河北省滄州市肅寧一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

河北省滄州市肅寧一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.2．過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（）A B.C. D.3．若a，b，c為實(shí)數(shù)，且，則以下不等式成立的是（）A. B.C. D.4．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.55．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.6．命題；命題．則A.“或”為假 B.“且”為真C.真假 D.假真7．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A. B.C. D.8．，則（）A. B.C. D.9．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.11．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.12．過橢圓右焦點(diǎn)作x軸的垂線，并交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓與有2個(gè)公共點(diǎn)，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和為___________.14．由曲線圍成的圖形的面積為________15．在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P滿足，則當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為___________.16．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,對任意實(shí)數(shù)都有,則不等式的解集為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時(shí)y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值18．（12分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD為BC邊上的中線，AE為∠BAC的角平分線（1）求及線段BC的長；（2）求△ADE的面積19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝處有極大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.20．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：（1）共面；（2）求證：21．（12分）同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)不相等，且一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的整數(shù)倍的概率22．（10分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）說明C是什么曲線，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為故選：B.2、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，再代點(diǎn)解方程即得解.【詳解】解：由得，所以橢圓的焦點(diǎn)為.設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以.所以雙曲線的方程為.故選：D3、C【解析】利用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)和取值驗(yàn)證相結(jié)合可解.【詳解】取可排除ABD；由不等式的性質(zhì)易得C正確.故選：C4、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：.5、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C6、D【解析】命題：可能為0，不為0，假命題，命題：，為真命題，所以“或”為真命題，“且”為假命題．選D.7、A【解析】函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可【詳解】解：∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，由求導(dǎo)得：，由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得：，可得，∴，所以，∴數(shù)列的通項(xiàng)為，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和即為，則利用裂項(xiàng)相消法可以得到：所以數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為：.故選：A.8、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B9、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A10、D【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D11、C【解析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題12、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，化簡后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線的方程為，由于以線段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意求出，代入中，再利用裂項(xiàng)相消即可求出答案.【詳解】由是等差數(shù)列且，可知：，故.，數(shù)列的前2021項(xiàng)和為.故答案為：.14、【解析】曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于關(guān)于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，在第一象限為弓形，其面積為，故.故答案為：.15、【解析】先根據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值，進(jìn)而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因?yàn)榧磧蛇吰椒秸淼茫核詧A心為，半徑因?yàn)榈拿娣e的最大值為3所以，解得：因?yàn)闄E圓離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題先根據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進(jìn)而求得面積的最值.16、【解析】令則，∴在R上是減函數(shù)又等價(jià)于∴故不等式的解集是答案：點(diǎn)睛：本題考查用構(gòu)造函數(shù)的方法解不等式，即通過構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時(shí)要注意常見的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構(gòu)造函數(shù)；（2）對于，可構(gòu)造函數(shù)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可求得f（x）的極值，檢驗(yàn)邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣318、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化簡已知條件，求得，結(jié)合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面積，結(jié)合角平分線、中線的性質(zhì)求得三角形的面積.小問1詳解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（負(fù)值舍去），即BC＝6.【小問2詳解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD為BC邊的中線，∴，∴.19、（1）（2）【解析】（1）由于在點(diǎn)處有極小值，所以，從而可求出、的值；（2）由（1）可得，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可求出其值域.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，所以，①且②聯(lián)立①②得：；【小問2詳解】由（1）得，所以，由得；由得，所以，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，所以在上的值域?yàn)?20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)向量共面的證明,考查兩直線垂直的證明,是基礎(chǔ)題21、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時(shí)擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及骰子向上的點(diǎn)數(shù)相等的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)不相等，且一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的倍數(shù)的基本事件，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時(shí)擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問2詳解】兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)不相等，且一個(gè)點(diǎn)數(shù)是另一個(gè)點(diǎn)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，用坐標(biāo)記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個(gè)基本事件，故兩顆骰