河南省花洲實驗高級中學2023-2024學年高二上數學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

河南省花洲實驗高級中學2023-2024學年高二上數學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．試在拋物線上求一點，使其到焦點的距離與到的距離之和最小，則該點坐標為A. B.C. D.2．等比數列中，，，則（）A. B.C. D.3．已知1與5的等差中項是，又1，，，8成等比數列，公比為，則的值為（）A.5 B.4C.3 D.64．已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或5．已知平面的一個法向量為=（2，－2，4），=（－1，1，－2），則AB所在直線l與平面的位置關系為（）A.l⊥ B.C.l與相交但不垂直 D.l∥6．若，則的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.47．已知函數，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.8．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.819．中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里10．設滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.1611．已知橢圓上一點到左焦點的距離為，是的中點，則（）A.1 B.2C.3 D.412．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．狄利克雷是十九世紀德國杰出的數學家，對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數”.若，根據“狄利克雷函數”可求___________.14．在中，，是線段上的點，，若的面積為，當取到最大值時，___________.15．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數來言.務要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第七個孩子分得斤數為___________.16．定義點到曲線的距離為該點與曲線上所有點之間距離的最小值，則點到曲線距離為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列為正項等比數列，滿足，，數列滿足（1）求數列，的通項公式；（2）若數列的前n項和為，數列滿足，證明：數列的前n項和18．（12分）新疆長絨棉品質優(yōu)良，纖維柔長，被世人譽為“棉中極品”，產于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標之一，在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數據制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計該樣本數據的平均數（同一組中的數據用該組數據區(qū)間的中點值為代表）；（3）根據棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計概率，求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.19．（12分）已知函數在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：20．（12分）已知點是圓：上任意一點，是圓內一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設不經過坐標原點，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點，記，的斜率分別是，．當，都存在且不為時，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由21．（12分）證明：是無理數．（我們知道任意一個有理數都可以寫成形如（m，n互質，）的形式）22．（10分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為過點P作于點，由定義可得,所以，由圖形可得，當三點共線時，最小，此時故點的縱坐標為1，所以橫坐標．即點P的坐標為．選A點睛：與拋物線有關的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實現由點到點的距離與點到直線的距離的轉化(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決2、D【解析】設公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據等比數列通項公式計算可得；【詳解】解：設公比為，因為，，所以，即，解得，所以；故選：D3、A【解析】由等差中項的概念列式求得值，再由等比數列的通項公式列式求解，則答案可求.【詳解】由題意，，則；又1，，，8成等比數列，公比為，，即,,故選：.4、B【解析】分雙曲線的焦點在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點位置不確定的情況下，要對雙曲線的焦點位置進行分類討論，考查計算能力，屬于基礎題.5、A【解析】由向量與平面法向量的關系判斷直線與平面的位置關系【詳解】因為，所以，所以故選：A6、D【解析】由基本不等式求解即可.【詳解】，當且僅當時，取等號.即所求最小值.故選：D7、B【解析】根據導數的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B8、A【解析】根據條件，利用橢圓標準方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c關系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A9、B【解析】由題可得此人每天走的步數等比數列，根據求和公式求出首項可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數構成為公比的等比數列，由題意和等比數列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B10、C【解析】可行域如圖,則直線過點A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點睛：線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.11、A【解析】由橢圓的定義得，進而根據中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因為由橢圓的定義得，，所以，因為是的中點，是的中點，所以.故選：A12、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由“狄利克雷函數”解析式，先求出，再根據指數函數的解析式求即可.【詳解】由題設，，則.故答案：114、【解析】由三角形面積公式得出，設，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設，則，可得，由基本不等式可得，當且僅當時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為【點睛】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、167【解析】由題設知8個孩子分得斤數是公差為17的等差數列，設第一個孩子分得斤，應用等差數列前n項和公式求，進而由等差數列通項公式求即可.【詳解】由題意，設第一個孩子分得斤，則，所以，可得，故斤.故答案為：167.16、2【解析】設出曲線上任意一點，利用兩點間距離公式表達出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當時，顯然不成立，故，此時，設曲線任意一點，則，其中，當且僅當，即時等號成立，此時即為最小值.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析【解析】（1）將已知條件用首項和公比表示，聯立方程組即可求解數列的通項公式，然后由對數的運算性質即可得數列的通項公式；（2）由（1）求出，然后利用裂項相消求和法求出數列的前n項和，即可證明.【小問1詳解】解：設等比數列的公比為，由題意，得，即，解得或（舍），又，所以，所以，；【小問2詳解】解：，所以，所以18、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據平均數的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長度達到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數據的平均數為：【小問3詳解】由題意一根棉花纖維長度達到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率19、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據導數幾何意義可知，解方程求得，進而得到切線方程；（2）當時，由，知不等式成立；當時，令，利用導數可求得在上單調遞增，從而得到，由此可得結論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當時，，，，即，；②當時，令，，，當時，，，，，即，在上單調遞增，，在上單調遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點睛】思路點睛：本題第二問考查利用導數證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉化為函數最值的求解問題；通過構造函數，利用導數求函數最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結論.20、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根據給定條件探求得，再借助橢圓定義直接求得軌跡的方程.(2)設出直線的方程，再與軌跡的方程聯立，借助韋達定理計算作答.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑，因線段的垂直平分線與半徑相交于點，則，而，于是得，因此，點的軌跡是以C，A為左右焦點，長軸長為4的橢圓，短半軸長有，所以軌跡的方程為.【小問2詳解】依題意，設直線的方程為：，，由消去y并整理得：，，則且，設，則有，，因直線，的斜率，都存在且不為，因此，且，，，所以直線，的斜率，都存在且不為時，是定值，這個定值是.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21、詳見解析【解析】利用