河南省重點(diǎn)高中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

河南省重點(diǎn)高中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，D是正方體的一個(gè)“直角尖”O(jiān)-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點(diǎn)，P是BC中點(diǎn)，Q是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連PQ，則當(dāng)AC與PQ所成角為最小時(shí)，（）A. B.C. D.22．若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)（其中的自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.3．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1084．已知橢圓與橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.焦距相等 D.離心率相等5．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國(guó)明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等，且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2206．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）A. B.C. D.7．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32C.36 D.3711．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件12．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______14．若橢圓W：的離心率是，則m=___________.15．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則線段AB的長(zhǎng)度為___________.16．過(guò)點(diǎn)作圓的切線l，直線與l平行，則直線l過(guò)定點(diǎn)_________，與l間的距離為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值18．（12分）已知橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，且該橢圓的離心率為，（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積.19．（12分）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，P為橢圓上一點(diǎn)，且（1）求此橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P在第二象限，，求的面積20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）某車間打算購(gòu)買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購(gòu)買設(shè)備時(shí)可以額外購(gòu)買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)100元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購(gòu)買該零件，價(jià)格為每個(gè)300元.在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)的分布列為567.表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，代表購(gòu)買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買易損零件的個(gè)數(shù).（1）求的分布列；（2）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應(yīng)選哪一個(gè)？22．（10分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為5，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得AC與PQ夾角的余弦值關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，求得角度最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可代值計(jì)算求解結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，則，又，設(shè)直線所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，點(diǎn)，則，故，則故選：C.2、A【解析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點(diǎn)到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A3、C【解析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C4、C【解析】利用，可得且，即可得出結(jié)論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關(guān)系是有相等的焦距故選：C5、C【解析】依題意，每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，則最后一個(gè)單音的頻率為，由題意知，且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算7、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線所以，即故選：B8、B【解析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故.故選：B.9、B【解析】由雙曲線的漸近線方程以及即可求得離心率.【詳解】由已知條件得，∴，∴，∴，∴，故選：.10、C【解析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.11、C【解析】不能推出，反過(guò)來(lái)，若則成立，故為必要不充分條件.12、C【解析】通過(guò)樣本中心點(diǎn)來(lái)求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析可知，由可求得結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.14、或【解析】按照橢圓的焦點(diǎn)在軸和在軸上兩種情況分別求解，可得所求結(jié)果【詳解】①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則有，由題意得，解得②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則有，由題意得，解得綜上可得或故答案為或【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一個(gè)是注意分類討論思想方法的運(yùn)用，注意橢圓焦點(diǎn)所在的位置；二是解題時(shí)要分清橢圓方程中各個(gè)參數(shù)的幾何意義，然后再根據(jù)離心率的定義求解15、9【解析】由焦點(diǎn)弦公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得.詳解】設(shè)，則，即，.故答案為：916、①.②.##2.4【解析】利用直線與平行，結(jié)合切線的性質(zhì)求出切線的方程，即可確定定點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩條平行線間的距離公式求兩線距離.【詳解】由題意，直線斜率，設(shè)直線的方程為，即∴直線l過(guò)定點(diǎn)，由與圓相切，得，解得，∴的方程為，的方程為，則兩直線間的距離為故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意可以求出橢圓的焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的離心率公式，求出的值，然后結(jié)合橢圓的關(guān)系求出，最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)平面向量共線定理可以得出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再設(shè)出直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出直線AB的斜率，最后根據(jù)三角形面積結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出的面積.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，又，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，，由得：，驗(yàn)證易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立橢圓方程，得：，整理得：，得：，將代入得，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求直線斜率和三角形面積問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，根據(jù)橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解；（2）由題可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得點(diǎn)P，利用三角形的面積公式，即求.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由題可得，，所以，可得，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，∵，∴所在的直線方程為，則解方程組，可得，∴.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點(diǎn)，分別以，為軸、軸，過(guò)作軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，的中點(diǎn)，則，，∵，∴.【小問2詳解】由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.21、（1）答案見解析；（2）應(yīng)選擇.【解析】(1)由每臺(tái)設(shè)備需更換零件個(gè)數(shù)的分布列求出的所有可能值，并求出對(duì)應(yīng)的概率即可得解.(2)分別求出和時(shí)購(gòu)買零件所需費(fèi)用的期望，比較大小即可作答.【小問1詳解】的可能取值為10，11，12，13，14，