人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)【課本】六年級(jí)（上）第16講 數(shù)論綜合提高二

第十六講數(shù)論綜合提高二本講知識(shí)點(diǎn)匯總：約數(shù)、倍數(shù)基本概念如果a能被b整除（也就是），則b是a的約數(shù)（因數(shù)），a是b的倍數(shù)；約數(shù)具有“配對(duì)”性質(zhì)：大約數(shù)對(duì)應(yīng)小約數(shù)．約數(shù)個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，指數(shù)加1再相乘；平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，非平方數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)．約數(shù)和公式如果一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式為，則約數(shù)和為；如果一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式為，則約數(shù)和為；公約數(shù)、公倍數(shù)基本概念如果a是若干個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，則稱a是它們的公約數(shù)，其中最大的叫做最大公約數(shù)；如果b是若干個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，則稱b是它們的公倍數(shù)，其中最小的叫做最小公倍數(shù)；公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)．計(jì)算方法短除法；分解質(zhì)因數(shù)法；輾轉(zhuǎn)相除法（只用于計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)）．基本性質(zhì)；兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是它們和或差的約數(shù)；已知兩個(gè)未知數(shù)的最大公約數(shù)，可利用最大公約數(shù)把這兩個(gè)數(shù)表示出來：

例如，甲、乙的最大公約數(shù)是5，則可以把甲乙分別設(shè)為5a和5b，其中a、b互質(zhì)，此時(shí)甲乙的最小公倍數(shù)是5ab．兩個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)：

；

經(jīng)典題型經(jīng)典題型約數(shù)、倍數(shù)約數(shù)的配對(duì)思想；約數(shù)個(gè)數(shù)與完全平方數(shù)的關(guān)系；求約數(shù)個(gè)數(shù)；求約數(shù)的和；利用約數(shù)個(gè)數(shù)反推原數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解形式．公約數(shù)、公倍數(shù)基本計(jì)算；帶有應(yīng)用題背景的公約數(shù)公倍數(shù)計(jì)算；有關(guān)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的反求問題；最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的質(zhì)因數(shù)的分配．

慶祝高思學(xué)校4周歲的生日，預(yù)計(jì)在12月5日高思成立日的當(dāng)天舉行大型的慶?；顒?dòng)，由編號(hào)1~100的100名高思小明星們組成的方陣，開始都面朝東方站立，第一次所有編號(hào)是1的倍數(shù)的向左轉(zhuǎn)，第二次所有編號(hào)是2的倍數(shù)的小朋友再向左轉(zhuǎn)，第三次編號(hào)是3的倍數(shù)的小朋友再向左轉(zhuǎn)，……，最后一次所有編號(hào)是100的倍數(shù)的小朋友再向左轉(zhuǎn)，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？

「分析」首先分析出轉(zhuǎn)幾次的人會(huì)面朝南方，這些次數(shù)排成一列，找出這組數(shù)列的規(guī)律．

練習(xí)1、有2012盞燈，分別對(duì)應(yīng)編號(hào)為1至2012的2012個(gè)開關(guān)．現(xiàn)在有編號(hào)為1至2012的2012個(gè)人來按動(dòng)這些開關(guān)．已知第1個(gè)人按的開關(guān)的編號(hào)是1的倍數(shù)，第2個(gè)人按的開關(guān)的編號(hào)是2的倍數(shù)，第3個(gè)人按的開關(guān)的編號(hào)是3的倍數(shù)，……，依次做下去，第2012個(gè)人按的開關(guān)的編號(hào)是2012的倍數(shù)．如果最開始的時(shí)候，燈全是亮著的，那么這2012個(gè)人按完后，還有多少盞燈是亮著的？

一個(gè)數(shù)有15個(gè)約數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是多少？第二小是多少？

「分析」根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式分析出含有15個(gè)約數(shù)的數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)形式．

練習(xí)2、有10個(gè)約數(shù)的自然數(shù)最小是多少？有8個(gè)約數(shù)的最小的奇數(shù)是多少？

在35的倍數(shù)中，恰有35個(gè)約數(shù)的最小數(shù)是多少？（請(qǐng)寫出質(zhì)因數(shù)分解式）

「分析」所求數(shù)一定含有35的質(zhì)因數(shù)，再結(jié)合含有35個(gè)約數(shù)的數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)形式即可找到解題的突破口．

練習(xí)3、42的倍數(shù)中，恰好有42個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？

三個(gè)自然數(shù)乘積為86400，且這三個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)分別為8、9、10個(gè)．那么這三個(gè)自然數(shù)分別是多少？

「分析」把含有8、9、10個(gè)約數(shù)的數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)形式及86400中個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行分析．

練習(xí)4、三個(gè)自然數(shù)乘積為5184，且這三個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)分別為A個(gè)、A+1個(gè)、A+2個(gè)．那么這三個(gè)自然數(shù)分別是多少？

兩個(gè)整數(shù)的差為7，他們的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的差是689，則這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

「分析」列不定方程求解．

大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點(diǎn)出發(fā)沿同一方向分別步測一個(gè)圓形花圃的周長，亮亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩個(gè)人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個(gè)腳?。畣枺哼@個(gè)花圃的周長是多少米？

「分析」這是一道公約數(shù)、公倍數(shù)的問題，首先回憶一下公約數(shù)、公倍數(shù)的求法，再思考一下題中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系．

親和數(shù)（AmicablePair）親和數(shù)是一種古老的數(shù)．遙遠(yuǎn)的古代，人們發(fā)現(xiàn)某些自然數(shù)之間有特殊的關(guān)系：如果兩個(gè)數(shù)a和b，a的所有真因數(shù)之和等于b，b的所有真因數(shù)之和等于a，則稱a，b是一對(duì)親和數(shù)．相傳，畢達(dá)哥拉斯的一個(gè)門徒向他提出這樣一個(gè)問題：“我結(jié)交朋友時(shí)，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達(dá)哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，要象220和284一樣親密．什么叫朋友？就象這兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是你，另一個(gè)是我．”后來，畢氏學(xué)派宣傳說：人之間講友誼，數(shù)之間也有“相親相愛”．從此，把220和284叫做“親和數(shù)”（也叫“朋友數(shù)”或叫“相親數(shù)”）．這就是“親和數(shù)”這個(gè)名稱的來源．畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)220與284就是一對(duì)親和數(shù)，在以后的1500年間，世界上有很多數(shù)學(xué)家致力于探尋親和數(shù)，面對(duì)茫茫數(shù)海，無疑是大海撈針，雖經(jīng)一代又一代人的窮思苦想，有些人甚至為此耗盡畢生心血，卻始終沒有收獲．公元九世紀(jì)，伊拉克哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文學(xué)和物理學(xué)家泰比特·依本庫拉曾提出過一個(gè)求親和數(shù)的法則，因?yàn)樗墓奖容^繁雜，難以實(shí)際操作，再加上難以辨別真假，故它并沒有給人們帶來驚喜，或者走出困境．?dāng)?shù)學(xué)家們?nèi)匀粵]有找到第二對(duì)親和數(shù)．距離第一對(duì)親和數(shù)誕生2500多年以后，歷史的車輪轉(zhuǎn)到十七世紀(jì)，1636年，法國“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬終于找到了第二對(duì)親和數(shù)17296和18416，這個(gè)發(fā)現(xiàn)也重新點(diǎn)燃尋找親和數(shù)的火炬．兩年之后，“解析幾何之父”——法國數(shù)學(xué)家笛卡爾于1638年3月31日宣布找到了第三對(duì)親和數(shù)9437506和9363584．費(fèi)馬和笛卡爾在兩年的時(shí)間里，打破了二千五百年的沉寂，激起了數(shù)學(xué)界重新尋找親和數(shù)的波濤．在十七世紀(jì)以后的歲月，許多數(shù)學(xué)家投身到尋找新的親和數(shù)的行列，他們企圖用靈感與枯燥的計(jì)算發(fā)現(xiàn)新大陸．可是，無情的事實(shí)使他們省悟到，已經(jīng)陷入了一座數(shù)學(xué)迷宮，不可能出現(xiàn)法國人的輝煌了．正當(dāng)數(shù)學(xué)家們真的感到絕望的時(shí)候，平地又起了一聲驚雷．1747年，年僅39歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉竟向全世界宣布：他找到了30對(duì)親和數(shù)，后來又?jǐn)U展到60對(duì)，不僅列出了親和數(shù)的數(shù)表，而且還公布了全部運(yùn)算過程．時(shí)間又過了120年，到了1867年，意大利有一個(gè)愛動(dòng)腦筋，勤于計(jì)算的16歲中學(xué)生白格黑尼，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)大師歐拉的疏漏——讓眼皮下的一對(duì)較小的親和數(shù)1184和1210溜掉了．這戲劇性的發(fā)現(xiàn)讓數(shù)學(xué)家們大為驚嘆．在以后的半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，人們?cè)谇叭说幕A(chǔ)上，不斷更新方法，陸陸續(xù)續(xù)又找到了許多對(duì)親和數(shù)．到了1923年，數(shù)學(xué)家麥達(dá)其和葉維勒匯總前人研究成果與自己的研究所得，發(fā)表了1095對(duì)親和數(shù)，其中最大的數(shù)有25位．同年，另一個(gè)荷蘭數(shù)學(xué)家里勒找到了一對(duì)有152位數(shù)的親和數(shù)．電子計(jì)算機(jī)誕生以后，結(jié)束了筆算尋找親和數(shù)的歷史，人們利用計(jì)算機(jī)，可以更有效率的尋找和分析親和數(shù)，但直到今天，親和數(shù)仍有許多未解之謎，等待著數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家來解決．

作業(yè)300共多少個(gè)約數(shù)？其中有多少個(gè)是6的倍數(shù)？有多少個(gè)不是4的倍數(shù)？

把一張長108厘米，寬84厘米的長方形紙裁成同樣大小的正方形，且紙無