中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

第一講數(shù)與式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、體驗(yàn)實(shí)數(shù)、代數(shù)式各種運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系。2、探索配方法、換方法等數(shù)學(xué)方法在解決數(shù)與式問題中的應(yīng)用。【知識(shí)框圖】相反數(shù)——例數(shù)——數(shù)軸——絕對(duì)值概念——指數(shù)——近似數(shù)——科學(xué)記數(shù)法有理數(shù)——實(shí)數(shù)——運(yùn)算整式——整式運(yùn)算——因式分解代數(shù)式——分式——通分——約分——分式運(yùn)標(biāo)根式——化簡——概式----運(yùn)算——分母有理化【典型例題】例1、求代數(shù)式+中x的取值范圍。解：由題得：∴x的取值范圍是x≥2且x≠5評(píng)注：（1）偶次根數(shù)有意義，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)。有意義不是x>0,奇次根式有意義，被方數(shù)可以是任何實(shí)數(shù)。（2）注意“且”與“或”的區(qū)別。例2、計(jì)算：（1）Sin60+(-1)-||-(-)-·(-1)(2)+(1-)÷(1+)+(3)()2+)+|3x-10|解：（1）原式=+1+-1-4-=-3(2)原式=++===(3)原式=3-x+|3-x|+|3x-10|=3-x+3-x+10-3x=16-5x評(píng)注：（1）數(shù)與式的混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序與符號(hào)問題。（2）在運(yùn)算過程中，適當(dāng)運(yùn)用乘法方式，因式分解等可以使運(yùn)算簡便。（3）根式的化簡要注意條件中對(duì)分母取值范圍的限定。例3、已知y=求代數(shù)-的值。解：∵x2-4≥0,x2-4≤0,x+2≠0∴x=2,y=8原式=-==-=-評(píng)注：（1）此類題一般應(yīng)先化簡，再代入求值。（2）如果將上題條件改為：x,y滿足解方程式為：或,原題并沒出有兩解。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，代數(shù)式無意義，應(yīng)舍去。例4、設(shè)a,b,c為三角形的三邊，比較（a2+b2-c2)2與4a2b2的大小，說明理由。解：（a2+b2-c2)2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=（a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)＜0∴（a2+b2-c2)2＜4a2b2評(píng)注：（1）比較兩數(shù)（或式）的大小，常用方法有：作差法、作商法，比較被開方數(shù)、比較平方數(shù)、比較倒數(shù)、運(yùn)用數(shù)軸等。（2）作差法與零比較常用兩種手段：因式分解與配方法。例5、觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：2=驗(yàn)證：====3=驗(yàn)證：3==＝==（1）按照上述兩個(gè)等式及驗(yàn)證過程的基本思路，猜想4的變形結(jié)果，并寫1個(gè)驗(yàn)證；（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n為正整數(shù)，且n≥2）表達(dá)的等式，并給出證明。解：（1）4=驗(yàn)證：＝＝＝＝（2）n=（n≥2)驗(yàn)證：＝＝＝＝評(píng)注：解決此例可從比較，觀察入手，進(jìn)行模仿，然后用字母表示數(shù)，表示一般規(guī)律，展示了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想?！具x講例題】例5、設(shè)a,b,c為三角形三邊長，且滿足a2+b2+c2+4x2-12a-4bx-20c+136=0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解：配方法：（a-6)2+(b-2x)2+(c-10)2=0∴a=6b=2xc=10∵c-a＜b＜c+a∴4＜2x＜16∴2＜x＜3評(píng)注：對(duì)于含有多個(gè)字母而只有一個(gè)等式求解，通過配方法轉(zhuǎn)化為n個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于零的形式是一種常用的思路?！菊n堂小結(jié)】數(shù)與式的運(yùn)算是整個(gè)初中階段數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，如負(fù)指數(shù)，含有隱含條件的代數(shù)式化簡等應(yīng)多加訓(xùn)練?；A(chǔ)練習(xí)1.計(jì)算-2+（∏+7）-|tg45-2|×(-)+(-)2÷(-0.9)2.求值：(+)×其中a=3.已知：m-n=3,求4(m-n)2-3m+3n+5的值4.已知10=a,10=b,試用a,b表示1005.已知a,b滿足+|b-|=0,解關(guān)于x的方程（a+2)x+b2=a-1【鞏固練習(xí)】1.填空題：（1）的平方根是_______.(2)已知a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖，則-|a-b|=______.(3)若表示一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)m的值是_______.(4)近似數(shù)0.034萬，精確到____位，有______個(gè)有效數(shù)字，用科學(xué)記數(shù)法記作_____萬。（5）已知=-x成立，則x滿足_________.(6)若x,y異號(hào)，且x2-xy-6y2=0,則分式=________.2.研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42……請(qǐng)你用方式將找出的規(guī)律表示出來。3.計(jì)算：×-（-）+tg60-|-2|4.已知x=(+),y=(-),求代數(shù)式+的值。5、已知代數(shù)式+有意義，化簡-+6.若A=為a+3b的算術(shù)平方根，B=為1-a的立方根，求A+B的平方根?！菊n后反思】第二講方程（組）的解法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握解方程（組）的基本方法。2、體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想。知識(shí)框圖方程方程組【典型例題】例1.解下列方程.（1）x+x-+1=0（2）x-4x+2-11=0(3)(x-2x)+(x-2x)-2=0解：（1）設(shè)x2+x=y,則原方程可變?yōu)閥-+1=0，即y2+y-6=0∴y1=-3,y2=2.當(dāng)y1=-3時(shí)，x+x+3=0無實(shí)根。當(dāng)y2=2時(shí)，x+x-2=0,x=-2x=1.經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的根是x=-2x=1(2)設(shè)=y,則y+4y-21=0,∴y=-7y=3當(dāng)y1=-7時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)y2=3時(shí)，2x-8x-1=9∴x=5x=-1.經(jīng)檢驗(yàn)原方程的根是x=5，x=-1.（3）設(shè)(x-2x)=y,則y+y-2=0∴y=1,y=-2當(dāng)y=1時(shí)，(x-2x)=1，x=1+，x=1-。當(dāng)y=-2時(shí)，(x-2x)=-2，方程無實(shí)根，∴x=1+，x=1-。評(píng)注：（1）解分式方程的基本思路是化分式方程為整式方程，對(duì)特殊類型的分式方程可采用換元法。（2）解根式方程的基本方法是對(duì)方程兩邊同時(shí)平方，特殊類型的方程采用換元法。（3）解一元高次方程的基本思路是使方程降次。通常用的降次方法是因式分解法和換元法。例2.解方程組.1.2.解：1.由(1)得y=2x-1,代入（2）得：2x+x=0∴x=0,x2=-把x=0代入（3），得y=-1,把x=-代入（3）得y=-2∴方程組的解是2.原方程組可化為以下四個(gè)方程組：∴評(píng)注：（1）由一個(gè)二元一次方程與一個(gè)二元二次方程組成的方程組，宜用代入法，解方程組的思想是“消元”。（2）由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，宜用分解降次的方法。例3.已知三角形三邊長適合方程x-6x+8=0.求三角形的周長。解：由x-6x+8=0，得x=2,x=4可得三角形周長為：6，12，10。評(píng)注：按等邊三角形，等腰三角形分類討論。例4.若方程組的解x,y滿足方程=x+1,求a值。解：由得,(舍）代入方程xy=-a+a+2,得-a+a=0∴a=0或a=1【選講例題】例5.已知x是實(shí)數(shù)，且-(x+3x)=2,那么x+3x的值為（）（A）1（B）-3或1（C）3（D）-1或3解：設(shè)x+3x=y得y+2y-3=0∴y=-3,y=1當(dāng)y=-3時(shí)，x+3x=-3無實(shí)根，應(yīng)舍去；當(dāng)y=1時(shí)，x+3x=1，＞0。應(yīng)選A。評(píng)注：解題時(shí)，若忽視“實(shí)數(shù)”這個(gè)題設(shè)條件，將求得的值不加檢驗(yàn)直接寫出，則前功盡棄。又如“已知x為實(shí)數(shù)，且x+2x+6=4,則x+2x的值等于_______”，與本例異曲同工，不妨試一試?！菊n堂小結(jié)】本講內(nèi)容主要學(xué)習(xí)了方程（組）的基本解法，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決某些特殊方程（組），對(duì)分式方程、根式方程必須要檢驗(yàn)。【基礎(chǔ)練習(xí)】1.解方程（組）（1）2x(x-3)=5(x-3)(2)2x+8x-3=4(3)2.若方程組的解x與y相等，求a的值。3.一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組的解是和,試寫出符合要求的方程式__________。（只要求寫一個(gè)）4.若解分式方程-=產(chǎn)生增根，則m的值是（）（A）-1或-2（B）-1或2（C）1或2（D）1或-2【鞏固練習(xí)】1.如果x=1是方程x+kx+k-5=0的一個(gè)根，那么k值是_______.2.方程組的一個(gè)解為,那么這個(gè)方程組的另一個(gè)解是______.3.已知（x+y+1)=4,則x+y=__________.4.已知方程x+x-1=0的兩個(gè)根為x,x,則（x+2x-1)(x+2x-1)的值為________.5.解方程（組）（1）x-2x-2=(2)x-3x-=1(3)【課后反思】第三講不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解一元一次不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)。2、掌握一元一次不等式，一元一次不等式的解法。3、了解不等式及不等式組的解的意義?！局R(shí)框圖】【典型例題】例1、填空，用不等式表示下列各數(shù)量關(guān)系。（1）x與y的差不大于5______________（2）a與-4的和是負(fù)數(shù)____________解：（1）x－y≤5(2)a－4≥0評(píng)注：充分理解題意，按題目意思列出式子，準(zhǔn)確理解特殊“字”“詞”的意義如“不大于”“非負(fù)數(shù)”等。例2、求不等式2x－7＋＜+5－4x的整數(shù)解。分析：首先想到求出X的取值范圍，然后利用解的意義，可利用數(shù)軸得到所求的答案，此題要注意隱含條件。解：∵2X－7＜5－4X又∵x＋2≥0∴x＜2∴x≥-2∵-2≤x＜2-2-1012∴滿足條件的整數(shù)解為-2，-1，0，1例3、已知不等式組的解為x＞2求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：先可化簡不等式組得再由不等式組的解的意義可得≤2，即可求得a的取值范圍，特別注意可等于2解：由可得又由此可得≤2解得a≤3例4：函數(shù)y1＝ax+bx+c(a≠0)與y2＝mx+n(m≠0)的圖象相交于點(diǎn)(2，3)的原點(diǎn)，且拋物線y1=ax+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)(1).確定這兩個(gè)函數(shù)的解析式。(2).求當(dāng)x為何值時(shí)y＞y，y＜y分析：（1）題可由待定系數(shù)法求解，求拋物線解析式時(shí)應(yīng)注意用y=a(x-x)(x-x)來求較簡單（2）題可由題意一無二次不等式得解，但若到利用涵數(shù)圖象的性質(zhì)則可更易得解。解：（1）略yy2=mx+n（2）如圖（2.3)∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＞y當(dāng)x＞2或x＜0時(shí)，y＜y06xy1=ax+bx+c【選講例題】例5、如圖點(diǎn)P是半徑為5的⊙0內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，在過點(diǎn)P的所有的⊙0的弦中，弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）AR=5A、2B、3C、4D、5P=3分析：分析題意可得：過p的弦長x的最小值為2=8，最長弦為直徑10，所以弦長x的范圍為8≤x≤10，則正整數(shù)解為8、9、10。若選答案“B”這錯(cuò)誤。利用圓的軸對(duì)稱性，x=8的弦只有1條，x=10的弦也只有1條，x=9的弦則有2條，所以合計(jì)有4條。【基礎(chǔ)練習(xí)】（1）填空：若a＜b,則4a+1_________4b+1，－______－a－b________0（在空格內(nèi)填入：“＞”、“＜”）（2）代數(shù)式的值是非正數(shù)，則x的取值范圍是多少？（3）不等式的解集為（）A.x＞2B.x＜1C.1＜x＜2D.空集（4）不等式|x-3|≥2的解集為（）A.x≥5B.x≤1C.1≤x≤5D.x≥5或x≤1(5)解不等式（x-6)(x+1)＜0【鞏固練習(xí)】（1）若a、b、c是三角形ABC的三條邊，則下列不等式中正確是的（）A.a-b-c-2bc＞0B.a-b-c-2bc＜0C.a-b-c-2bc=0D.a-b-c-2bc≥0(2)已知三角形ABC中，各邊長均為正整數(shù)，且AB=5cm,AB≥BC≥CA,則滿足上述條件的不同的三角形共有（）A.1個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)（3）已知：如圖a、b、c、d的位置已經(jīng)確定，則下列不等式中成立的個(gè)數(shù)為（）①a＞b②ac＜d③bd＞d④c+d＞a+bA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)ba0cd（4）解不等式：x-+≤1+(5)解不等式組：(6)解不等到式：＞1(7)當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程6(x+k)=2x+5的解是（1）正數(shù)（2）小于-2(8)滿足不等式-1999.5＜x+1≤2001的整數(shù)有________個(gè)。（9）關(guān)于x的方程x(2kx+1)=-8k(x+1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求k的取值范圍。（10）已知：a、b為整數(shù)，x－ax+3－b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；x+（6-a）x+7-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；x+（4-a）x+5-b=0沒有實(shí)數(shù)根，求a、b的值。【課后反思】第四講一元二次方程式的判別式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.體驗(yàn)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ＝b2－4ac判根的作用。2.探索一元二次方程的各種情況?！局R(shí)框圖】不解方程判根ax2+bx+c=oΔ=b2－4ac應(yīng)用已知方程根的情況確定方程的字母系數(shù)求證方程有根的狀況典型例題例1.不解方程判定下列方程是否有實(shí)數(shù)根。（1）2x2+x-1=0（2）3x2+=x（3）y(2y+5)=2(y-1)（4）1998m2-2002m-2003=0解：（1）∵Δ=12-4×2×(-1)=9＞0∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）方程可化為3x2-x+=0∵Δ=6-3×4×=0∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。（3）方程可化為2y2+3y+2=0∵Δ=9-4×2×2=-7＜0∴方程沒有實(shí)數(shù)根。（4）∵ac＜0∴b2-4ac＞0∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。評(píng)注：（1）判定方程是否有實(shí)數(shù)根，只要通過計(jì)算Δ的值，就能確定；（2）當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a,c異號(hào)時(shí)，必有b2－4ac＞0。例2：當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程x2+(1-2k)x+k2-1=0（1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根。解：∵Δ=（1-2k）2-4（k2-1）=-4k+5（1）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴Δ=0即-4k+5=0∴k=當(dāng)k=時(shí)方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根。（2）∵方程有兩相不相等的實(shí)數(shù)根∴Δ＞0即-4k+5＞0∴k＜當(dāng)k＜時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（3）∵方程沒有實(shí)數(shù)根∴Δ＜0即-4k+5＜0∴k＞當(dāng)k＞時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根評(píng)注：若已知方程根的情況，則可通過Δ已確定的符號(hào)（Δ＞0或Δ=0或Δ＜0等）列式，計(jì)算待定系數(shù)的值或確定取值范圍。例3：求證：不論k取什么實(shí)數(shù)，方程x2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。證明：∵Δ=k2-4k+84=(k-2)2+80∵(k-2)2≥0∴(k-2)2+80＞0∴Δ＞0∴不論k取什么實(shí)數(shù)，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。評(píng)注：（1）要證明方程根的情況，只需通過判斷Δ的符號(hào)即可；（2）判定Δ的符號(hào)卻常常使用配方技巧或因式分解等。例4：當(dāng)k取何值時(shí)，方程(k-1)x2-x+1=0有實(shí)根。解：（1）當(dāng)k=1時(shí)方程可化為-x+1=0,x=1（2）當(dāng)k≠1時(shí)，Δ≥0Δ=k-4(k-1)=-3k+4≥0∴k≤又要使有意義∴k≥0∴0≤k≤且k≠1綜合所述當(dāng)0≤k≤時(shí)方程有實(shí)數(shù)根。評(píng)注：（1）本題中對(duì)于“方程有實(shí)數(shù)根”的含義的理解是關(guān)鍵，應(yīng)分類討論；（2）解題時(shí)要注意方程中待定系數(shù)本身的取值范圍：這里k≥0?！具x講例題】例5：方程++=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根（等根視為一根），求a的值。解：方程化簡x2+(x-2)2+2x-a=02x-2x+4-a=0（1）若Δ=0,Δ=4-2×4×(4-a)=0即2a-7=0,a=此時(shí)方程為2x2-2x+=0,此時(shí)方程的根為x1=x2=符合題意。（2）若Δ＞0則要使原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，必須是方程2x2-2x+4-a=0中有一根為增根<1>當(dāng)增根為x=0時(shí)，a=4，此時(shí)方程2x2-2x=0x1=0,x2=1，符合原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。<2>當(dāng)增根為x=2時(shí)，2×4-2×2+4-a=0∴a=8此時(shí)方程為2x2-2x+4=0∴x1=2,x2=-1,符合原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。綜上所述a的值為、4或8。評(píng)注：（1）本題主體思想是通過方程的根進(jìn)行分類討論；（2）對(duì)化簡后方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，通過增根求出待定系數(shù)后再檢驗(yàn)；（3）若化簡后二次項(xiàng)系數(shù)是有關(guān)a的代數(shù)式，則還要進(jìn)行方程類別的討論?！菊n堂小結(jié)】本節(jié)內(nèi)容主要學(xué)習(xí)了一元二次方程的根的判別式Δ及其作用，主要體現(xiàn)在Δ＞0，Δ=0和Δ＜0時(shí)，對(duì)方程的解的影響。只要涉及到方程解的情況討論時(shí)，Δ是主要討論的內(nèi)容，同時(shí)也不可忽視Δ使用的前提：二次項(xiàng)系數(shù)不能為零?！净A(chǔ)練習(xí)】1.選擇題（1）若方程x2-2x+m=0沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m＞1B.m=1C.m＜1D.任何實(shí)數(shù)（2）若一元二次方程根的判別式Δ=(m-1)2,則下列說法不正確的是（）A.一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根B.一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.當(dāng)m＜1沒有實(shí)數(shù)根D.以上說法都不正確2.填空題（1）方程x2-3x-4=0的判別式Δ=__________.（2）若方程（x+2)2+(y-2)2=0,則x+y=_________.3.m為何值時(shí)，一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。4.已知a、b、c為三角形三邊長，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。求證：三角形是直角三角形。5.已知二次函數(shù)y=x2-2(m+1)x+m2-1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍。【鞏固練習(xí)】1.選擇題（1）方程x2+3x+6=0與x2-6x+3=0的所有實(shí)根的乘積等于（）A.-18B.18C.-3D.3（2）若關(guān)于x的方程x2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是（）A.k≥0B.k＞0C.k＞-1D.k≥-12.填空題（1）一元二次方程x2-3x-m=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則m的值為____________。（2）若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是____________。3.已知關(guān)于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k≤3（1）求證：此方程總有實(shí)根；（2）當(dāng)方程有兩實(shí)數(shù)根，且兩實(shí)根的平方和等于4時(shí)，求k的值。4.已知等腰三角形的兩邊長a、b是方程x2-kx+12=0的兩根，另一條邊長c=4，求k的值。5.已知方程組有兩組不相等的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍。6.若方程x2+2px-q=0（p、q是實(shí)數(shù)）沒有實(shí)數(shù)根。（1）求證：p+q＜（2）試寫出上述命題的逆命題；（3）判斷（2）中的逆命題是否正確，若正確請(qǐng)加以證明，若不正確，請(qǐng)舉一反例?！菊n后反思】第五講韋達(dá)定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)會(huì)用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值。2、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理求待定系數(shù)。3、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理構(gòu)造方程，解方程組。4、能應(yīng)用韋達(dá)定理分解二次三項(xiàng)式。知識(shí)框圖求代數(shù)式的值求待定系數(shù)一元二次韋達(dá)定理應(yīng)用構(gòu)造方程方程的求根公式解特殊的二元二次方程組二次三項(xiàng)式的因式分解【典型例題】例1、已知、是方程x-5x+1=0的兩個(gè)根，求下列代數(shù)式的值（1）+（2）（-）（3）+（4）α+β（5）α-5α+3αβ-β解：由韋達(dá)定理知α+β=5，αβ=1（1）α+β=（α+β）-2αβ=23（2）（α-β）=（α+β）-4αβ=21（3）+＋===（4）α+β=（α+β）-3αβ（α+β）=110（5）α-5α+3αβ-β=3αβ-（α+β）=-2評(píng)注：求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值，關(guān)鍵是將所給代數(shù)式合理地進(jìn)行恒等變形，使其轉(zhuǎn)化成α+β，αβ表示的形式，主要運(yùn)用配方法，通分，因式分解等方法。例2：已知方程2x-kx+4=0的一個(gè)根是1+，求另一根及k的值。解：設(shè)方程的另一根為x,由韋達(dá)定理知解得∴方程的另一根為-1，k的值為4。評(píng)注：本例主要熟悉并掌握運(yùn)用根的定義及韋達(dá)定理求待定系數(shù)和方程的根。例3：已知關(guān)于x的方程x+2(m-2)x+m+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根積大21，求m的值。解：設(shè)x+2(m-2)x+m+4=0的兩根值為x1,x2則x1+x2=-2(m-2),x1x2=m+4由題意得：x12+x22=x1x2+21(x1+x2)-3x1x2-21=04(m-2)-3(m+4)-21=0m=17,m=-1把m1=17代入原方程得x+30x+293=0,Δ＜0∴方程無實(shí)數(shù)根，∴m1=17不合題意，舍去把m2=-1代入原方程得x-6x+5=0,Δ＞0∴m=-1評(píng)注：應(yīng)用韋達(dá)定理求一元二次方程中待定系數(shù)是一種常見的方法，但應(yīng)特別注意一元二次方程是否有根的檢驗(yàn)，同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)及本身隱含的取值范圍。例4：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。（1）x-x+1(2)-3y+y+1(3)4x+8xy-y解：（1）令x-x+1=0，解方程得x=∴x-x+1=(x-)(x-)(2)令-3y+y+1=0，解方程得y=∴-3y+y+1=-3(y-)(y-)(3)把4x+8xy-y=0看作關(guān)于x為未知數(shù)的方程。令4x+8xy-y=0解方程得x=y,∴4x+8xy-y=4(x-y)(x-y)=(2x+2y-y)(2x+2y+y)評(píng)注：當(dāng)二次三項(xiàng)式不能公式進(jìn)行分解時(shí)，往往令二次三項(xiàng)式等于0轉(zhuǎn)化為一元二次方程，令ax+bx+c=0兩根為x１,x２,則ax+bx+c=a(x-x１)(x-x２),注意分解時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)不要漏掉，當(dāng)二次三項(xiàng)式含有兩個(gè)字母時(shí)把其中一個(gè)字母看作未知數(shù)，另一個(gè)字母看作常數(shù)來解。【選講例題】例：在三角形ABC中，a,b,c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且C=5，若關(guān)于x的方程（5+b)x2+2ax+(5-b)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，又方程2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為6，求ΔABC的面積。解：∵方程（5+b)x+2ax+(5-b)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴Δ=4a-(5+b)(5-b)=0即a+b=75∵c=5∴a+b=c∴ΔABC為直角三角形，用∠C=90設(shè)x1,x2是2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2=5SinA，x1x2=SinA∵x1+x2=6∴(5SinA)-SinA=6∴SinA=或SinA=-(舍去）在RtΔABC中，C=5,a=c，SinA=3b==4∴SΔABC=ab=18評(píng)注：這是一道典型的綜合性題，這匯集了根的判別式，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)，三角形面積等多方面的知識(shí)，解這類綜合題時(shí)，要理清楚思路，抓拄每個(gè)給出的條件，得到相應(yīng)的結(jié)論，從而環(huán)環(huán)地將繩索解開。【基礎(chǔ)練習(xí)】1、填空：（1）設(shè)α，β是方程3x-5x+1=0的兩根，則αβ+αβ=_______（2）若+1是方程x-kx+1=0的一個(gè)根，則k=________（3）分解因式2x+3x-1=__________（4）若方程3x-x+m-4=0有一正一負(fù)兩個(gè)根，則m的取值范圍是_____________（5）已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的兩個(gè)根，則（a+ma+1)(b+mb+1)的值為_______（6）方程x+8x-1=0的兩個(gè)根為α，β，則3α+2αβ+8α-9=_______2、已知a-3a=1,b-3b=1,求+的值。3、三角形ABC的三邊長分別為a,b,c，滿足b=8-c,a-12a-bc+52=0,試判斷三角形ABC的形狀。4、s,t滿足19s+99s+1=0,t+99t+19=0，并且st≠1,求的值?！菊n堂小結(jié)】1、掌握韋達(dá)定理2、掌握韋達(dá)定理的幾個(gè)應(yīng)用?！眷柟叹毩?xí)】1、因式分解6xy+7xy-3=___________2、解方程組3、如果直角三角形三條邊a,b,c,都滿足方程x-mx+=0,求三角形的面積。4、已知方程2x-8x-1=0的兩個(gè)根為α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)為根的一元二次方程。5、已知某二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為p,q，且滿足關(guān)系式,試求這個(gè)一元二次方程。6、已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)根（1）是否存在實(shí)數(shù)根k，使（2α-β)(α-2β)=-成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（2）求使+-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值?！菊n后反思】第六講正反比例函數(shù)及一次函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、經(jīng)歷正、反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)、圖像、解析式三者的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行判斷，計(jì)算的過程。2、體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的作用。3、探索用函數(shù)的思想解決實(shí)際問題。知識(shí)框圖y=kx(k≠0)的圖像和性質(zhì)常量和變量——函數(shù)——平面直角坐標(biāo)系——y=kx+b(k≠0)的圖像和性質(zhì)y=(k≠0)的圖像和性質(zhì)典型例題例1、如圖1所示，正方形ABCD邊長為4，頂點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在第一象限OB與X軸正方向成yMCDB30，點(diǎn)D在第二象限，求正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。DˊBˊO(A)解：如圖在RtΔOBBˊ中，∠BOBˊ=30,OB=4∴BBˊ=2,OBˊ=2∴B的坐標(biāo)為（2，2）同理可相應(yīng)得到：C(2-2,2+2)、D(-2,2)A(0,0)評(píng)注：（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)，只需求出點(diǎn)到x軸,y軸的距離；（2）將到坐標(biāo)軸的距離確定后轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，應(yīng)注意符號(hào)的變化。例2、根據(jù)下列條件分別解題（1）已知y與x+2成正比例，當(dāng)x=7時(shí)，y=12,求當(dāng)-2≤y≤3時(shí)，x的取值范圍；（2）已知直線經(jīng)過點(diǎn)P（1，3），且交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，若OA+OB=8（O為原點(diǎn)），求直線的解析式；（3）在反比例函數(shù)y=的圖像上有一點(diǎn)A，它的橫坐標(biāo)n使方程x-nx+n-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，A與B（1，0），C（4，0）為頂點(diǎn)的三角形面積等于6，求反比例函數(shù)的解析式。解：（1）設(shè)y=k(x+2),把x=7,y=12代入得k=∴y=x+∵-2≤y≤3∴-2≤x+≤3∴-≤x≤(2)設(shè)直線解析式為y=kx+b,，則A(-,0),B(0,b)且-＞0,b＞0∵OA+OB=8∴-+b=8∵點(diǎn)P（1，3）在直線上，∴k+b=3解得：k=-1,b=4或k=-3,b=6∴所求的解析式為y=-x+4或y=-3x+6(3)Δ=(-n)-4×1×(n-1)=0解得n=2設(shè)A的縱坐標(biāo)為y,由SΔABC=6得到：×3|y|=6則y=+4,得到A(2,4)或（2，-4）∴+4=∴k=-8∴解析式為：y=或y=-評(píng)注：（1）待定系數(shù)法是求函數(shù)的解析式最基本的方法，其關(guān)鍵是根據(jù)條件列出方程，從而確定待定系數(shù)的值；（2）利用坐標(biāo)表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離或平行于坐標(biāo)軸的線段的長度，要特別注意線段的長度都是正數(shù)，否則就會(huì)漏解。例3、2002年，諸暨舉辦“珍珠節(jié)”，需要生產(chǎn)4000個(gè)珍珠紀(jì)念品，一名工人一天的產(chǎn)量為5至8個(gè)，若要在40天內(nèi)完成任務(wù)，那么大約需要多少工人？解：設(shè)每天生產(chǎn)紀(jì)念品需要工人y個(gè)，每人每天生產(chǎn)x個(gè)則y==(x＞0)由于5≤x≤8,則≥y≥即12≤y≤20∵y是正整數(shù)，∴大約需工人13至20人。評(píng)注：利用函數(shù)的思想解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系式。例4、如圖2，已知直線y=-2x+m和y=x+n(0＜n＜m)相交于點(diǎn)P，且與x軸分別交于點(diǎn)A和B。（1）用m,n表示點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)Q是PB與y軸的交點(diǎn)，且四邊形PQOA的面積是，線段AB=2，求m,n的值。y解：（1）得A（,0),B(-n,0)P得x=,，y=Q∴P(,)BOAx(2)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（O,n)圖2由|AB|=2，得+n=2由S四邊形PQOA=,得m+4mn-2n=5解得：m=2,n=1評(píng)注：（1）解“函數(shù)---幾何---方程”型綜合題，要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，方程思想，善于挖掘圖形中的數(shù)量關(guān)系；（2）兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)與它們解析式聯(lián)列方程的解具有對(duì)應(yīng)關(guān)系。【選講例題】例5：某農(nóng)場300名職工耕種51公頃土地，分別種植水稻，蔬菜和棉花，種植這些農(nóng)作物每公頃所需職工數(shù)如表1所示：表1設(shè)水稻、蔬菜、棉花的種植面積分別為x公頃、y公頃、z公頃。（1）分別寫出y、z與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若這些農(nóng)作物預(yù)計(jì)產(chǎn)值如表2所示，且總產(chǎn)值P滿足：360≤x≤370(x,y,z均為整數(shù)），這個(gè)農(nóng)場應(yīng)怎樣安排水稻、蔬菜、棉花的種植面積。表2解：（1）y=15+x,z=36-x(2)P=4.5x+9y+7.5z=-2.5x+405∵360≤x≤370得14≤x≤18∵x,y,z均是正整數(shù)∴x=15,y=20,z=16或x=18,y=21,z=12答：這個(gè)農(nóng)場安排種植水稻、蔬菜、棉花的面積分別為15公頃、20公頃、16公頃或18公頃、21公頃、12公頃。評(píng)注：在應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并注意自變量的取值范圍?！净A(chǔ)練習(xí)】1、選擇題（1）已知函數(shù)y=-x+2,當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，y的取值范圍是（）A-＜y≤B＜y＜C≤y＜D＜y≤（2）已知反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），那么k的值為（）A、-6B、6C、-D、2、填空題（1）一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-2，3）與（1，-1），它的解析式是________（2）已知函數(shù)y=(m+m-2)x是反比例函數(shù)，則m=_______3、已知y與的算術(shù)平方根成正比例，并且當(dāng)x=9時(shí)，y=2,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式。4、如圖3，直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=-x+6與x、y軸分別交于點(diǎn)A和B，設(shè)線段AB上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,ΔPOA的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式?！眷柟叹毩?xí)】1、選擇題（1）若m+n＜0,mn＞0,則一次函數(shù)y=mx+n的圖象不經(jīng)過（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限（2）直線y=kx+b與直線y=x+3交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，而與直線y=3x-9的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也是5，則直線y=kx+b與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A、B、C、D、12、填空題（1）正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為_____（2）已知（x１,y１),(x２,y２),(x３,y３)是反比例函數(shù)y=圖象上的三個(gè)點(diǎn)，且x１＜0＜x２＜x３,則y１,y２,y３的大小關(guān)系是（用“＞”連接）_________3、兩條直線y1=k1x+b1和y2=k2x+b2都經(jīng)過點(diǎn)P（-2，1），其中y1=k1x+b1在y軸上截距為-3，y2=k2x+b2與直線y=2x平行，求這兩條直線的解析式。4、一次函數(shù)y=(m-4)x+(1-m)和y=(m+2)x+(x-3)的圖像與y軸分別相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，求m的值。5、已知函數(shù)y=的圖象上有一點(diǎn)P(m,n),且m,n是關(guān)于t的方程，t-4at+4a-6a-8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中a是使方程有實(shí)根的最小整數(shù)，求函數(shù)y=的解析式。6、如圖，已知RtΔABC的頂點(diǎn)A是直線y=x+m-1與雙曲線y=在第一象限的交點(diǎn)，點(diǎn)C是直線y=x+m-1與x軸的交點(diǎn)，已知SΔABC=7，求SΔABC。yACOBx【課后反思】第七講二次函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、經(jīng)歷二次函數(shù)圖象、性質(zhì)、解析式三者有機(jī)轉(zhuǎn)換過程，加深到二次函數(shù)性質(zhì)的理解。2、體驗(yàn)二次函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。3、探索用數(shù)形結(jié)合的思想解決函數(shù)，幾何綜合型問題?！局R(shí)框圖】圖案判別函數(shù)增減性y=ax+bx+c(a≠0)應(yīng)用求最值性質(zhì)【典型例題】例1：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于2，且圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3）。（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）說出該函數(shù)圖象的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)及和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）畫出二次函數(shù)的草圖，說出x為何值時(shí)，y＞0?y≤0?；（4）求繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后新拋物線解析式；（5）設(shè)有直線y1=x-1,當(dāng)x為何值時(shí)y1＞y？解：（1）解法一：由條件得：解得∴y=x２-4x+3解法二：設(shè)y=a(x-2)２+k=ax２-4ax+4a+4由條件得解得∴y=(x-2)２-1=x２-4x+3解法三：∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=2，與x軸兩交點(diǎn)的距離等于2∴拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），（3，0）設(shè)y=a(x-1)(x-3)把(4,3)代入得a=1∴y=(x-1)(x-3)=x２-4x+3y評(píng)注：求二次函數(shù)解析式可考慮三種方案：設(shè)一般式，頂點(diǎn)式與交線，但應(yīng)選擇最簡單的方案，如上解法三更為簡捷。（2）開口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1）(0,3)(4.3)令y=0，則x1=3,x2=1所以與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0），令x=0,則y=3,所以與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）(1,0)(3,0)（3）草圖如圖1Ox當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，y＞0-1圖1(2,-1)當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y≤0（4）新拋物線的解析式為：y=-(x-2)２-1評(píng)注：在拋物線的平移、對(duì)稱變換中，由于開口大小不變，所以|a|保持不變；解這類題關(guān)鍵是抓住頂點(diǎn)如何變化及拋物線開口方向。（5）如圖，直線y1=x-1圖象，與拋物線交于（1，0），（4，3），當(dāng)1＜x＜4時(shí)，y1＞y例2：例1中，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點(diǎn)為C，O為原點(diǎn)。（1）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使3SΔMAB=3ΔABC？若存在，求M坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使ΔMAB與ΔAOC相似？若存在，求出過P，B兩點(diǎn)的直線解析式，若不存在，說明理由。解（1）設(shè)M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h,由3ＳΔMAB=3ＳΔABC得：3××AB×|h|=×AB×3∴h=+1當(dāng)h=1時(shí)，x２-4x+3=1,解得x=2+當(dāng)h=-1時(shí)，x２-4x+3=-1，解得x=2∴存在M點(diǎn)，M的坐標(biāo)為（2+，1），（2-，1），（2，-1）（2）RtΔOAC中，OA：OC=1：3y假設(shè)P點(diǎn)存在，則考慮兩種情況：C=或=３∴OP=OB或OP=3OBO１３ABx∴OP=1或OP=9圖2∴P的坐標(biāo)有P１（0，1），P２（0，-1），P３（0，9），P４（0，-9）評(píng)注：存在性問題一般是先假設(shè)結(jié)論成立，然后求解；同時(shí)應(yīng)用分類思想考慮各種情況，做到不遺漏。例3：某商場以每件45元的價(jià)錢購進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷情況得知，這種服裝每天的銷售量T（件）與每件的銷售價(jià)x（元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系T=-3x+207(45≤x≤69)（1）寫出商場賣這種服裝每天的利潤y與每件的銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）問商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價(jià)定為多少最合適，最大的利潤是多少？解：（1）y=(-3x+207)x-45(-3x+207)=-3(x２-114+3105)(45≤x≤69)（2）y=-3(x-57)２+432(45≤x≤69)當(dāng)x=57時(shí)，y最大=432∴每件的銷售價(jià)定為57元最合適，此時(shí)，每天的最大利潤是432元。評(píng)注：用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題的最值時(shí)，首先應(yīng)選取適當(dāng)?shù)淖兞浚⒛繕?biāo)函數(shù)，然后在變量的取值范圍內(nèi)求出目標(biāo)函數(shù)的最值?！具x講例題】例4：已知拋物線y=x２-ax-2(a-3),求證：當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)位置最高時(shí)，它與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離最小。證明：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（,）當(dāng)頂點(diǎn)位置最高時(shí)，即頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大而=,當(dāng)a=4時(shí)，縱坐標(biāo)最大拋物線與x軸兩面?zhèn)€交點(diǎn)間距離為=,同時(shí)a=4時(shí)，取得最小值?！菊n堂小結(jié)】本節(jié)內(nèi)容主要復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及其應(yīng)用。求拋物線解析式的關(guān)鍵是：靈活運(yùn)用題目所給條件，合理“設(shè)”，正確“列”；理解二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵是：充分利用圖象的直觀性，并注意方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及待定系數(shù)法、配方法在本節(jié)中的應(yīng)用?！净A(chǔ)練習(xí)】1、已知二次函數(shù)y=2x２-4x-1圖象上兩點(diǎn)A(x１,y１),B(x２,y２),若x１＜x２＜1,則y１,y２中較大的是_________.2、拋物線y=x２-2x-4關(guān)于y軸對(duì)稱拋物線的解析式是__________；關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式為__.3、已知拋物線y=x２-(m+2)x+1,根據(jù)下列條件求m的值。對(duì)稱軸是直線x=4；（2）有最小值-3；（3）頂點(diǎn)在x軸上；（4）頂點(diǎn)在直線y=x-1上。4、把拋物線y=2x２平移，使它通過一次函數(shù)y=x-2的圖象與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及其最大值或最小值。5、設(shè)x１，x２是拋物線y=k２x２-2(k-1)x+1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且+=14.求k的值?！眷柟叹毩?xí)】1、選擇題（1）拋物線y=(a-1)x２+a２+2a-3經(jīng)過原點(diǎn)，則a的值為（）A、1B、-3C、1或3D、無法確定（2）若拋物線y=ax２+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)在第一象限，且經(jīng)過（0，1），（-1，0），則S=a+b+c的變化范圍是（）A、0＜S＜2B、S＞1C、1＜S＜2D、-1＜S＜12、填空題（1）若拋物線y=ax２+bx+c如圖所示，y則直線y=abx+c不經(jīng)過第____象限。0x（2）直線y=ax-9通過拋物線y=-(x-a)２的頂點(diǎn)，則a=________.3、已知a、b、c是一個(gè)三角形三邊長，求證二次函數(shù)y=a２x２+(a２+b２-c２)x+b２的圖象與x軸沒有交點(diǎn)。4、如圖，已知拋物線y=x２+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于C，∠ACB=Rt∠,且-=,求ΔABC外接圓的面積。yAOBxC5、已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12，從它的一個(gè)頂點(diǎn)作一條射線，將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于，設(shè)梯形的面積為S，梯形中較短的底的長為x，試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍。【課后反思】第八講解直角三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解銳角三角函數(shù)定義及熟記30、45、60的三角函數(shù)值。2、會(huì)用直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)解直角三角形。3、會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決某些簡單的實(shí)際問題?！局R(shí)框圖】銳角三角函數(shù)特殊三角函數(shù)值（300、450、600）解直角三角形實(shí)際應(yīng)用（錐度、坡度等）【典型例題】例1：ΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于點(diǎn)D，若BD∶AD=1∶4，則tg∠BCD的值是（）A、B、C、D、2解：設(shè)BD=a，AD=4a,由CD２=AD×DB，得CD=2atg∠BCD=,應(yīng)選C。ADB評(píng)注：銳角三角函數(shù)的實(shí)質(zhì)是線段比。例2：四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線，DC⊥BC于點(diǎn)C，若AB=100，∠A=450，∠DBA=750，∠CBD=300，求BC的長。解：過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)EＤＣ在RtΔABE中，∠A=450，AB=100Ｅ∴BE=50∵∠A=450，∠DBA=750∴∠ADB=600ＡＢ∵BE=50∴BD=∵在RtΔBCD中，∠CBD=300，BD=∴BC=50評(píng)注：（1）此題的解題過程，體現(xiàn)了兩種轉(zhuǎn)化：1）題目圖中有斜三角形，一般通過添適當(dāng)?shù)妮o助線使之轉(zhuǎn)化為直角三角形。2）把條件先集中到一個(gè)直角三角形中，使其首先可解，求出這個(gè)直角三角形的其他元素之后，使相鄰的直角三角形也可解。例3：一艘漁船正以30海里/時(shí)的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東600，40分鐘后，漁船行至B處，此時(shí)看見小島C在船的北偏東300，已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)船部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域的可能？解：如圖Ｃ設(shè)BD=x，由（20+x）tg300=x×tg600得x=10∴CD=10tg600=10ＡＢＤ∵10＞10∴這艘船繼續(xù)向東追趕魚群不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域。評(píng)注：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真分析題意，畫圖并找出要解的直角三角形，再選擇合適的邊角關(guān)系，使運(yùn)算盡可能簡便。例4：已知a,b,c為ΔABC的三邊，它們的對(duì)角分別為∠A，∠B，∠C，且acosB=bcosA,又已知二次函數(shù)y=b(x２-1)+c(x２+1)-2ax的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)。解：∵拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)?！唳?（-2a)２-4(b+c)(c-b)=0,即a２+b２=c２∴ΔABC是RtΔ，且∠C=900∵在RtΔABC中，有cosB=,cosA=,又∵acosB=bcosA∴a×=b×∴a=b即ΔABC是等腰直角三角形?？稍O(shè)a=b=m(m＞0),則c==m∴拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-1,交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）。評(píng)注：這是一道函數(shù)三角形綜合題，解題的關(guān)鍵是確定三角形的形狀?！緜溥x例題】已知ΔABC的兩邊長a=3，c=5，且第三邊長b為關(guān)于x的一元二次方程x２-4x+m=0的兩個(gè)正整數(shù)根之一，求SinA的值。解：設(shè)x,y是關(guān)于x的方程x２-4x+m=0的兩個(gè)正整數(shù)根?！鄕+y=4∴x=1,y=3或x=y=2或x=3,y=1b只能取1，2，3∵2＜b＜8∴b=3過C作CD⊥AB，在RtΔACD中，SinA=【課堂小結(jié)】1、解直角三角形時(shí)，必須明確三角函數(shù)定義。2、對(duì)于斜三角形可適當(dāng)添輔助線構(gòu)造直角三角形使問題得到解決。3、解決實(shí)際問題要明確一些術(shù)語，如坡度、錐度、俯角、仰角等，準(zhǔn)確觀察示意圖，把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系反映到幾何圖形上，然后求解。【基礎(chǔ)練習(xí)】1、三角形ΔABC中，∠C為直角，如果SinA=，則tgB是（）A、B、C、D、2、RtΔABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于點(diǎn)D，AD=4，Sin∠ACD=，則CD=___,BC=____.3、在RtΔABC中，∠C=900，cosA=,SinB=|n|-,那么n的值是_______.4、計(jì)算：-5、一攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，BC∥AD，AB=5m，BC=2.5m，斜坡CD的坡度i1=1∶2，斜坡AB的坡度i2=4∶3，求壩底寬AD與斜坡CD的長?！眷柟叹毩?xí)】一、填空1、+|1+sin600|=_________2、一等腰三角形的兩邊長分別為4cm和6cm，則其底角的余弦值為_______3、坡角為300的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需_____m,（精確到1m）4、已知旗桿AB，在C處測得旗桿頂A的仰角為300，向旗桿前進(jìn)10m,到達(dá)D，在D處測得A的仰角為450，則旗桿的高為_________二、在RtΔABC中，∠ACB=900，sinB=,D是BC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，CD=DE，AC+CD=9，求（1）B