甘肅省白銀市會寧縣會寧縣第一中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

甘肅省白銀市會寧縣會寧縣第一中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，則當{an}的前n項和Sn，取得最大值時，n=（）A.3 B.4C.5 D.62．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.23．拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，點在拋物線上，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.4．如圖所示，已知三棱錐，點，分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角大小為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條7．某次生物實驗6個小組的耗材質量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.658．設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，有恒成立.則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．已知二次函數(shù)交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.10．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.312．拋物線的焦點坐標是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在公差不為0的等差數(shù)列中，為其前n項和，若，則正整數(shù)______14．已知點，是橢圓內的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為______15．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_______.16．已知在四面體ABCD中，，，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：，有，：方程表示經過第二、三象限的拋物線，.（1）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若“”是假命題，“”是真命題，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設為的導數(shù)，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數(shù)的最小值.19．（12分）已知命題p：函數(shù)有零點；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，軸于點，是線段上的動點，軸于點，于點，與相交于點.（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）過點作拋物線的切線交軸于點，過拋物線上的點作拋物線的切線交軸于點，……，以此類推，得到數(shù)列，求，及數(shù)列的通項公式.21．（12分）設橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個零點，求實數(shù)a取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題可得當時，，當時，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當時，，當時，，故時，取得最大值故選：B.2、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即則，所以則故選：B3、B【解析】首先根據(jù)題意設出拋物線的方程，利用點在曲線上的條件為點的坐標滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意設出拋物線的方程，因為點在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.4、A【解析】連接，先根據(jù)已知條件表示出，再根據(jù)求得結果.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，所以，又因為為的中點，所以，所以，故選：A.5、B【解析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?，根?jù)斜率與傾斜角關系可直接求解.【詳解】由直線可得，所以，設傾斜角為，則因為所以故選：B6、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點為.①直線與雙曲線只有一個公共點；②過點平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點；③設過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.7、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.8、B【解析】根據(jù)當時，可知在上單調遞減，結合可確定在上的解集；根據(jù)奇偶性可確定在上的解集；由此可確定結果.【詳解】，當時，，在上單調遞減，，，在上的解集為，即在上的解集為；又為上的奇函數(shù)，，為上的偶函數(shù)，在上的解集為，即在上的解集為；當時，，不合題意；綜上所述：的解集為.故選：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，關鍵是能夠通過構造函數(shù)的方式，確定所構造函數(shù)的單調性和奇偶性，進而根據(jù)零點確定不等式的解集.9、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C10、D【解析】通過命題的否定的形式進行判斷【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬基礎題.11、D【解析】根據(jù)輸出結果可得輸出時，結合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結合選項知：D符合要求.故選：D.12、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標為可知，拋物線即的焦點坐標為，故選D.考點：拋物線的標準方程及其幾何性質.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13【解析】設等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式、前n項和公式及可求k.【詳解】設等差數(shù)列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.14、##【解析】結合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點，設左焦點為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：15、【解析】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由已知條件結合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值【詳解】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，，可得，得，即，可得，則，當且僅當，上式取得等號，可得的最小值為故答案為：【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的性質，主要是離心率，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用16、24【解析】由線段的空間關系有，應用向量數(shù)量積的運算律及已知條件即可求.【詳解】由題設，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：24三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）將問題轉化為不等式對應的方程無解，進而根據(jù)根的判別式小于0，計算即可；（2）根據(jù)且、或命題的真假判斷命題p、q的真假，列出對應的不等式組，解之即可.【小問1詳解】由條件知，恒成立，只需的.解得.【小問2詳解】若為真命題，則，解得.若“”是假命題，“”是真命題，所以和一真一假若真假，則，解得.若假真，則，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.18、（1）（2）1【解析】（1）先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結合其兩根，進行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當，即時，在上恒成立，則在上單調遞增，又，則在上恒成立；②當，即時，當時，，則在上單調遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質求p為真時a的取值范圍，根據(jù)的性質判斷與有交點求q為真時a的取值范圍，進而求p，q均為真時a的取值范圍.（2）根據(jù)復合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】若p為真，，解得或，所以若q為真，因為在上為增函數(shù)，所以，故，所以若p，q均為真命題，a的取值范圍為【小問2詳解】由題設，易知：p，q兩命題一真一假當p真q假時，p為真，則或，q為假，則或，此時a的取值范圍為；當p假q真時，p為假，則，q為真，則，此時a的取值范圍為綜上，實數(shù)a的取值范圍為.20、（1）在拋物線上，理由見解析（2）,,.【解析】（1）根據(jù)直線的方程設出點的坐標，利用已知條件求出點的坐標即可判斷點是否在拋物線上；（2）設出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令，即可求出，同理可以求出，設出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令即可求出的方程，若令，，即，故數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式.【小問1詳解】由已知條件得直線的方程為，設點，則，由直線的方程為可得點的坐標為，點滿足拋物線，則點是否在拋物線上；【小問2詳解】設的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知，設的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知設點，設直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，其中，即，，解得，直線的方程為，即，令得，即直線過點，則直線的斜率為，直線的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，故.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線被圓截得的弦長為，由解得，再由離心率結合求解。（2）設，則，得到直線：；直線：，聯(lián)立求得，再根據(jù)線斜率大于，求得，然后由求解.【詳解】（1）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，解得：，又橢圓離心率，∴，，橢圓的標準方程為：.（2）設，其中，，則，∴，，則直線為：；直線為：，由得：，∴，∴，∴，令，，則，∴，∵∴，∴，即.【點睛】本題主要考查橢圓方程和幾何性質以及直線與圓，橢圓的位置關系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22、（1）極小值為，無極大值（2）【解析】(