黑龍江省大興安嶺漠河縣高級中學2023年數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

黑龍江省大興安嶺漠河縣高級中學2023年數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線交圓于A，B兩點，若點滿足，則直線l被圓C截得線段的長是（）A.3 B.2C. D.42．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A B.5C. D.73．我們知道∶用平行于圓錐母線的平面（不過頂點）截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點到其準線的距離等于（）A. B.C. D.14．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.145．已知，若，則（）A. B.C. D.6．與向量平行，且經(jīng)過點的直線方程為（）A. B.C. D.7．已知橢圓的短軸長為8，且一個焦點是圓的圓心，則該橢圓的左頂點為（）A B.C. D.8．若雙曲線一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.9．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項公式是（）A. B.C. D.10．已知命題是真命題，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.012．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列滿足，，公比，則的前2021項和______14．過拋物線的焦點F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點（A在B的上方），且l與準線交于點C，若，則_________.15．等差數(shù)列前項之和為，若，則________16．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標是_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右兩個焦點，，離心率，短軸長為21求橢圓的方程；2如圖，點A為橢圓上一動點非長軸端點，的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點，求面積的最大值18．（12分）已知是公差不為零等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)．數(shù)列{}的前項和為，求證：19．（12分）已知橢圓，四點中，恰有三點在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點，且與橢圓相交于不同的兩點．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過一定點，并求此定點坐標20．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA?PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．求證：（1）EF//平面PCD；（2）平面PAB?平面PCD21．（12分）已知是拋物線的焦點，直線交拋物線于、兩點.（1）若直線過點且，求；（2）若平分線段，求直線的方程.22．（10分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數(shù)列和的通項公式；（2）求和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長.【詳解】∵點為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長是2故選：B2、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D3、C【解析】由圓錐的底面半徑和高及E的位置可得，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可得C的坐標，設(shè)拋物線的方程，將C的坐標代入求出拋物線的方程，進而可得焦點到其準線的距離【詳解】設(shè)AB，CD的交點為，連接PO，由題意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由題意OB=OP=OC=2，因為E是母線PB的中點，所以，由題意建立適當?shù)淖鴺讼?，以BP為y軸以O(shè)E為x軸，E為坐標原點，如圖所示∶可得∶，設(shè)拋物線的方程為y2=mx，將C點坐標代入可得，所以，所以拋物線的方程為∶，所以焦點坐標為，準線方程為，所以焦點到其準線的距離為故選：C4、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和，屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解析】先求出的坐標，然后由可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，即，解得.故選：B6、A【解析】利用點斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A7、D【解析】根據(jù)橢圓的一個焦點是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個焦點是，即c=3，又橢圓的短軸長為8，即b=4，所以橢圓長半軸長為，所以橢圓的左頂點為，故選：D8、A【解析】根據(jù)（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線，因為（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關(guān)系.9、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項公式.【詳解】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為，所以可以看成一元二次方程的兩個根，因為，所以，所以，解得，所以故選：C【點睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】當時，僅當時成立，不符合題意；當時，若成立，則，解之得綜上，取值范圍是故選：C11、B【解析】由題意結(jié)合導數(shù)的運算可得，再由導數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.12、A【解析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設(shè)，則動點到坐標原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設(shè)，動點與點的距離為，因為函數(shù)在上遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結(jié)論正確的是：①②.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，，公比，所以，故答案為：14、2【解析】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，由可求.【詳解】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，設(shè)，，則，∴，∴.故答案為：2.15、【解析】直接利用等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.16、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）橢圓的標準方程為（2）面積的最大值為【解析】（1）由題意得，再由，標準方程為；（2）①當?shù)男甭什淮嬖跁r，不妨??；②當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點到直線的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標準方程為（2）①當直線的斜率不存在時，不妨取，故；②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得，設(shè)點到直線的距離因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，∴綜上，面積的最大值為.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點到直線的距離、弦長公式和三角形面積公式等知識，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標準方程為；（2）利用分類與整合思想分當?shù)男甭什淮嬖谂c存在兩種情況求解，在斜率存在時，由舍而不求法求得，再求得點到直線的距離為面積的最大值為.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求出，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，，故原不等式得證.19、（1）（2）證明見解析，定點【解析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線，利用斜率之和為，求出之間的關(guān)系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可.【小問1詳解】由對稱性同時在橢圓上或同時不在橢圓上，從而在橢圓上，因此不在橢圓上，故在橢圓上，將，代入橢圓的方程，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當直線斜率存在時，令方程為，由得所以得方程為，過定點當直線斜率不存在時，令方程為，由，即解得此時直線方程為，也過點綜上，直線過定點.【點睛】本題關(guān)鍵點在于先假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線，利用題目所給條件得到之間的關(guān)系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可，屬于定點問題的常見解法，注意積累掌握.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）取BC中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，推導出，，從而平面平面，由此能得出結(jié)論；（2）推導出，從而平面PAD，即得，結(jié)合得出平面PCD，由此能證明結(jié)論成立.【詳解】（1）取BC中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，∵E，F(xiàn)分別是AD，PB的中點，∴，，∴面，面，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）因為底面ABCD為矩形，所以，又因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD因為平面PAD，所以.又因為，，所以平面PCD因為平面PAB，所以平面平面PCD【點睛】本題考查線線垂直、線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.21、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點的坐標，利用拋物線的定義可求得；（2）利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點、，則直線的傾斜角為，易知點，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，因為、在拋物線上，則，兩式相減得，又因為為的中點，則，所以，直線的斜率為，此時，直線的方程為，即.22、（1）選①，，；選②