黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)第六中學(xué)校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)第六中學(xué)校2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.2．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20703．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線(xiàn),則與的夾角為0°C.已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1-2an=0,則該數(shù)列為等比數(shù)列D.點(diǎn)(π,0)是函數(shù)y=sinx圖象上一點(diǎn)4．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.5．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的方程是（）A. B.C. D.6．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.87．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“曲線(xiàn)表示圓”的概率為（）A. B.C. D.8．已知拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p=（）A. B.C.1 D.29．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素，現(xiàn)從，兩個(gè)品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數(shù)為 D.品種的中位數(shù)為10．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.11．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則等于（）A. B.C. D.12．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)過(guò)點(diǎn)K(-1，0）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C：y2=4x交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若|BF|=2|AF|，則cos∠AFB=_______14．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為_(kāi)_______15．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則_______16．已知，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某校在全體同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)，進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查．將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時(shí)間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時(shí)間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達(dá)標(biāo)，平均每天體育鍛煉時(shí)間少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉不達(dá)標(biāo)（1）求a的值，并估計(jì)該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)；（2）在樣本中，對(duì)平均每天體育鍛煉時(shí)間不達(dá)標(biāo)的同學(xué)，按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達(dá)標(biāo)的原因，再?gòu)倪@6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行調(diào)研，求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率18．（12分）（1）某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目中選擇，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)選報(bào)100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)均有一人報(bào)名，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同學(xué)爭(zhēng)奪100m、400m、800m三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？19．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（0，2）的距離，與點(diǎn)M到直線(xiàn)l：y＝﹣2的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4.（1）求拋物線(xiàn)E的方程；（2）點(diǎn)A、B為拋物線(xiàn)E上異于原點(diǎn)O的兩不同的點(diǎn)，且滿(mǎn)足.若直線(xiàn)AB與橢圓恒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.22．（10分）已知滿(mǎn)足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和是，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用對(duì)立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.2、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足；所以，.所以.故選：A3、B【解析】四個(gè)選項(xiàng)中需要分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，向量共線(xiàn)的定義，等比數(shù)列的定義以及三角函數(shù)圖像判斷，根據(jù)題意結(jié)合知識(shí)點(diǎn)，即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，由于此對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，并且結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，即可求得結(jié)果，所以是真命題；選項(xiàng)B，向量共線(xiàn)，夾角可能是或，所以是假命題；選項(xiàng)C，將式子變形可得，符合等比數(shù)列定義，所以是真命題；選項(xiàng)D，將點(diǎn)代入解析式，等號(hào)成立，所以是真命題；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判定，根據(jù)題意結(jié)合各知識(shí)點(diǎn)即可判斷真假，需要熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、向量夾角以及三角函數(shù)的基本性質(zhì).4、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因?yàn)椋拭}是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.5、D【解析】由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，從而可求出直線(xiàn)方程【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以設(shè)直線(xiàn)方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，得，所以直線(xiàn)方程為，故選：D6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，故選：B7、D【解析】先求出曲線(xiàn)表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線(xiàn)表示圓，則解得或又所以曲線(xiàn)表示圓的概率為故選：D8、C【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：準(zhǔn)線(xiàn)l與橫軸的交點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知：，因?yàn)槿簟鱉NF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，，顯然，在直角三角形中，，故選：C9、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)比品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數(shù)為與，故C錯(cuò)誤；品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故D正確.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)據(jù)的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，較為基礎(chǔ)10、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線(xiàn)的方程為，到直線(xiàn)的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A11、A【解析】利用等差中項(xiàng)求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)榈?，因此?故選：A.12、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知設(shè)直線(xiàn)方程為與C聯(lián)立，結(jié)合|BF|=2|AF|，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案.【詳解】令直線(xiàn)的方程為將直線(xiàn)方程代入批物線(xiàn)C:的方程，得令且，所以由拋物線(xiàn)的定義知，由|BF|=2|AF|可知，，則，解得：，，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則則.故答案為：14、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：9.15、【解析】代入，展開(kāi)整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.16、【解析】表示出、，根據(jù)題意，列出等式，化簡(jiǎn)整理即可得答案.【詳解】，由題意得，所以整理可得，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），中位數(shù)為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).（2）首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，∴中位數(shù)應(yīng)在之間，令中位數(shù)為，則，解得.∴該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為64.（2）由題設(shè)，抽取6名同學(xué)中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機(jī)抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內(nèi)的共12種，∴這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率為.18、（1）81種；（2）24種；（3）64種【解析】（1）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).（2）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).（3）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).【詳解】（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有（種）報(bào)名方法（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此100m項(xiàng)目有4種選法，400m項(xiàng)目有3種選法，800m項(xiàng)目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有（種）（3）要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線(xiàn)索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有（種）可能的結(jié)果19、（1）x2＝8y（2）16【解析】小問(wèn)1：由拋物線(xiàn)的定義可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；小問(wèn)2：可知直線(xiàn)AB的方程為y＝x+2，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），將直線(xiàn)AB的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出y1+y2的值，利用拋物線(xiàn)的定義可求得|AB|的值.【小問(wèn)1詳解】由題意點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以，則p＝4，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是x2＝8y；【小問(wèn)2詳解】由已知直線(xiàn)AB方程是y＝x+2，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，則y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y(tǒng)1+y2+4＝1620、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)?，由，可?①當(dāng)時(shí)，由可得，由可得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)且時(shí)，由，可得，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，.21、（1）（2）【解析】（1）由焦半徑公式可得，求解即可得答案；（2）由題意，直線(xiàn)AB斜率不為0，設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，由韋達(dá)定理及可得，從而可得直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)E的方程為；【小問(wèn)2