備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一輪第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布課時規(guī)范練56

/課時規(guī)范練56《素養(yǎng)分級練》P3851.(2022·山東泰安三模)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),若P(X<2)·P(X>4)=136,則P(2<X<3)=(A.13 B.14 C.16答案:A解析:因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),由對稱性可知,P(X<2)=P(X>4),又P(X<2)·P(X>4)=136,所以P(X<2)=P(X>4)=16,故P(2<X<3)=2.(2023·山東濟南歷城二中檢測)從一批含有13件正品,2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次,每次抽取1件,設(shè)抽到的次品數(shù)為ξ,則E(5ξ+1)=()A.2 B.1 C.3 D.4答案:C解析:ξ的可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C13P(ξ=1)=C2P(ξ=2)=C2∴ξ的分布列為ξ012P22121于是E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135=25,故E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×3.(2023·東北師大附中高三開學(xué)考試)下圖是一塊高爾頓板示意圖.在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有一塊玻璃,將小球從頂端放入,小球在下落過程中,每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子從左到右分別編號為1,2,3,4,5,6,用X表示小球落入格子的號碼,假定底部6個格子足夠長,投入160粒小球,則落入3號格的小球大約有粒.

答案:50解析:設(shè)A=“向右下落”,則A=“向左下落”,且P(A)=P(A)=12,設(shè)Y=X-∵小球下落過程中共碰撞5次,∴Y~B5,12,∴P(Y=k)=P(X=k+1)=C5k12k1-125-k=C5k1∴P(X=3)=C52125=516,故投入160粒小球,則落入3號格的小球大約有160×54.(2022·廣東廣州一模)某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“AI作業(yè)”項目,并且在甲、乙兩個學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測試.經(jīng)過一個階段的試用,為了解“AI作業(yè)”對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進情況,該公司隨機抽取了200名學(xué)生,對他們的“向量數(shù)量積”知識點掌握的情況進行調(diào)查,樣本調(diào)查結(jié)果如下表:掌握情況甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識點相互獨立.(1)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生,用ξ表示抽取的2名學(xué)生中使用“AI作業(yè)”的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)用樣本頻率估計概率,從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生,用“X=1”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”知識點,用“X=0”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點,用“Y=1”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”知識點,用“Y=0”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點.比較方差D(X)和D(Y)的大小關(guān)系.解:(1)依題意,ξ=0,1,2,且P(ξ=0)=C20P(ξ=1)=C20P(ξ=2)=C20所以ξ的分布列為ξ012P268019故E(ξ)=1×80177+2×19(2)由題意,易知X服從二項分布X~B1,45,D(X)=45×15=425,Y服從二項分布Y~B1,23,D(Y)=23×13=25.(2023·福建廈門模擬)某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù),為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努力,公司決定在聯(lián)歡晚會后,擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進行獎勵,規(guī)定:每位員工從一個裝有4張獎券的箱子中,一次隨機摸出2張獎券,獎券上所標的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額.(1)若箱子中所裝的4張獎券中有1張面值為80元,其余3張均為40元,試比較員工獲得80元獎勵與獲得120元獎勵的概率的大小;(2)公司對獎勵總額的預(yù)算是6萬元,預(yù)定箱子中所裝的4張獎券有兩種方案:第一種方案是2張面值20元和2張面值100元;第二種方案是2張面值40元和2張面值80元.為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡,請問選擇哪一種方案比較好?并說明理由.解:(1)用X表示員工所獲得的獎勵額.因為P(X=80)=C32C42=12所以P(X=80)=P(X=120).故員工獲得80元獎勵與獲得120元獎勵的概率相等.(2)第一種方案中4張獎券的面值為20,20,100,100,設(shè)員工所獲得的獎勵額為X1,則X1的分布列為X140120200P121所以X1的數(shù)學(xué)期望為E(X1)=40×16+120×23+200×16=120,X1的方差為D(X1)=(40-120)2×16+(120-120)2×23+(200-第二種方案中4張獎券的面值為40,40,80,80,設(shè)員工所獲得的獎勵額為X2,則X2的分布列為X280120160P121所以X2的數(shù)學(xué)期望為E(X2)=80×16+120×23+160×16=120,X2的方差為D(X2)=(80-120)2×16+(120-120)2×23+(160-120)2×16=16003,又因為500E(X1)=500E(X2)=6.(2023·山東德州模擬)教育部門最近出臺了“雙減”政策,即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān),持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)(包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)).“雙減”政策的出臺對校外的培訓(xùn)機構(gòu)經(jīng)濟效益產(chǎn)生了嚴重影響.某大型校外培訓(xùn)機構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險,尋求發(fā)展制定科學(xué)方案,工作人員對2020年的前200名報名學(xué)員消費等情況進行了統(tǒng)計整理,其中消費情況數(shù)據(jù)如表.消費金額/千元[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]人數(shù)305060203010(1)該大型校外培訓(xùn)機構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化課主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移,為了深入了解當前學(xué)生的興趣愛好,工作人員利用分層隨機抽樣的方法在消費金額為[9,11)和[11,13)的學(xué)員中抽取了5人,再從這5人中選取3人進行有獎問卷調(diào)查,求抽取的3人中消費金額為[11,13)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)以頻率估計概率,假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機構(gòu)2020年所有學(xué)員的消費可視為服從正態(tài)分布N(μ,σ2),μ,σ2分別為報名前200名學(xué)員消費的平均數(shù)x以及方差s2(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值替代).(ⅰ)試估計該機構(gòu)學(xué)員2020年消費金額為[5.2,13.6)的概率(保留一位小數(shù));(ⅱ)若從該機構(gòu)2020年所有學(xué)員中隨機抽取4人,記消費金額為[5.2,13.6)的人數(shù)為η,求η的分布列及方差.參考數(shù)據(jù):2≈1.4;若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974.解:(1)由題意得,抽中的5人中消費金額為[9,11)的人數(shù)為25×5=2,消費金額為[11,13)的人數(shù)為35×5=3,設(shè)消費金額為[11,13)的人數(shù)為X,則X=1,2,3,所以P(X=1)=C22C31C53=310,P(X=X123P331則E(X)=1×310+2×35+3×(2)(ⅰ)由題意得μ=x=4×0.15+6×0.25+8×0.3+10×0.1+12×0.15+14×0.05=8,σ2=(4-8)2×0.15+(6-8)2×0.25+(10-8)2×0.1+(12-8)2×0.15+(14-8)2×0.05=8,所以σ=8=22≈2.8,所以P(5.2≤ξ<13.6)≈P(8-2.8≤ξ<