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文檔簡介
河北省滄縣風(fēng)化店中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量分別是直線的方向向量,若,則()A. B.C. D.2.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題,從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列,若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺,小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺,則冬至的日影長為()A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺3.若向量,,,則()A. B.C. D.4.已知命題“若,則”,命題“若,則”,則下列命題中為真命題的是()A. B.C. D.5.如圖,在三棱錐中,,,,點(diǎn)在平面內(nèi),且,設(shè)異面直線與所成角為,則的最大值為()A. B.C. D.6.已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),,,則點(diǎn)P到直線AB的距離為()A. B.C. D.7.命題“,”否定形式是()A., B.,C., D.,8.設(shè)等差數(shù)列,前n項(xiàng)和分別是,若,則()A.1 B.C. D.9.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A B.C. D.10.函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系是()A. B.C. D.不能確定11.已知定義在區(qū)間上的函數(shù),,若以上兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處切線相同,則m的值為()A.2 B.5C.1 D.012.直線且的傾斜角為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì),光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)(如左圖);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出(如中圖).封閉曲線E(如右圖)是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分(實(shí)線)圍成.光線從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā),經(jīng)過點(diǎn)F2,然后在曲線E內(nèi)多次反射,反射點(diǎn)依次為P1,P2,P3,P4,…,若P0,P4重合,則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.14.已知三棱錐中,平面BCD,,,,則三棱錐的外接球的表面積為_____.15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_________16.某教師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測量活動(dòng),如圖是要測山高.現(xiàn)選擇點(diǎn)A和另一座山頂點(diǎn)C作為測量觀測點(diǎn),從A測得點(diǎn)M的仰角,點(diǎn)C的仰角,測得,,已知另一座山高米,則山高_(dá)______米.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在柯橋古鎮(zhèn)的開發(fā)中,為保護(hù)古橋OA,規(guī)劃在O的正東方向100m的C處向?qū)Π禔B建一座新橋,使新橋BC與河岸AB垂直,并設(shè)立一個(gè)以線段OA上一點(diǎn)M為圓心,與直線BC相切的圓形保護(hù)區(qū)(如圖所示),且古橋兩端O和A與圓上任意一點(diǎn)的距離都不小于50m,經(jīng)測量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正南方向25m,,建立如圖所示直角坐標(biāo)系(1)求新橋BC的長度;(2)當(dāng)OM多長時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最?。?8.(12分)在①,;②,,③,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中并解決問題問題:設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,________________,若,判斷是否存在最大值,若存在,求出取最大值時(shí)的值;若不存在,說明理由注:如果選擇多個(gè)條件分別解答.按第一個(gè)解答記分19.(12分)已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,.記.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和,求使得不等式成立的的最小值.20.(12分)在正方體中,、、分別是、、的中點(diǎn)(1)證明:平面平面;(2)證明:21.(12分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知,S2=-3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.22.(10分)已知等差數(shù)列滿足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題意,得,由此可求出答案【詳解】解:∵,且分別是直線的方向向量,∴,∴,∴,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】設(shè)等差數(shù)列,用基本量代換列方程組,即可求解.【詳解】由題意,從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列,記為數(shù)列,公差為d,則有,即,解得:,即冬至的日影長為16.1尺.故選:C3、A【解析】根據(jù)向量垂直得到方程,求出的值.【詳解】由題意得:,解得:.故選:A4、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假,利用特殊值法可判斷命題的真假,結(jié)合復(fù)合命題的真假可判斷出各選項(xiàng)中命題的真假.【詳解】對于命題,由于函數(shù)為上的增函數(shù),當(dāng)時(shí),,命題為真命題;對于命題,若,取,,則,命題為假命題.所以,、、均為假命題,為真命題.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查簡單命題和復(fù)合命題真假的判斷,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為,連接,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),證明出平面,然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,且,求出的最大值,利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為,連接,,為的中點(diǎn),則,,則,,同理可得,,,平面,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),因?yàn)?,所以,為等邊三角形,故為的中點(diǎn),平面,平面,則,,,平面,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形,為的中點(diǎn),則,則、、、,由于點(diǎn)在平面內(nèi),可設(shè),其中,且,從而,因?yàn)椋瑒t,所以,,故當(dāng)時(shí),有最大值,即,故,即有最大值,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求空間角的常用方法:(1)定義法:由異面直線所成角、線面角、二面角的定義,結(jié)合圖形,作出所求空間角,再結(jié)合題中條件,解對應(yīng)的三角形,即可求出結(jié)果;(2)向量法:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,通過計(jì)算向量的夾角(兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量)的余弦值,即可求得結(jié)果.6、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】,0,,,1,,,,,,在上的投影為,則點(diǎn)到直線的距離為.故選:D7、C【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“,是特稱命題,所以其否定是全稱命題,即為,故選:C8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列,的前n項(xiàng)和分別是,所以,故選:B9、A【解析】對函數(shù)求導(dǎo),由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增,故恒成立.【詳解】由題意可得,,,,.故選:A10、A【解析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可比較.【詳解】,,所以,即.故選:A.11、C【解析】設(shè)兩曲線與公共點(diǎn)為,分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處切線相同,列出等式,求得公共點(diǎn)的坐標(biāo),代入函數(shù),即可求解.【詳解】根據(jù)題意,設(shè)兩曲線與公共點(diǎn)為,其中,由,可得,則切線的斜率為,由,可得,則切線斜率為,因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖像有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處切線相同,所以,解得或(舍去),又由,即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為,將點(diǎn)代入,可得.故選:C.12、C【解析】由直線方程可知其斜率,根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】直線方程可化為:,直線的斜率,直線的傾斜角為.故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓;雙曲線,雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)重合.根據(jù)雙曲線的定義有,所以①,②,根據(jù)橢圓的定義由,所以路程.故答案為:14、【解析】由題意可知三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球,進(jìn)而求出三棱柱的外接球的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,,所以,故,又因?yàn)槠矫鍮CD,因此三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球,如圖:取的中點(diǎn),則為外接圓的圓心,取的中點(diǎn),則為外接圓的圓心,則的中點(diǎn)即為外接球的球心,因此,,因此,所以三棱錐的外接球的表面積為,故答案為:.15、【解析】求導(dǎo),求出切線斜率,用點(diǎn)斜式寫出直線方程,化簡即可.【詳解】,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即故答案為:16、【解析】利用正弦定理可求出各個(gè)三角形的邊長,進(jìn)而求出山高.【詳解】解:在中,,,,可得在中,,所以由正弦定理可得:即,得在直角中,所以故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)80m;(2).【解析】(1)根據(jù)斜率的公式,結(jié)合解方程組法和兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)圓的切線性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由題意,可知,,∵∴直線BC方程:①,同理可得:直線AB方程:②由①②可知,∴,從而得故新橋BC得長度為80m【小問2詳解】設(shè),則,圓心,∵直線BC與圓M相切,∴半徑,又因?yàn)?,∵∴,所以?dāng)時(shí),圓M的面積達(dá)到最小18、答案不唯一,具體見解析【解析】選①:易得,法一:令求n,即可為何值時(shí)取最大值;法二:寫出,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷為何值時(shí)有最大值;選②:由數(shù)列前n項(xiàng)和及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)易得、即可確定有最大值時(shí)值;選③:由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式易得、即可確定有最大值時(shí)值;【詳解】選①:設(shè)數(shù)列的公差為,,,解得,即,法一:當(dāng)時(shí),有,得,∴當(dāng)時(shí),;,;時(shí),,∴或時(shí),取最大值法二:,對稱軸,∴或時(shí),取最大值選②:由,得,由等差中項(xiàng)的性質(zhì)有,即,由,得,∴,故,∴當(dāng)時(shí),,時(shí),,故時(shí),取最大值選③:由,得,可得,由,得,可得,∴,故,∴當(dāng)時(shí),,時(shí),,故時(shí),取最大值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù)所選的條件,結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)、下標(biāo)和相等的性質(zhì)等確定數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)性,找到界點(diǎn)n值即可.19、(1),.(2)5.【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式探求出其項(xiàng)間關(guān)系,由此求出的公比,進(jìn)而求得,的通項(xiàng)公式.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合錯(cuò)位相減法求出,再將不等式變形,經(jīng)推理計(jì)算得解.【小問1詳解】解:設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為,當(dāng)時(shí),,即,則有,即,而,解得,又,則,所以,所以數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為:,.【小問2詳解】解:由(1)知,,則,則,兩式相減得:于是得,由得:,即,令,,顯然,,,,,,由,解得,即數(shù)列在時(shí)是遞增的,于是得當(dāng)時(shí),即,,則,所以不等式成立的n的最小值是5.20、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】(1)連接,分別證明出平面,平面,利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立;(2)證明出平面,利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明:連接,在正方體中,,,所以,四邊形為平行四邊形,所以,在中,、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,因?yàn)槠矫?,平面,所以,平面因?yàn)榍?,、分別為、的中點(diǎn),則且,所以,四邊形為平行四邊形,則,,平面,平面,平面又,所以,平面平面【小問2詳解】證明:在正方體中,平面,平面,,因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t,因?yàn)?,則平面由知(1)平面平面,所以,平面,平面,因此,21、(1);
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