北京郵電大學(xué)《數(shù)字信號(hào)處理》課件-第8章 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理

第8章

多采樣率數(shù)字信號(hào)處理

1北京郵電大學(xué)《數(shù)字信號(hào)處理》本章內(nèi)容要點(diǎn)：8.1引言 8.2整數(shù)因子抽取 8.3整數(shù)因子內(nèi)插 8.4按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換8.5整數(shù)倍抽取和內(nèi)插在數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中的應(yīng)用 8.6采樣率轉(zhuǎn)換濾波器的高效實(shí)現(xiàn)方法 8.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu) 8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu) 8.7采樣率轉(zhuǎn)換器的MATLAB實(shí)現(xiàn)

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8.1引言

前面所討論的信號(hào)處理的各種方法都是把采樣率Fs視為固定值，即在一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)中只有一個(gè)采樣頻率。但在實(shí)際系統(tǒng)中，要求一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)能工作在“多采樣率”狀態(tài)。例如： （1）在數(shù)字電視系統(tǒng)中，圖像采集系統(tǒng)要將標(biāo)準(zhǔn)采集數(shù)字電視信號(hào)，轉(zhuǎn)換成其它標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字信號(hào)。這就要求數(shù)字電視演播室系統(tǒng)在多采樣率狀態(tài)。 （2）在數(shù)字電話系統(tǒng)中，傳輸?shù)男盘?hào)既有語(yǔ)音信號(hào)，又有傳真信號(hào)，甚至有視頻信號(hào)。所以，該系統(tǒng)應(yīng)具有多采樣率功能。 （3）對(duì)一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)作譜分析或編碼時(shí)，對(duì)不同的信號(hào)段，可根據(jù)其頻率成分的不同而采用不同的采樣率，以達(dá)到既滿足采樣定理。 （4）如果以高采樣率采集的數(shù)據(jù)存在冗余，這時(shí)就希望在該數(shù)字信號(hào)的基礎(chǔ)上降低采樣速率。

38.1引言一般概念：在滿足采樣定理的前提下，將以采樣率F1采集的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換變成模擬信號(hào)；按采樣率F2進(jìn)行A/D變換，從而實(shí)現(xiàn)從F1到F2的采樣率轉(zhuǎn)換。問(wèn)題與缺點(diǎn)：較麻煩，且易使信號(hào)受到損傷實(shí)際實(shí)現(xiàn)方法（本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容）：在數(shù)字域直接改變采樣率。根據(jù)采樣率轉(zhuǎn)換理論，對(duì)采樣后的數(shù)字信號(hào)x(n)直接進(jìn)行采樣率轉(zhuǎn)換，以得到新采樣率下的采樣數(shù)據(jù)。采樣率轉(zhuǎn)換的分類：

“抽?。―ecimation）”：降低采樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過(guò)程；“插值（Interpolation）”：提高采樣率以增加數(shù)據(jù)的過(guò)程。本章主要內(nèi)容：（1）討論抽取和插值的一般概念；（2）整數(shù)倍抽取和內(nèi)插在數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中的應(yīng)用（3）討論幾種基本的高效實(shí)現(xiàn)方法。

本章的內(nèi)容是語(yǔ)音及圖像數(shù)據(jù)壓縮新技術(shù)——子帶編碼的重要理論基礎(chǔ)。

48.2整數(shù)因子抽取5設(shè)x(n1T1)是連續(xù)信號(hào)xa(t)的采樣序列，采樣率F1=1/T1(Hz)，T1稱為采樣間隔，單位為秒，即（8.2.1）希望將采樣率降低到原來(lái)的1/D，D為大于1的整數(shù)，稱為抽取因子。最簡(jiǎn)單的方法是對(duì)x(n1T1)每D點(diǎn)抽取1點(diǎn)，抽取的樣點(diǎn)依次組成新序列y(n2T2)。y(n2T2)的采樣間隔為T(mén)2，采樣率為F2=1/T2(Hz)，T2與T1的關(guān)系為（8.2.2）為了后面敘述方便，我們將上述的抽取系統(tǒng)用圖8.2.1(a)表示，x(n)和y(n)分別如圖8.2.1（b）和（c）所示。n1和n2分別表示x(n)和y(n)序列的序號(hào)。（8.2.3）當(dāng)n1=n2D時(shí)，8.2整數(shù)因子抽取為了后面敘述方便，我們將上述的抽取系統(tǒng)用圖8.2.1(a)表示，x(n)和y(n)分別如圖8.2.1（b）和（c）所示。n1和n2分別表示x(n)和y(n)序列的序號(hào)。

當(dāng)n1=n2D時(shí)，

68.2整數(shù)因子抽取

上面直接抽取方法存在的問(wèn)題：

直接每隔D–1個(gè)抽取一個(gè)樣值，相當(dāng)于降低了采樣頻率，可能會(huì)引起頻譜混疊現(xiàn)象。下面討論抽取過(guò)程中可能出現(xiàn)的頻譜混疊及改進(jìn)措施。78.2整數(shù)因子抽取如果x(n1T1)是連續(xù)信號(hào)xa(t)的采樣信號(hào)，且8f為模擬頻率變量，ω1為數(shù)字頻率。

，亦稱為采樣頻率。8.2整數(shù)因子抽取

為了對(duì)抽樣前后的頻譜進(jìn)行比較，作圖時(shí)均以模擬角頻率Ω為自變量（橫坐標(biāo)），為此按（8.2.6）式將寫(xiě)成Ω的函數(shù)為98.2整數(shù)因子抽取10由圖8.2.3可見(jiàn)，直接抽取確實(shí)產(chǎn)生頻譜混疊，所以隨意對(duì)進(jìn)行抽取是不行的。只有在抽取后仍能滿足采樣定理時(shí)才能恢復(fù)出原來(lái)的信號(hào)，否則就必須另外采取措施。通常采取的措施是抗混疊濾波。所謂抗混疊濾波，就是在抽取之前先對(duì)信號(hào)進(jìn)行低通濾波，把信號(hào)的頻帶限制在以下。對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為這種抽取系統(tǒng)框圖如圖8.2.4所示。所以，在理想情況下，抗混疊低通濾波器的頻率響應(yīng)為8.2整數(shù)因子抽取圖8.2.4中各點(diǎn)的信號(hào)在時(shí)域和頻域中的示意圖如圖8.2.5所示。這種辦法雖然把中的高頻部分損失掉了，但由于抽取后避免了混疊，所以在中完好無(wú)損地保留了中的低頻部分，可以從中恢復(fù)出的低頻部分。118.2整數(shù)因子抽取12抽取前后的頻域關(guān)系：

經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以得到如下頻域關(guān)系式：

8.2整數(shù)因子抽取13（8.2.14）式就是與是的D個(gè)平移樣本之和，相鄰的平移樣本在頻率軸上相差2π/D，在模擬頻率軸Ω上相差如圖8.2.7和圖8.2.8所示。的關(guān)系式，圖8.2.7產(chǎn)生混疊失真圖8.2.8未產(chǎn)生混疊失真8.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插1．整數(shù)倍內(nèi)插的概念與內(nèi)插方法

整數(shù)I倍內(nèi)插是在已知的相鄰兩個(gè)原采樣點(diǎn)之間插入I–1個(gè)新采樣值點(diǎn)。由于這I–1個(gè)采樣值并非已知的值，所以關(guān)鍵問(wèn)題是如何求出這I–1個(gè)采樣值。從理論上講，可以對(duì)已知的采樣序列進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換，得到原來(lái)的模擬信號(hào)xa(t)，然后再對(duì)xa(t)進(jìn)行較高采樣率的采樣得到，這里（8.3.1）式中I為大于1的整數(shù)，稱為內(nèi)插因子。上述過(guò)程可用圖8.3.1表示。但這樣的插入方法是不經(jīng)濟(jì)的，且易對(duì)信號(hào)產(chǎn)生損傷。實(shí)際工作中采用下述內(nèi)插方法。

148.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插實(shí)際工作中采用下述內(nèi)插方法整數(shù)內(nèi)插是先在已知采樣序列的相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)之間等間隔插入I–1個(gè)0值點(diǎn)，然后進(jìn)行低通濾波，即可求得I倍內(nèi)插的結(jié)果。這種內(nèi)插方案,如圖8.3.2所示。圖8.3.3中I=3

15圖8.3.2零值內(nèi)插方案原理框圖圖8.3.3內(nèi)插過(guò)程時(shí)域波形

8.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插2．整數(shù)倍內(nèi)插的頻域解釋

上述的零值內(nèi)插方案中的頻譜關(guān)系是怎樣的？回答這一問(wèn)題的過(guò)程就是解釋為什么經(jīng)低通濾波就能得出采樣率升高I倍的。這樣才能提出對(duì)圖8.3.2中低通濾波器的技術(shù)要求。 為了回答上面的問(wèn)題，設(shè)為模擬信號(hào)xa(t)的采樣序列，并假定xa(t)及其傅里葉變換如圖8.3.4所示。

16圖8.3.4模擬信號(hào)及其頻譜示意圖

8.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插按照內(nèi)插的概念：且滿足T2=T1/I所以，及其傅里葉變換應(yīng)該如圖8.3.5所示。均為周期函數(shù)，若二者都用模擬頻率Ω表示，則，，周期為；，周期為17圖8.3.58.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插下面分析圖8.3.2中的頻譜，最后討論為了得到滿足插值要求的（如圖8.3.5所示），對(duì)的技術(shù)要求。

18上式表明和的頻譜相同，如圖8.3.6所示。圖8.3.6圖8.3.6中，，。

8.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插鏡像頻譜及其濾波器：與圖8.3.5中的相比較，圖8.3.6中的多出了從的部分，通常將這部分頻譜稱為鏡像頻譜。由此可見(jiàn)，要想從得到如圖8.3.5（b）所示的，就必須濾除這些鏡像頻譜。所以，要求濾波器的理想低通幅頻特性如圖8.3.7所示。實(shí)際工作中，所以允許有一定的過(guò)渡帶，可用線性相位FIR濾波器實(shí)現(xiàn)。根據(jù)其功能，將稱為鏡像濾波器。

19圖8.3.78.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插將理想鏡像濾波器的阻帶截止頻率換算成數(shù)字頻率為所以，理想情況下，鏡像濾波器的頻率響應(yīng)特性為 （8.3.4）式中，C為定標(biāo)系數(shù)。因此輸出頻譜為 （8.3.5）定標(biāo)系數(shù)C的作用是，在時(shí)，確保輸出序列。為了計(jì)算簡(jiǎn)單，取m=0來(lái)求解C的值。因?yàn)?，所?由此得出，定標(biāo)系數(shù)C=I。208.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插3．內(nèi)插器的輸入、輸出關(guān)系（1）時(shí)域輸入、輸出關(guān)系 由圖8.3.2有21所以由（8.3.3）式知道，所以，因?yàn)閮?nèi)插器時(shí)域輸入、輸出關(guān)系。（2）頻域輸入、輸出關(guān)系8.3信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插復(fù)頻域輸入與輸出的關(guān)系：由圖8.3.2可知：22

（8.3.12）式中所有變量都為，所以可去掉下標(biāo)得到所以8.4按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換1、按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的一般原理由按整數(shù)因子I內(nèi)插和整數(shù)因子D抽取的原理，顯然，可以用圖8.4.1所示方案實(shí)現(xiàn)有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換。圖8.4.1按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換方法圖8.4.2按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的實(shí)用原理方框圖應(yīng)當(dāng)注意，先內(nèi)插后抽取才能最大限度地保留輸入序列的頻譜成分。 用分別表示輸入序列和輸出序列的采樣頻率，則另外，圖中鏡像濾波器和抗混疊濾波器級(jí)聯(lián)，而且工作在相同的采樣頻率，因此完全可以將它們合成為一個(gè)等效濾波器，所以，按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的實(shí)用原理方框圖如圖8.4.2所示。理想情況下，和均為理想低通濾波器，所以，的等效濾波器仍是理想低通濾波器，其等效帶寬應(yīng)當(dāng)是和中最小的帶寬。因此，的頻率響應(yīng)為 （8.4.1）238.4按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換2、輸出序列的時(shí)域表達(dá)式

24零值內(nèi)插器的輸出序列為

線性濾波器輸出序列為整數(shù)因子D抽取器最后輸出序列為，其時(shí)域表達(dá)式為如果線性濾波器用FIR濾波器實(shí)現(xiàn)，則可以根據(jù)式（8.4.4）計(jì)算輸出序列

除了前面采樣率變換技術(shù)，在實(shí)際工作中還會(huì)遇到任意因子采樣率轉(zhuǎn)換（為任意有限數(shù)）。有興趣的讀者請(qǐng)參考文獻(xiàn)[24]。

【24】宗孔德。多抽樣率信號(hào)處理。北京：清華大學(xué)出版社,1996

。

8．5整數(shù)倍抽取和內(nèi)插在數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中的應(yīng)用

25本節(jié)對(duì)信號(hào)時(shí)域和頻域的表示方法和描述符號(hào):為模擬信號(hào)，表示對(duì)的采樣序列，是對(duì)進(jìn)行采樣率轉(zhuǎn)換（內(nèi)插或抽?。┖蟮男蛄小Ｆ渲?，數(shù)字頻率與模擬頻率的關(guān)系為的采樣頻率記為的采樣頻率記為

和在數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中的應(yīng)用原理，本節(jié)全部以模擬角頻率Ω為自變量（橫坐標(biāo)），并采用上面定義的符號(hào)，來(lái)繪制應(yīng)用系統(tǒng)中各信號(hào)的頻譜曲線。設(shè)并定義為了通過(guò)觀察比較的頻譜關(guān)系，理解采樣率轉(zhuǎn)換8.5.1數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中的信號(hào)采樣過(guò)程及其

存在的問(wèn)題在數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中，語(yǔ)音信號(hào)的采樣過(guò)程如圖8.5.1所示。26圖8.5.1語(yǔ)音信號(hào)的一般采樣過(guò)程示意圖

存在的問(wèn)題:1、對(duì)預(yù)濾波器的技術(shù)要求太高（要求過(guò)渡帶寬度為0，即理想低通濾波器）。因而是難以設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)的。2、顯然，在接收端D/A變換過(guò)程中同樣會(huì)遇到此問(wèn)題。3、如果簡(jiǎn)單地將采樣率提高到Fs=16kHz，則預(yù)濾波器就容易實(shí)現(xiàn)（允許有4kHz的過(guò)渡帶），但使采集信號(hào)的數(shù)據(jù)量加大一倍，傳輸帶寬也加大一倍，極大地浪費(fèi)帶寬。8.5.2數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中改進(jìn)的A/D轉(zhuǎn)換方案27

采用整數(shù)因子抽取與整數(shù)因子內(nèi)插來(lái)改進(jìn)的A/D轉(zhuǎn)換方案

，既解決上述問(wèn)題，又不增加數(shù)據(jù)量和傳輸帶寬。解決問(wèn)題的思路：改進(jìn)的A/D轉(zhuǎn)換方案：工作原理：見(jiàn)下頁(yè)圖解1、用較高的采樣率進(jìn)行A/DC，如采樣率2、在數(shù)字域抗混疊濾波，按因子D=2抽取，把采樣率降至8kHz。這樣，允許模擬預(yù)濾波器g(t)的過(guò)渡帶為，

8.5.2數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中改進(jìn)的A/D轉(zhuǎn)換方案288.5.3接收端D/A轉(zhuǎn)換器的改進(jìn)方案

29改進(jìn)的D/A轉(zhuǎn)換方案：對(duì)進(jìn)行理想變換，得到說(shuō)明：這種D/A轉(zhuǎn)換器難以實(shí)現(xiàn)，實(shí)際中常用零階保持型D/A轉(zhuǎn)換器代替，但其頻響特性不理想，會(huì)引入幅頻失真，這種失真可在數(shù)字域進(jìn)行預(yù)處理補(bǔ)償。

對(duì)模擬低通濾波器要求：阻帶：

通帶邊緣頻率：

過(guò)渡帶：

由于模擬低通濾波器的過(guò)渡帶較寬，所以設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)較容易！8.6采樣率轉(zhuǎn)換濾波器的高效實(shí)現(xiàn)方法

問(wèn)題的提出：

高效實(shí)現(xiàn)的原則：在多采樣率系統(tǒng)中，總是設(shè)法把乘法運(yùn)算安排在低采樣率一側(cè)，以使每秒鐘內(nèi)的乘法次數(shù)最少。采樣率轉(zhuǎn)換基本方案存在的問(wèn)題及解決途徑：在前面介紹的二種采樣率轉(zhuǎn)換方案（見(jiàn)圖）中，濾波器的卷積運(yùn)算均在采樣率較高的一側(cè)。因此，必須對(duì)多采樣率系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，以便得到乘法次數(shù)最少的高效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)只介紹FIR直接實(shí)現(xiàn)和多相結(jié)構(gòu)，其它兩種高效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)（多級(jí)實(shí)現(xiàn)和時(shí)變網(wǎng)絡(luò)）請(qǐng)參閱其他文獻(xiàn)。這是因?yàn)橛肍IR結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多采樣率系統(tǒng)具有很大的優(yōu)越性。FIR結(jié)構(gòu)絕對(duì)穩(wěn)定且很容易做成線性相位，特別是容易實(shí)現(xiàn)高效結(jié)構(gòu)。所以在多采樣率系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)中絕大多數(shù)采用FIR濾波器。308.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)

1．整數(shù)倍抽取器的FIR直接實(shí)現(xiàn)

31整數(shù)（D）倍抽取器框圖如圖8.2.4所示?？够殳B低通濾波器用FIR結(jié)構(gòu)時(shí)，抽取器的時(shí)域輸入、輸出關(guān)系為（設(shè)h(n1T1)長(zhǎng)度為N）

濾波器用FIR直接型結(jié)構(gòu)時(shí)，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖8.6.1（a）所示。最后將每隔D–1個(gè)取一個(gè)作為輸出即中有（D–1）/D的樣值都被舍棄了。的N次乘法和N–1次加法在一個(gè)所以這種結(jié)構(gòu)是一種低效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，而且要求計(jì)算每一個(gè)T1時(shí)間內(nèi)完成。圖8.6.1（a）圖8.6.1（b）8.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)

為了得到相應(yīng)的高效FIR直接實(shí)現(xiàn)，對(duì)圖8.6.1（a）進(jìn)行等效變換。

顯然，將圖8.6.1（a）中的↓D移在N條乘法器支路中的乘法器之前，如圖8.6.1（b）所示，所得與原結(jié)構(gòu)輸出相同，即圖8.6.1（a）與圖8.6.1（b）是等效的。 圖8.6.1（b）中各條支路里的↓D同時(shí)在時(shí)開(kāi)通，此刻開(kāi)始計(jì)算N個(gè)支路的N次乘法和最后的N–1次加法，得到一個(gè)輸出樣值：由于在到來(lái)之前所有的↓D同時(shí)關(guān)閉，直到時(shí)，N個(gè)↓D才又同時(shí)開(kāi)通，再開(kāi)始計(jì)算下一個(gè)輸出序列樣值。

改進(jìn)效果：將乘法運(yùn)算移到低采樣率一側(cè)，使乘法運(yùn)算速度要求降低到原來(lái)的1/D，即原來(lái)要在一個(gè)T1時(shí)間內(nèi)完成的運(yùn)算，現(xiàn)在只要在DT1時(shí)間之內(nèi)完成就可以了。當(dāng)然，也使計(jì)算量減少到原來(lái)的1/D。

故稱之為高效結(jié)構(gòu)。328.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)

應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，圖8.6.1（b）中將↓D放在h(0)，h(T1)，…，h[(N–1)T1]之前，減少了運(yùn)算量，但這并不是把抗混疊濾波放到了抽取之后，而是與原來(lái)的濾波作用等效。對(duì)此作如下解釋：

濾波和抽取的作用次序在FIR實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)在濾波器輸入端及延遲鏈上所加的信號(hào)序列，如果所加信號(hào)是抽取以前的信號(hào)，則是先濾波后抽取，反之是先抽取后濾波。圖8.6.1（b）中，所有↓D均安排在延遲鏈之后，即濾波器延遲鏈上各點(diǎn)的信號(hào)仍然是原序列x(n1T1)，x[(n1–1)T1]，…，x[(n1–N+1)T1]，而不是抽取過(guò)的信號(hào)。每當(dāng)↓D開(kāi)通時(shí)，進(jìn)入左側(cè)的信號(hào)是未抽取的原信號(hào)，即輸出的與圖8.6.1（a）中抽選的輸出信號(hào)相同，而兩次開(kāi)通之間所阻擋的信號(hào)恰好就是圖8.6.1（a）中將來(lái)要舍棄的部分，所以計(jì)算結(jié)果是正確的。但絕對(duì)不能將↓D提前到延遲鏈之前，那樣才是真正的先抽取后濾波器，會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的混疊現(xiàn)象。338.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)線性相位的FIR濾波器：對(duì)線性相位的FIR濾波器，實(shí)現(xiàn)時(shí)可用FIR線性相位結(jié)構(gòu)，這樣又可以使乘法計(jì)算量減少一半。根據(jù)線性相位時(shí)域特性：可畫(huà)出抽取器FIR結(jié)構(gòu)的線性相位形式如圖8.6.2所示。34圖8.6.28.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)2．整數(shù)倍內(nèi)插器的FIR直接實(shí)現(xiàn)35整數(shù)倍內(nèi)插系統(tǒng)框圖如圖8.3.2所示。鏡像濾波器采用FIR結(jié)構(gòu)，I倍內(nèi)插器的FIR直接實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖8.6.3所示。圖8.3.2圖8.6.3

圖8.6.3中乘法是在高采樣率一側(cè)進(jìn)行的，不是高效結(jié)構(gòu)，應(yīng)設(shè)法將乘法運(yùn)算移到低采樣率一側(cè)以減少計(jì)算量。但不能直接將移到濾波器后面。得出相應(yīng)的高效結(jié)構(gòu)。為此，先將FIR濾波網(wǎng)絡(luò)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)置，得到圖8.6.4所示的FIR轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)，再用其代替圖8.6.3中的FIR濾波網(wǎng)絡(luò)，得到圖8.6.5所示的內(nèi)插系統(tǒng)直接實(shí)現(xiàn)。

↑I8.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)

先將FIR濾波網(wǎng)絡(luò)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)置，得到圖8.6.4所示的FIR轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)，再用其代替圖8.6.3中的FIR濾波網(wǎng)絡(luò)，得到圖8.6.5所示的內(nèi)插系統(tǒng)直接實(shí)現(xiàn)。圖8.6.5中，先零值內(nèi)插后分支相乘與先分支相乘后零值內(nèi)插等效。因此，可將圖8.6.5中的分別移到FIR網(wǎng)絡(luò)的各支路的乘法器之后，可得到圖8.6.6所示的內(nèi)插系統(tǒng)直接實(shí)現(xiàn)高效結(jié)構(gòu)。由于延時(shí)鏈上所加的仍然是內(nèi)插后的信號(hào)，所以等效變換后的高效結(jié)構(gòu)仍是先內(nèi)插后濾波。36圖8.6.4

圖8.6.5↑I圖8.6.68.6.1直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)

當(dāng)滿足線性相位條件時(shí)，可用線性相位結(jié)構(gòu)實(shí)，將乘法次數(shù)再減少一半。取N=9，畫(huà)出內(nèi)插器的線性相位FIR直接高效實(shí)現(xiàn)如圖8.6.7所示。37圖8.6.7按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)

為了敘述方便，先由圖8.4.2畫(huà)出按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的直接型FIR結(jié)構(gòu)，如圖8.6.8所示。38圖8.6.8指導(dǎo)思想

基于內(nèi)插系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)與抽取系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

（1）當(dāng)I>D時(shí)，F(xiàn)y

>Fx，將圖8.6.8中的直接型FIR結(jié)構(gòu)與前面的用圖8.6.6所示的整數(shù)因子I內(nèi)插器的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)代替即可?！麵（2）當(dāng)I<D時(shí)，F(xiàn)y

<Fx，將圖8.6.8中的直接型FIR結(jié)構(gòu)與后面的用圖8.6.1（b）所示的整數(shù)因子D抽取器的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)代替即可。

↓D

8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)

1、內(nèi)插系統(tǒng)的多相結(jié)構(gòu)：可以證明，圖8.6.6所示的按整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)可以用一組較短的多相濾波器組實(shí)現(xiàn)。如果FIR濾波器總長(zhǎng)度為M=NI，則多相濾波器組由I個(gè)長(zhǎng)度為N=M/I的短濾波器構(gòu)成，且I個(gè)短濾波器輪流分時(shí)工作。

證明：

觀察圖8.6.3給出的整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)。為了下面描述簡(jiǎn)單，定義一下符號(hào)：39用x(n)表示x(n1T1)用v(m)表示v(n2T2）用y(m)表示y(n2T2)8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)40所以，m=jI時(shí)刻：

輸出序列為因?yàn)閙=jI+1時(shí)刻，式中右移1位，N個(gè)x(n)的非零值與h(n)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也右移1位，所以，8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)

依此類推，當(dāng)m=jI+I=(j+1)I時(shí)刻，

N個(gè)x(n)的值與h(n)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是x(n)又移進(jìn)1位，所以，41綜上所述，當(dāng)時(shí)，有把上式中的看作長(zhǎng)度N=M/I的子濾波器的單位脈沖響應(yīng)，表示：

并用這樣，從m=0開(kāi)始，整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的輸出序列計(jì)算如下：

8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)式中，顯然，當(dāng)從0開(kāi)始增大時(shí)，k從0開(kāi)始以I為周期循環(huán)取值；j表示循環(huán)周期數(shù)。所以，實(shí)現(xiàn)上式y(tǒng)(m)的多相濾波器結(jié)構(gòu)如下圖42所示。圖9.5.6特點(diǎn)：（1）I個(gè)子濾波器均運(yùn)行于低采樣率Fx下（2）系數(shù)少，計(jì)算量小。所以多相濾波器結(jié)構(gòu)是一種高效結(jié)構(gòu)。8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)工作過(guò)程：

輸入端的x(n)每移入一個(gè)樣值，I個(gè)子濾波器分別計(jì)算出y(m)的I個(gè)樣值，選擇電子開(kāi)關(guān)以高采樣率Fy=IFx，依次逆時(shí)針循環(huán)選取I個(gè)子濾波器的輸出，形成輸出序列。實(shí)現(xiàn)了整數(shù)因子I內(nèi)插功能。43“多相濾波器”的解釋：對(duì)低通濾波器h(n)按整數(shù)因子I抽取得到子濾波器h(n)是截止頻率為的理想低通濾波器，所以的截止頻率必然是，即I個(gè)子濾波器都是全通濾波器，幅度特性相同，它們的唯一區(qū)別是相位特性不同，故稱為“多相濾波器”結(jié)構(gòu)。

形成多相特性的機(jī)理：由h(n)的I個(gè)不同的起始點(diǎn)抽取得到I個(gè)子濾波器。8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)抽取系統(tǒng)的多相結(jié)構(gòu)：44

思想：整數(shù)因子I內(nèi)插器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)與整數(shù)因子D=I抽取器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)互為轉(zhuǎn)置關(guān)系，將圖9.5.6給出的整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的多相濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)置，則得到圖9.5.7所示的整數(shù)因子D抽取系統(tǒng)的多相濾波器結(jié)構(gòu)。圖9.5.7多相濾波器的單位脈沖響應(yīng)：

式中，N為抗混疊FIR濾波器的總長(zhǎng)度

M=DN，N=M/D

的長(zhǎng)度。一般選擇8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)抽取系統(tǒng)多相結(jié)構(gòu)正確性的驗(yàn)證：45以N=D=2，M=DN=4為例，驗(yàn)證圖9.5.7所示的抽取系統(tǒng)多相結(jié)構(gòu)的正確性。首先根據(jù)圖9.5.2（a）計(jì)算出抽取器的正確輸出y(m):假設(shè)x(n)為因果信號(hào)，則8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)根據(jù)圖9.5.7計(jì)算多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輸出y(m):

開(kāi)始k=0,n=0，只有x(0)進(jìn)入p0(n)，p1(n)中無(wú)信號(hào)，所以總輸出y(0)=p0(0)x(0)=h(0)x(0)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)開(kāi)始下一周期:

k=D-1=1時(shí)，電子開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)到p1(n),x(1)進(jìn)入p1(n)，p1(n)的輸出為p1(0)x(1)=h(1)x(1)；

k=0時(shí)，電子開(kāi)關(guān)又轉(zhuǎn)到p0(n)，此時(shí)，x(2)進(jìn)入p0(n)第一節(jié)，上一周期中進(jìn)入p0(n)的x(0)移位到p0(n)的第二節(jié)，所以p0(n)的輸出為46p0(0)x(2)+

p0(1)x(0)=h(0)x(2)+h(2)x(0)總的輸出y(1)為p0(n)與p1(n)輸出之和，即8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)同樣道理，可求出下一旋轉(zhuǎn)周期得到的輸出所求y(0),y(1)和y(2)與式（9.5.10）相同，所以，圖9.5.7所給結(jié)構(gòu)是正確的。47例9.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)按因子I=5的內(nèi)插器，要求鏡像濾波器通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB，過(guò)渡帶寬度不大于π/20。設(shè)計(jì)FIR濾波器系數(shù)h(n)，并求出多相濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個(gè)多相濾波器系數(shù)。解:由式（9.3.5）知道FIR濾波器h(n)的阻帶截止頻率為π/5，根據(jù)題意可知濾波器其他指標(biāo)參數(shù):通帶截止頻率為π/5-π/20=3π/20，通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB。調(diào)用remezord函數(shù)求得h(n)長(zhǎng)度M=47，為了滿足5的整數(shù)倍，取M=50。調(diào)用remez函數(shù)求得h(n)如下8.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)h(0)=6.684246e-002=h(49) h(13)=-1.800562e-003=h(36)h(1)=-3.073256e-002=h(48) h(14)=-7.220485e-002=h(35)h(2)=-4.303671e-002=h(47) h(15)=-1.370181e-001=h(34)h(3)=-5.803096e-002=h(46) h(16)=-1.740193e-001=h(33)h(4)=-6.759203e-002=h(45) h(17)=-1.631924e-001=h(32)h(5)=-6.493009e-002=h(44) h(18)=-9.215300e-002=h(31)h(6)=-4.657608e-002=h(43) h(19)=4.004513e-002=h(30)h(7)=-1.386252e-002=h(42) h(20)=2.202029e-001=h(29)h(8)=2.674276e-002=h(41) h(21)=4.239994e-001=h(28)h(9)=6.463158e-002=h(40) h(22)=6.191918e-001=h(27)h(10)=8.776083e-002=h(39) h(23)=7.725483e-001=h(26)h(11)=8.607506e-002=h(38) h(24)=8.568808e-001=h(25)h(12)=5.500303e-002=h(37)488.6.2多相濾波器結(jié)構(gòu)根據(jù)式（9.5.7）確定多相濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個(gè)多相濾波器系數(shù)如下498.7采樣率轉(zhuǎn)換器的MATLAB實(shí)現(xiàn)MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的采樣率轉(zhuǎn)換函數(shù):upfirdn,interp,decimate,resample功能:Y=upfirdn(X,H,I,D)

先對(duì)輸入信號(hào)向量X進(jìn)行I倍零值內(nèi)插，再用H提供的FIRDF對(duì)內(nèi)插結(jié)果濾波，其中H為FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖向量，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器采用高效的多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。最后按因子D抽取得到輸出信號(hào)向量Y。Y=interp(X,I)采用低通濾波插值法實(shí)現(xiàn)對(duì)序列向量X的I倍插值，其中的插值濾波器讓原序列無(wú)失真通過(guò)，并在X的兩個(gè)相鄰樣值之間按照最小均方誤差準(zhǔn)則插入I-1個(gè)序列值。得到的輸出信號(hào)向量Y的長(zhǎng)度為X長(zhǎng)度的I倍。508.7采樣率轉(zhuǎn)換器的MATLAB實(shí)現(xiàn)Y=decimate(X,D,N)

先對(duì)序列X抗混疊濾波，再按整數(shù)因子D對(duì)序列X抽取。輸出序列Y的長(zhǎng)度是X長(zhǎng)度的1/D?？够殳B濾波用N階切比雪夫Ⅰ型低通濾波器，阻帶截止頻率為0.8Fs/(2D)，如果省略N，則默認(rèn)用8階切比雪夫Ⅰ型低通濾波；Y=decimate(X,D,N,'FIR')

用長(zhǎng)度為N的FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器是抽取函數(shù)decimate自動(dòng)調(diào)用fir1(N,1/D)設(shè)計(jì)的。省略N，則默認(rèn)用30點(diǎn)FIR數(shù)字濾波器。其中，1/D為歸一化-6dB截止頻率，（存在問(wèn)題？會(huì)有