一對(duì)一二次函數(shù)與一元二次方程

佳一教育一對(duì)一個(gè)性化教育方案PAGEPAGE10佳一教育九江最專業(yè)的教育培訓(xùn)機(jī)構(gòu) 地址：九江市柴桑春天三期兒童天地二樓 教師:學(xué)生:日期:星期:時(shí)段:__________課題二次函數(shù)與一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)與分析學(xué)習(xí)重點(diǎn)和考點(diǎn)學(xué)習(xí)方法導(dǎo)學(xué)講練學(xué)習(xí)內(nèi)容與過(guò)程知識(shí)要點(diǎn)梳理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情況等價(jià)于拋物線y=ax2+bx+c(c≠0)與直線y=0(即x軸)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的公共點(diǎn)有三種情況：兩個(gè)公共點(diǎn)（即有兩個(gè)交點(diǎn)），一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有公共點(diǎn)，因此有：(1)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根△=b2-4ac>0。(2)拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，此公共點(diǎn)即為頂點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根，(3)拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根△=b2-4ac<0.(4)事實(shí)上，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=h的公共點(diǎn)情況方程ax2+bx+c=h的根的情況。拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n的公共點(diǎn)情況方程ax2+bx+c=mx+n的根的情況。知識(shí)點(diǎn)分段講解知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的關(guān)系一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下關(guān)系：1、如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1=,x2=.2、如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1=x2=。3、如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0實(shí)數(shù)根。例1：已知拋物線y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（1）求m的取值范圍；（2）判斷點(diǎn)P（1，1）是否在拋物線上；同步測(cè)試：1．（2008年湖北省咸寧市）拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為．2.已知二次函數(shù)y=x2-4x+k+2與x軸有公共點(diǎn)，求k的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)二：由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況可以判斷二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。1、當(dāng)>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有交點(diǎn)；2、當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有交點(diǎn)；3、當(dāng)<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是，此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有交點(diǎn)。例2.下列函數(shù)的圖象中，與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)的是（）同步測(cè)試：方程的根是；則函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有個(gè)，其坐標(biāo)是．知識(shí)點(diǎn)三：利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根例3.（2009年臺(tái)州市）已知二次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…013……131…則下列判斷中正確的是（）A．拋物線開(kāi)口向上B．拋物線與軸交于負(fù)半軸C．當(dāng)＝4時(shí)，＞0D．方程的正根在3與4之間同步測(cè)試：（2009年包頭）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，且，與軸的正半軸的交點(diǎn)在的下方．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè)．典例精講例1（2008棗莊）在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且．（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求此二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．例2已知二次函數(shù)y=x2-〔m2＋8〕x＋2〔m2＋6〕,=1\*GB2⑴求證;不論m取任何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)都在x軸的正半軸上。=2\*GB2⑵設(shè)拋物線頂點(diǎn)為A,與X軸交于B,C兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)M,使三角形ABC為等腰直角角形？如果存在，求出M的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例3（2009遂寧）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．基礎(chǔ)練習(xí)1.不論x為何值，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為負(fù)的條件（）。A.a＞0，b2-4ac＜0B.a＞0，b2-4ac＞0C.a＜0，b2-4ac＜0D.a＜0，b2-4ac＞02.已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根為x1=1，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）。3.已知二次函數(shù)y=-x2+（3-k）x+2k-1的圖像與y軸的交點(diǎn)位于（0,1）的上方，則k的取值范圍（）。4.對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)n，拋物線與x軸交于An、Bn兩點(diǎn)，以表示這兩點(diǎn)間的距離，則的值是（）。A． B． C． D．5.設(shè)函數(shù)y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的圖象如圖所示，它與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且線段OA與OB的長(zhǎng)的比為1：4，則k=_________．6．（2010包頭）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，且，與軸的正半軸的交點(diǎn)在的下方．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè)．7.（2010自貢）y=x2＋（1－a）x＋1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍是1≤x≤3時(shí)，y在x＝1時(shí)取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）。A．a(chǎn)=5 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)≥38.（2008武漢）下列命題：①若，則；②若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若，則二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2或3.其中正確的是（）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②能力提升1、（2011?大慶）二次函數(shù)：y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞o）圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不大于．（1）求該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）若該二次函數(shù)圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB長(zhǎng)度的最小值．2、（2011?廣東）已知拋物線y=12x（1）求c的取值范圍；（2）試確定直線y=cx+1經(jīng)過(guò)的象限，并說(shuō)明理由．3、（2011?荊州）如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，B（4，2），一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象平分它的面積，關(guān)于x的函數(shù)y=mx2﹣（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的值．4、（2011?南京）已知函數(shù)y=mx2﹣6x+1（m是常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；（2）若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．5、（2011?新疆）已知拋物線y=﹣x2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為P．（1）求A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在直角坐標(biāo)系中，用列表描點(diǎn)法作出拋物線的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出x取何值時(shí)，函數(shù)值大于零；（3）將此拋物線的圖象向下平移一個(gè)單位，請(qǐng)寫(xiě)出平稱后圖象的函數(shù)表達(dá)式．xy6、（2010?鎮(zhèn)江）已知二次函數(shù)y=x2+2x+m的圖象C1與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將C1向下平移若干個(gè)單位后，得拋物線C2，如果C2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣3，0），求C2的函數(shù)關(guān)系式，并求C2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．課后練習(xí)1、（2010?咸寧）已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣c的圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．（1）證明4c=3b2；（2）若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，試求二次函數(shù)的最小值．2、（2010?十堰）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí)，求拋物線的解析式；（3）在直角坐標(biāo)系xoy中，畫(huà)出（2）中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答問(wèn)題：當(dāng)直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．3、（2010?汕頭）已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．（1）求出b，c的值，并寫(xiě)出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫(xiě)出函數(shù)值y為正數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍．4、（2010?婁底）已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OC＜OB）是方程x2﹣10x+24=0的兩個(gè)根．（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．5、（2009?肇慶）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2．（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；（2）求證：拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）設(shè)拋物線y=x2+px+q的頂點(diǎn)為M，且與x軸相交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，求使△AMB面積最小時(shí)的拋物線的解析式．6、（2009?黔東南州）已知二次函數(shù)y=x2+ax+a﹣2．（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)a＜0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為13時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式；（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．\7、（2009?寧夏）如圖，拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）證明△ABC為直角三角形；（3）在拋物線上除C點(diǎn)外，是否還存在另外一個(gè)點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8、（2008?長(zhǎng)春）已知兩個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)y1與y2，y1=a（x﹣k）2+2（k＞0），y1+y2=x2+6x+12；當(dāng)x=k時(shí)，y2=17；且二次函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸是直線x=