2025高考數(shù)學專項復習：概率與統(tǒng)計的綜合應用（十八大題型）含答案

概率與統(tǒng)計的綜合應用（十八大題

型）2025高考數(shù)學專項復習含答案

概率與統(tǒng)計的綜合應用

LMJ

題型一:決策問題

題型二:道路通行問題

題型三:保險問題

題型四:概率最值問題

題型五:放回與不放回問題

題型六:體育比賽問題

題型七:幾何問題

題型八:彩票問題

題型九:納稅問題

題型十:疾病問題

題型十一:建議問題

題型十二:概率與數(shù)列遞推問題

題型十三:硬幣問題

題型十四：自主選科問題

題型十五:高爾頓板問題

題型十六：自主招生問題

題型十七:順序排位問題

題型十八:博彩問題

必考題型歸納O

題型一:決策問題

&（2023?甘肅蘭州?高三蘭化一中?？计谥校?jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中達到

筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否達

到優(yōu)秀相互獨立.若某考生報考甲大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為卷，若該考生報考乙大學，每門

科目達到優(yōu)秀的概率依次為《，?，"，其中0V九＜L

65

（1）若n=￡,分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達到優(yōu)秀的概率；

（2）強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作

出決策，該考生更希望進入甲大學的面試環(huán)節(jié),求九的范圍.

吼2（2023?全國?高三專題練習）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山

滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼比賽，約定賽制如下:業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽,

若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝;若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝;若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平

局，比賽結(jié)束.已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，甲贏的概率為|■，甲與丙

比賽，甲贏的概率為p,其中

（1）若第一場比賽,業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽.請分別計算兩種安排

下業(yè)余隊獲勝的概率;若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應該安排乙還是丙與甲進行比賽？

（2）為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時,勝隊獲獎金6萬元，負隊獲獎金3萬元;若平

局，兩隊各獲獎金3.6萬元.在比賽前，已知業(yè)余隊采用了⑴中的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設賽事組織

預備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學期望E（X）的取值范圍.

蒯皂（2023?江西吉安?高三吉安三中校考階段練習）2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大.某商

家決定借助線上平臺開展銷售活動.現(xiàn)有甲、乙兩個平臺供選擇，且當每件商品的售價為a（300WaW

500）元時,從該商品在兩個平臺所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機抽取100天的日銷售量統(tǒng)計如下，

商品日銷售量（單位:件）678910

甲平臺的天數(shù)1426262410

乙平臺的天數(shù)1025352010

假設該商品在兩個平臺日銷售量的概率與表格中相應日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響,

（1）求“甲平臺日銷售量不低于8件”的概率，并計算“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的日銷售

量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；

（2）已知甲平臺的收費方案為:每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺收費30元;乙平臺的收費方案

為:每天不收取傭金，但采用分段收費，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費40元，超過8件的

部分，每件收費35元.某商家決定在兩個平臺中選擇一個長期合作,從日銷售收入（單價X日銷售量-

平臺費用）的期望值較大的角度，你認為該商家應如何決策？說明理由.

?2?

跟蹤訓緘（2023?江西?校聯(lián)考模擬預測）某學校舉行“百科知識”競賽，每個班選派一位學生代表參加.某

班經(jīng)過層層選拔，李明和王華進入最后決賽，決賽方式如下:給定4個問題，假設李明能且只能對其中3

個問題回答正確，王華對其中任意一個問題回答正確的概率均為年.由李明和王華各自從中隨機抽取2

個問題進行回答,而且每個人對每個問題的回答均相互獨立.

（1）求李明和王華回答問題正確的個數(shù)均為2的概率；

（2）設李明和王華回答問題正確的個數(shù)分別為x和y,求x,y的期望E（X）、E（y）和方差。（X）、

。（丫），并由此決策派誰代表該班參加競賽更好.

跟蹤訓藤（2023?全國?高三專題練習）根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門長期統(tǒng)計，可知該地區(qū)每年夏季有小洪

水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.05.今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設備，遇到大洪水時要損

失60000元，遇到小洪水時要損失20000元,為保護設備，有以下3種方案：

方案1：修建保護圍墻,建設費為3000元，但圍墻只能防小洪水；

方案2：修建保護大壩,建設費為7000元，能夠防大洪水；

方案3：不采取措施

工地的領(lǐng)導該如何決策呢？

?3?

題型二:道路通行問題

而]1(2023?重慶?高三重慶市育才中學?？茧A段練習)9月6日位于重慶朝天門的來福士廣場開業(yè)，成了網(wǎng)紅

城市的又一打卡勝地重慶育才謝家灣校區(qū)與來福士之間的駕車往返所需時間為T,T只與道路暢通狀

況有關(guān),對其容量為500的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：

T(小時)0.80.911.1

頻數(shù)(次)10015020050

以這500次駕車往返所需時間的頻率代替某人1次駕車往返所需時間的概率.

⑴記T的期望為E(T),求P(T<E(T))；

(2)某天有3位教師獨自駕車從謝家校區(qū)返于來福士，記X表示這3位教師中駕車所用時間少于E(T)

的人數(shù)，求X的分布列與E(X).

畫2(2023?湖北?統(tǒng)考一模)交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指

數(shù)值,記交通指數(shù)為T,其范圍為[0,10],分別有五個級別：TE[0,2),暢通；TE[2,4),基本暢通；T6

[4,6),輕度擁堵；TC[6,8),中度擁堵；TE[8,10],嚴重擁堵.在晚高峰時段(T>2),從某市交通指揮中

心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段的個數(shù)；

(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段中共抽取6個路段，求依次抽取的三個級

別路段的個數(shù)；

(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個，求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.

-4■

吼8（2023?四川眉山?高三四川省眉山第一中學階段練習）隨著我國經(jīng)濟的不斷深入發(fā)展，百姓的生活也不

斷的改善，尤其是近幾年汽車進入了千家萬戶，這也給城市交通造成了很大的壓力，為此交警部門通過

對交通擁堵的研究提出了交通擁堵指數(shù)這一全新概念，交通擁堵指數(shù)簡稱交通指數(shù),是綜合反映道路網(wǎng)

暢通或擁堵的概念.記交通指數(shù)為T,其范圍為[0,9],分別有5個級別：TC。2）暢通；TE[2,4）基本

暢通；TE[4,6）輕度擁堵；TC[6,8）中度擁堵；TE[8,9]嚴重擁堵.早高峰時段（T>3）,從北京市交

通指揮中心隨機選取了五環(huán)以內(nèi)50個交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的部分頻率分布直方圖如圖所

示：

（1）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)TC[4,8）時的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）據(jù)此直方圖求出早高峰二環(huán)以內(nèi)的3個路段至少有兩個嚴重擁堵的概率是多少？

（3）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45

分鐘，嚴重擁堵為60分鐘,求此人所用時間的數(shù)學期望.

?5?

跟蹤訓級1.：（2023?江西?校聯(lián)考模擬預測）“低碳出行”，一種降低“碳”的出行，以低能耗、低污染為基礎，是

環(huán)保的深層次體現(xiàn),在眾多發(fā)達國家被廣大民眾接受并執(zhí)行，S市即將投放一批公共自行車以方便市民

出行,減少污染，緩解交通擁堵,現(xiàn)先對100人做了是否會考慮選擇自行車出行的調(diào)查,結(jié)果如下表.

（1）如果把45周歲以下人群定義為“青年”，完成下列2x2列聯(lián)表，并問你有多少把握認為該地區(qū)市民是

否考慮單車與他（她）是不是“青年人”有關(guān)？

年齡考慮騎車不考慮騎車

15以下63

[15,30)166

[30,45)136

[45,60)1416

[60,75)59

75以上15

合計5545

騎車不騎車合計

45歲以下

45歲以上

合計100

n(ad-be)2

參考：Y=,n—a+b+c+d

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.072.703.845.026.637.8710.82

（2）S市為了鼓勵大家騎自行車上班,為此還專門在幾條平時比較擁堵的城市主道建有無障礙自行車道,

該市市民小明家離上班地點10km,現(xiàn)有兩種.上班方案給他選擇；

方案一:選擇自行車，走無障礙自行車道以19km/h的速度直達上班地點.

方案二:開車以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過A.B,。三個易堵路段,三個路段堵車的概率分別是y,

得，；,且是相互獨立的，并且每次堵車的時間都是10分鐘（假設除了堵車時間其他時間都是勻速行駛）

若僅從時間的角度考慮，請你給小明作一個選擇,并說明理由.

,6,

跟蹤訓練：2；（2023?全國?高三專題練習）某人某天的工作是駕車從A地出發(fā)，到5。兩地辦事，最后返回

A地，A,B,C,三地之間各路段行駛時間及擁堵概率如下表

路段正常行駛所用時間（小時）上午擁堵概率下午擁堵概率

AB10.30.6

BC20.20.7

CA30.30.9

若在某路段遇到擁堵，則在該路段行駛時間需要延長1小時.

現(xiàn)有如下兩個方案：

方案甲：上午從人地出發(fā)到B地辦事然后到達。地，下午從。地辦事后返回A地；

方案乙:上午從人地出發(fā)到。地辦事,下午從。地出發(fā)到達B地,辦完事后返回A地.

（1）若此人早上8點從A地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時間為2小時，且采用方案甲，求他當日18點

或18點之前能返回A地的概率.

（2）甲乙兩個方案中，哪個方案有利于辦完事后更早返回A地？請說明理由.

題型三:保險問題

吼工（2023?廣東湛江?高三統(tǒng)考階段練習）某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險

產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所

有崗位分為A,B,。三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示,且這三類工種每年的賠付概

率如下表所示：

工種類別ABC

121

賠付概率

105105104

職工契利分布飾圖

對于4B,。三類工種，職工每人每年保費分別為a元、a元、6元,出險后的賠償金額分別為100萬元、

100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務過程中的固定支出為每年20萬元.

（1）若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的15%,證明：153a+17b>4200.

（2）現(xiàn)有如下兩個方案供單位選擇：方案一:單位不與保險公司合作,職工不交保險,出意外后單位自行拿

出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元;方

案二:單位與保險公司合作，a=35"=60,單位負責職工保費的80%,職工個人負責20%,出險后賠償

金由保險公司賠付,單位無額外專項開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.

?8?

刷2（2023?新疆克拉瑪依?統(tǒng)考三模）已知某保險公司的某險種的基本保費為a（單位:元），繼續(xù)購買該險種

的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)0123〉4

保費（元）0.9aa1.5a2.5a4a

隨機調(diào)查了該險種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到下表:

出險次數(shù)0123〉4

頻數(shù)2808024124

該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下:

出險序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上

賠付金額（元）2.5a1.5aa0.5a0

將所抽樣本的頻率視為概率.

（1）求本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值；

（2）按保險合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險3次,則可獲得賠付（2.5a+L5a+a）元;若續(xù)保人在本

年度內(nèi)出險6次,則可獲得賠付（2.5a+L5a+a+0.5a）元;依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的

平均值的估計值.

?9?

吼8（2023?廣東深圳?高三校聯(lián)考期末）已知某保險公司的某險種的基本保費為a（單位:元），繼續(xù)購買該險

種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)0123>4

保費（元）0.9aa1.5a2.5a4a

隨機調(diào)查了該險種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到下表：

出險次數(shù)0123>4

頻數(shù)2808024124

該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下:

出險序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上

賠付金額（元）2.5a1.5aa0.5a0

將所抽樣本的頻率視為概率.

（1）求本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值；

（2）按保險合同規(guī)定,若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險3次,則可獲得賠付（2.5a+1.5a+a）元;依此類推，求本

年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值；

（3）續(xù)保人原定約了保險公司的銷售人員在上午10:30-11:30之間上門簽合同，因為續(xù)保人臨時有事，外

出的時間在上午10:45~11：05之間，請問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？

.10.

跟蹤訓練［1.：（2023?山東濰坊?校聯(lián)考一模）某保險公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)

品，每年每位職工只需要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業(yè)的所有崗

位共分為A、B、。三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000>6000>2000,由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類

工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：

工種類別ABC

121

賠付頻率

105105104

已知A、B、C三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬

元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此業(yè)務的過程中固定支出每年10萬元.

（1）求保險公司在該業(yè)務所獲利潤的期望值；

（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：

方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險,出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償

付給出意外的職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；

方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責職工保費的70%,職工個人負責30%,出險后賠償金由保險公司

賠付，企業(yè)無額外專項開支.

根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

跟蹤訓練［2；（2023?全國?高考真題）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人

在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種

保險，且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1

-0.99910\

（I）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率P；

（II）設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位

投保人應交納的最低保費（單位:元）.

■11?

跟蹤訓練3；（2023?北京豐臺?高三統(tǒng)考期末）某市醫(yī)療保險實行定點醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”

的原則，參加保險人員可自主選擇四家醫(yī)療保險定點醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機構(gòu)，若

甲、乙、丙、丁4名參加保險人員所在地區(qū)附近有三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇是等可能的、相

互獨立的

（1）求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率；

（2）求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；

（3）設4名參加保險人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為&求f的分布列和數(shù)學期望.

題型四:概率最值問題

題工（2023?全國?高三專題練習）某電子工廠生產(chǎn)一種電子元件，產(chǎn)品出廠前要檢出所有次品.已知這種電子

元件次品率為0.01,且這種電子元件是否為次品相互獨立.現(xiàn)要檢測3000個這種電子元件，檢測的流程

是:先將這3000個電子元件分成個數(shù)相等的若干組,設每組有k個電子元件，將每組的k個電子元件串

聯(lián)起來,成組進行檢測，若檢測通過,則本組全部電子元件為正品，不需要再檢測;若檢測不通過,則本組

至少有一個電子元件是次品，再對本組個電子元件逐一檢測.

（1）當k=5時,估算一組待檢測電子元件中有次品的概率；

（2）設一組電子元件的檢測次數(shù)為X,求X的數(shù)學期望；

（3）估算當k為何值時，每個電子元件的檢測次數(shù)最小,并估算此時檢測的總次數(shù)（提示：利用（1-p）%1

一在進行估算）.

?12?

吼2（2023?江西新余?高三新余市第一中學?？奸_學考試）現(xiàn)如今國家大力提倡養(yǎng)老社會化、市場化,老年公

寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負責

人為了能給老年人提供更加良好的服務,現(xiàn)對所入住的120名老年人征集意見,該公寓老年人的入住

房間類型情況如下表所示：

入住房間的類型單人間雙人間三人間

人數(shù)366024

（1）若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這120名老年人中隨機抽取10人,再從這10人中隨

機抽取4人進行詢問,記隨機抽取的4人中入住單人間的人數(shù)為求￡的分布列和數(shù)學期望.

（2）記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時要求把入住單人間的2人和入住多人間的山（神>2且

meN*）人組成一組,負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標為

I,否則該組標為II.記詢問的某組被標為II的概率為p.

⑴試用含機的代數(shù)式表示p;

（仇）若一共詢問了5組，用g（p）表示恰有3組被標為的概率，試求g（p）的最大值及此時館的值.

吼色（2023?全國?高三專題練習）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學校舉行了

乒乓球比賽,其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū),三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3,

4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最

后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊員積3分,失敗的隊員積0分;

而在比賽中以3:2取勝的隊員積2分,失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽

張三取勝的概率均為p（0<p<1）.

（1）比賽結(jié)束后冠亞軍（沒有并列）恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為/（p）,求出/（p）的最大值點p0.

?13?

跟蹤訓練工(2023.山東濰坊?高三?？茧A段練習)今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例,非洲地區(qū)

猴痘地方性流行國家較多.9月19日，中國疾控中心發(fā)布了我國首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告.

我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委

員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》.此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5

-21天;②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力.據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對

援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀

察21天.在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大.對該國

家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后,統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的

列聯(lián)表：

接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接種天花疫苗3060

接種天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；

(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率.現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察

的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計,求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：

(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查.在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之

家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測.每名成員進行

檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”.假設該家庭每個成員檢測呈陽

性的概率均為p(O<p<1)且相互獨立.記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率

n(ad-be)2

為/(p).求當p為何值時，/(p)最大？附：/=

(a+6)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(*>ko)0.10.050.010

ko2.7063.8416.635

?14?

跟蹤訓練：2；(2023?上海徐匯?上海市南洋模范中學?？寄M預測)進入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒

的概率為p(0<p<l),且每人是否感染這種病毒相互獨立.

(1)記100個人中恰有5人感染病毒的概率是/(p),求/(p)的最大值點po；

(2)為確保校園安全，某校組織該校的6000名師生做病毒檢測，如果對每一名師生逐一檢測，就需要檢

測6000次，但實際上在檢測時都是按fc(l<A:<6)人一組分組，然后將各組k個人的檢測樣本混合再檢測.

如果混合樣本呈陰性，說明這七個人全部陰性;如果混合樣本呈陽性，說明其中至少有一人檢測呈陽性，就需

要對該組每個人再逐一檢測一次.當p取加時，求k的值,使得總檢測次數(shù)的期望最少.

題型五:放回與不放回問題

蒯工(2023?湖南?高三校聯(lián)考階段練習)某中學為了解學生課外玩網(wǎng)絡游戲(俗稱“網(wǎng)游”)的情況，使調(diào)查結(jié)

果盡量真實可靠，決定在高一年級采取如下“隨機回答問題”的方式進行問卷調(diào)查:一個袋子中裝有6個

大小相同的小球，其中2個黑球，4個紅球,所有學生從袋子中有放回地隨機摸球兩次，每次摸出一球,約

定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問卷,否則按方式②回答問卷”.

方式①:若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“，'，否則畫“X”.

方式②:若你課外玩網(wǎng)游,則在問卷中畫“V”,否則畫“X

當所有學生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計畫“V”,畫“X”的比例，用頻率估計概率.

(1)若高一某班有45名學生，用X表示其中按方式①回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學期望.

(2)若所有調(diào)查問卷中，畫“，'與畫“x”的比例為1：2,試用所學概率知識求該中學高一年級學生課外玩

網(wǎng)游的估計值.(估計值=?網(wǎng)?瞭個普x100%)

圖一所有學生人數(shù)

?15?

題2（2023?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學考試）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球和1個白球，乙盒中有2個

紅球和2個白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機選擇一個盒子，并從中隨機摸出2個球觀察顏色后

放回,此過程為一次試驗.重復以上試驗，直到某次試驗中摸出2個紅球時，停止試驗.

（1）求一次試驗中摸出2個紅球的概率；

（2）在3次試驗后恰好停止試驗的條件下,求累計摸到2個紅球的概率.

畫色（2023?上海黃浦?高三上海市敬業(yè)中學校考開學考試）某公司使用甲、乙兩臺機器生產(chǎn)芯片，已知每天甲

機器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為94%；乙機器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為95%,已

知兩臺機器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響.現(xiàn)對某天生產(chǎn)的芯片進行抽樣.

（1）從所有芯片中任意抽取一個，求該芯片是不合格品的概率；

（2）現(xiàn)采用有放回的方法隨機抽取3個芯片，記其中由乙機器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為X,求X的分布列以

及數(shù)學期望E（X）.

?16?

跟蹤訓練（2023?廣東廣州?高三執(zhí)信中學校考開學考試）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年

10月16日在北京召開，為弘揚中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知

識”競賽活動.競賽共有入和B兩類試題,每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得10分;每答對1

道B類試題得20分，答錯都不得分.每位參加競賽的同學從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽

后不放回）.已知小明同學A類試題中有7道題會作答,而他答對各道B類試題的概率均為名.

（1）若小明同學在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率；

（2）若小明只作答A類試題,設X表示小明答這3道試題的總得分，求X的分布列和期望.

跟蹤訓練；2.（2023?全國?高三專題練習）某商場在周年慶活動期間為回饋新老顧客，采用抽獎的形式領(lǐng)取

購物卡.該商場在一個紙箱里放15個小球（除顏色外其余均相同）：3個紅球、5個黃球和7個白球，每個

顧客不放回地從中拿3次,每次拿1個球，每拿到一個紅球獲得一張A類購物卡，每拿到一個黃球獲得一

張B類購物卡，每拿到一個白球獲得一張。類購物卡.

（1）已知某顧客在3次中只有1次抽到白球的條件下，求至多有1次抽到紅球的概率；

（2）設拿到紅球的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

?17?

題型六:體育比賽問題

吼工（2023?廣東廣州?高三華南師大附中校考階段練習）最是一年春好處，運動健兒滿華附.為吸引同學們積

極參與運動，鼓勵同學們持之以恒地參與鍛煉，養(yǎng)成良好的習慣，弘揚“無體育，不華附”的精神理念，

2023年3月華附舉辦了春季運動會.春季運動會的集體項目要求每個學生在足球繞桿、踢犍子和跳大繩

3個項目中任意選擇一個參加.來自高三的某學生為了在此次春季運動會中取得優(yōu)秀成績，決定每天訓

練一個集體項目.第一天在3個項目中任意選一項開始訓練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓練

的2個項目中任意選一項訓練.

（1）若該學生進行了3天的訓練，求第三天訓練的是“足球繞桿”的概率.

（2）設該學生在賽前最后6天訓練中選擇“跳大繩”的天數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

血］2（2023?湖南婁底?婁底市第三中學校聯(lián)考三模）冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24

屆冬季奧運會的比賽項目之一.冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線上W的左側(cè)）有一個發(fā)球

區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以

場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心。的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重

心落在圓。中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)入中，得2分,冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況

均得0分.已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為T,1；甲、乙得2分的概率

分別為名，［；甲、乙得1分的概率分別為《，

5256

（1）求甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率；

（2）設甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X,求X的分布列和期望.

-18■

刷3（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）某學校為了提高學生的運動興趣,增強學生身體素質(zhì)，該校每年都要進行各

年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下:高中三個

年級之間進行單循環(huán)比賽,每個年級各派5名同學按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學），比賽時

一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成2:

2則第5場比賽定勝負.已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應對手的可能性均為y,高三每位隊員戰(zhàn)勝高一

相應對手的可能性均為|■，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應對手的可能性均為且隊員、年級之間的勝負

相互獨立.

（1）求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概

率.

（2）若獲勝年級積3分,被打敗年級積0分,求高三年級獲得積分的分布列和期望.

跟蹤訓綜」］（2023?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？奸_學考試）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32支球隊

參加，歐洲球隊有13支:其中有5支歐洲球隊闖入8強.比賽進入淘汰賽階段后,必須要分出勝負.淘汰

賽規(guī)則如下:在比賽常規(guī)時間90分鐘內(nèi)分出勝負；比賽結(jié)束，若比分相同.則進入30分鐘的加時賽.在加

時賽分出勝負，比賽結(jié)束，若加時賽比分依然相同，就要通過點球大戰(zhàn)來分出最后的勝負.點球大戰(zhàn)分為

2個階段，第一階段:共5輪,雙方每輪各派1名球員，依次踢點球，以5輪的總進球數(shù)作為標準，5輪合計

踢進點球數(shù)更多的球隊獲得比賽的勝利.如果第一階段的5輪還是平局，則進入第二階段：在該階段雙方

每輪各派1名球員，依次踢點球,如果在一輪里,雙方都進球或者雙方都不進球,則繼續(xù)下一輪，直到某一

輪里,一方罰進點球，另一方?jīng)]罰進，比賽結(jié)束，罰進點球的一方獲得最終的勝利.

（1）根據(jù)題意填寫下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，判斷32支決賽圈球隊

“闖入8強”與“是歐洲球隊”是否有關(guān).

（2）甲、乙兩隊在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負，雙方進入點球大戰(zhàn).已知甲隊球員每輪踢進

點球的概率為:，乙隊球員每輪踢進點球的概率為得,每輪每隊是否進球相互獨立，在點球大戰(zhàn)中,兩隊前3

OO

輪比分為3:3，試求出甲隊在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率.

參考公式"―(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)'"—a+b+c+&

*>a)0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

?19?

跟蹤訓練2；(2023?貴州?高三凱里一中校聯(lián)考開學考試)為了豐富學生的課外活動,某中學舉辦羽毛球比

賽,經(jīng)過三輪的篩選,最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當參賽甲、乙兩位中有

一位先贏得三局比賽時，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負,且每局比賽的勝負不受之

前比賽結(jié)果影響.假設甲在每一局獲勝的概率均為p(0VpVI).

(1)若比賽進行三局就結(jié)束的概率為/(力，求/(p)的最小值；

(2)記⑴中，/(p)取得最小值時，p的值為p0，以p。作為p的值，用X表示甲、乙實際比賽的局數(shù)，求X

的分布列及數(shù)學期望E(X).

題型七:幾何問題

吼上(2023?遼寧沈陽?沈陽市第一二。中學?？寄M預測)某人玩一項有獎游戲活動，其規(guī)則是:有一個質(zhì)地

均勻的正四面體(每個面均為全等的正三角形的三棱錐)，四個面上分別刻著1,2,3,4,拋擲該正四面體

5次，記錄下每次與地面接觸的面上的數(shù)字.

(1)求接觸面上的5個數(shù)的乘積能被4整除的概率；

(2)若每次拋擲到接觸地面的數(shù)字為3時獎勵200元，否則倒罰100元，

①設甲出門帶了1000元來參加該游戲,記游戲后甲身上的錢為X元,求E(X)；

②若在游戲過程中，甲決定當自己贏了的錢一旦不低于300元時立即結(jié)束游戲，求甲不超過三次就結(jié)束

游戲的概率.

■20?

吼2（2023?江西?高考真題）如圖，從4（1,0,0），4（2,0,0）,81（0,1,0）,國（0,2,0）,。1（0,0,1）,。2（0。2），這6

個點中隨機選取3個點.（1）求這3點與原點。恰好是正三棱錐的四個頂點的概率；（2）求這3點與原

點。共面的概率.

朝3（2023?河北張家口?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱P4,PB,PC兩兩垂直,且

PA=a,PB=b,PC=c,三棱錐P—48。的外接球半徑R=2.

（1）求三棱錐P-ABC的側(cè)面積S的最大值；

（2）若在底面ABC1.,有一個小球由頂點A處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點

B的概率為滾向頂點。的概率為J；當球在頂點B處時，滾向頂點A的概率為日，滾向頂點。的概

率為之；當球在頂點。處時，滾向頂點人的概率為。，滾向頂點B的概率為之.若小球滾動3次,記球滾

OOO

到頂點石處的次數(shù)為X,求數(shù)學期望石（X）的值.

?21?

跟蹤訓練1/（2023?全國?高三專題練習）已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5

個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形,設隨機變量X表示所得三角形的面積.

⑴求概率P（X=2）的值；

（2）求隨機變量X的概率分布及其數(shù)學期望E（X）.

題型八:彩票問題

血11（2023?全國?高二隨堂練習）在一種稱為“幸運35”的福利彩票中，規(guī)定從01,02,…，35這35個號碼中

任選7個不同號碼組成一注,并通過搖獎機從這35個號碼中搖出7個不同的號碼作為特等獎.與特等獎

號碼僅6個相同的為一等獎，僅5個相同的為二等獎，僅4個相同的為三等獎，其他的情況不得獎比.為

了便于計算,假定每個投注號只有1次中獎機會（只計獎金額最大的獎），該期的每組號碼均有人買，且彩

票無重復號碼比.若每注彩票為2元,特等獎獎金為100萬元/注,一等獎獎金為1萬元/注，二等獎獎金

為100元/注,三等獎獎金為10元/注,試求：

（1）獎金額X（元）的概率分布；

（2）這一期彩票售完可以為福利事業(yè)籌集多少資金（不計發(fā)售彩票的費用）？

■22?

吼2（2023?全國?高三專題練習）中國福利彩票雙色球游戲規(guī)則是由中華人民共和國財政部制定的規(guī)則，是

一種聯(lián)合發(fā)行的“樂透型”福利彩票.“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號碼區(qū)和藍色球號碼區(qū)，“雙色球”

每注投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成，紅色球號碼從1-33中選擇;藍色球號碼從1-

16中選擇.“雙色球”獎級設置分為高等獎和低等獎，一等獎和二等獎為高等獎，三至六等獎為低等獎.

“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號碼與當期開出中獎號碼相符的球色和個數(shù)確定中獎等級：

一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）（紅色球號碼順序不限，下同）；

二等獎：6個紅色球號碼相符；

三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

四等獎：5個紅色球號碼，或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

五等獎：4個紅色球號碼,或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

六等獎：1個藍色球號碼相符（有無紅色球號碼相符均可）.

（1）求中三等獎的概率（結(jié)果用a表示）；

（2）小王買了一注彩票，在已知小王中了高等獎的條件下，求小王中二等獎的概率.

參考數(shù)據(jù)：或3C；6=a

血13（2023?全國?高三專題練習）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票

300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票可能中獎金額的均值是

多少元？

跟蹤訓練1.：（2023?高二課時練習）某人花2元錢買彩票,他抽中100元獎的概率是0.1%,抽中10元獎的概

率是1%,抽中1元獎的概率是20%,假設各種獎不能同時抽中,試求：

（1）此人收益的概率分布；

（2）此人收益的期望值.

■23?

跟蹤訓練區(qū)（2023?全國?高二隨堂練習）根據(jù)某個福利彩票方案,每注彩票號碼都是從1~37這37個數(shù)中

選取7個數(shù).如果所選7個數(shù)與開出的7個數(shù)一樣（不管排列順序），彩票即中一等獎.

（1）多少注不同號碼的彩票可有一個一等獎？

（2）如果要將一等獎的中獎機會提高到—^―以上且不超過—^―，可在37個數(shù)中取幾個數(shù)？

oUUUUUU^uuuuuu

題型九:納稅問題

血］1（2023?四川南充?統(tǒng)考一模）自2019年1月1日起，對個人所得稅起征點和稅率進行調(diào)整.調(diào)整如下：納

稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減去5000元后的余額為應納稅所得額.依照個人所得稅稅率

表,調(diào)整前后的計算方法如表：

個人所得稅稅率（調(diào)整前）個人所得稅稅率（調(diào)整后）

免征額3500元免征額5000元

級數(shù)全月應納稅所得額稅率（%）級數(shù)全月應納稅所得額稅率（％）

1不超過1500元的部分31不超過3000元的部分3

2超過1500元至4500元的部分102超過3000元至12000元的部分10

3超過4500元至9000元的部分203超過12000元至25000元的部分20

（1）假如李先生某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記2表示總收入,y表示應納的

稅，試分別求出調(diào)整前和調(diào)整后夕關(guān)于力的函數(shù)表達式；

（2）某稅務部門在李先生所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成

下面的頻數(shù)分布表：

收入

[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000)

（元）

人數(shù)304010875

先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分層抽樣抽取7人,再從中選2人作為新納稅法知識

宣講員，求選中的2人收入都在［3000,5000）的概率；

?24?

吼2（2023?全國?高三專題練習）個人所得稅起征點是個人所得稅工薪所得減除費用標準或免征額,個稅起

征點與個人稅負高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點.隨著我國人民收入的逐步增

力口，國家稅務總局綜合考慮人民群眾消費支出水平增長等各方面因素,規(guī)定從2019年1月1日起,我國實

施個稅新政.實施的個稅新政主要內(nèi)容包括：①個稅起征點為5000元②每月應納稅所得額（含稅）=收

入一個稅起征點-專項附加扣除；③專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下

每月應納稅所得額（含稅）計算方法及其對應的稅率表如下：

舊個稅稅率表（個稅起征點350