǎn)列收斂到這個(gè)集合中的元素。全空間和空集即使開(kāi)集也是閉集。任意個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集，有限個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集。任意個(gè)閉集的交是閉集，有限個(gè)閉集的并是閉集。等價(jià)距離：兩個(gè)距離空間稱(chēng)為等價(jià)距離，如果它們之間可以互相表示。連續(xù)映射：在兩個(gè)距離空間之間存在一個(gè)映射：T，稱(chēng)T為連續(xù)映射。若在定義域的距離空間中存在一個(gè)開(kāi)集，經(jīng)過(guò)映射T，在另一個(gè)距離空間定義的距離下是任意小的。映射T是連續(xù)的等價(jià)于值域里的開(kāi)集的原像仍然是開(kāi)集。接觸點(diǎn)：點(diǎn)x0稱(chēng)為A的接觸點(diǎn)，若存在一個(gè)x0的開(kāi)球與A的交不為空集。（點(diǎn)x0可以屬于A，也可以不屬于A）聚點(diǎn)：點(diǎn)x0稱(chēng)為點(diǎn)A的聚點(diǎn)，若存在點(diǎn)x0的任意一個(gè)開(kāi)球與A\{x0}的交不為空集。（聚點(diǎn)一定是接觸點(diǎn)，但接觸點(diǎn)不一定是聚點(diǎn)。）稠密集：稱(chēng)B在A中稠密，若A包含于B的閉包。可分：一個(gè)空間稱(chēng)為可分的，若這空間中存在一個(gè)可數(shù)的稠密子集。列緊集：稱(chēng)A為列緊集，若A中的每一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)列都有一個(gè)收斂的子列。如果X是列緊集，那么X一定是有界集。反之不一定。一致有界：即存在K>0,使得對(duì)于每一點(diǎn)t∈[a,b]及一切x∈A，|x(t)|≤K等度連續(xù)：對(duì)于任意的ε>0，存在δ>0,當(dāng)|t1-t2|<δ時(shí)，|x(t1)-x(t2)|<ε(任意x∈A)完備的距離空間：稱(chēng)X是完備的距離空間，若X中的任意柯西列都收斂。完