吉林省普通中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題含解析

吉林省普通中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知點(diǎn)分別為圓與圓的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則數(shù)列是（）A.公比為3的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為的等比數(shù)列 D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列4．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)，以PQR為底面作一個(gè)直三棱柱，使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個(gè)直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.5．魯班鎖運(yùn)用了中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，相傳由春秋時(shí)代各國工匠魯班所作，是由六根內(nèi)部有槽的長方形木條，按橫豎立三方向各兩根凹凸相對咬合一起，形成的一個(gè)內(nèi)部卯榫的結(jié)構(gòu)體.魯班鎖的種類各式各樣，千奇百怪.其中以最常見的六根和九根的魯班鎖最為著名.下圖1是經(jīng)典的六根魯班鎖及六個(gè)構(gòu)件的圖片，下圖2是其中的一個(gè)構(gòu)件的三視圖（圖中單位：mm），則此構(gòu)件的表面積為（）A. B.C. D.6．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限的點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或1510．過點(diǎn)（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=011．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿足的的集合為A. B.C. D.12．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．美好人生路車站早上有6：40，6：50兩班開往A校的公交車，若李華同學(xué)在早上6：35至6：50之間隨機(jī)到達(dá)該車站，乘開往A校的公交車，公交車準(zhǔn)時(shí)發(fā)車，則他等車時(shí)間不超過5分鐘的概率為______14．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測設(shè)備．為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備，且，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測覆蓋區(qū)域”，設(shè)．則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________15．已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.16．若，滿足約束條件，則的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分別是的中點(diǎn).將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，且，連接，得到如圖乙所示的四棱錐，M為線段上一點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）過B，C，M三點(diǎn)的平面與線段A'E相交于點(diǎn)N，從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①；②直線與所成角的大小為；③三棱錐的體積是三棱錐體積的注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．（12分）設(shè)：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，滿足，證明.20．（12分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知命題p為“方程沒有實(shí)數(shù)根”，命題q為“”.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若p和q有且只有一個(gè)為真命題，求m的取值范圍.22．（10分）已知等比數(shù)列前3項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對任意恒成立，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時(shí)的取值范圍，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，.故選：B.2、B【解析】先判定兩圓的位置關(guān)系為相離的關(guān)系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.3、D【解析】由得，然后利用與的關(guān)系即可求出【詳解】因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，時(shí)，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點(diǎn)睛】要注意由求要分兩步：1.時(shí)，2.時(shí).4、C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點(diǎn)，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C5、B【解析】由三視圖可知，該構(gòu)件是長為100，寬為20，高為20的長方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長為40，寬為20，高為10的小長方體的一個(gè)幾何體，進(jìn)而求出表面積即可.【詳解】由三視圖可知，該構(gòu)件是長為100，寬為20，高為20的長方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長為40，寬為20，高為10的小長方體的一個(gè)幾何體，如下圖所示，其表面積為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的表面積的求法，考查三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.6、A【解析】先計(jì)算兩圓心之間的距離，判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，兩圓心之間的距離，故兩圓內(nèi)切.故選：A.7、C【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的斜率，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，，則，可得，則，所以點(diǎn)，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.8、D【解析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D9、D【解析】利用點(diǎn)到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.10、A【解析】設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法得到結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，將點(diǎn)代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設(shè)為11、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進(jìn)而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因?yàn)閒′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因?yàn)閒(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題12、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達(dá)，進(jìn)而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】由題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達(dá)，則所求概率.故答案為：.14、【解析】由題意，根據(jù)余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當(dāng)時(shí)，取最大值，所以“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得為增函數(shù)，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，得出即在點(diǎn)處的切線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解【詳解】由題意，點(diǎn)在曲線上，可得，又由函數(shù)，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，因?yàn)?，所以，即在點(diǎn)處的切線的斜率為2，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力16、【解析】作出線性約束條件的可行域，再利用截距的幾何意義求最小值；【詳解】約束條件的可行域，如圖所示：目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最小值，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得證；（2）分別選①，②，③可求得為的中點(diǎn)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量求得所求的線面角.【小問1詳解】分別為的中點(diǎn)，.，，.，，平面.又平面，∴平面平面.【小問2詳解】（2）選①，；，，，，為的中點(diǎn).選②，直線與所成角的大小為；，∴直線與所成角為.又直線與所成角的大小為，，，為的中點(diǎn).選③，三棱錐的體積是三棱錐體積的，又，即，為的中點(diǎn).∵過三點(diǎn)的平面與線段相交于點(diǎn)平面，平面.又平面平面，，為的中點(diǎn).兩兩互相垂直，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則；.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，直線與平面所成的角為.由，得.令，得.則.∴直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）（2）【解析】（1）解不等式得到解集，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍；（2）先解不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，進(jìn)而求出的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，由可得：，因?yàn)椤?，”為真命題，所以，即，解得：.即的取值范圍是.【小問2詳解】因?yàn)椋煽傻茫?，，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，所以（等號(hào)不同時(shí)?。?，解得：，即的取值范圍是.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間,無遞減區(qū)間；（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而判斷其正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得到，進(jìn)而變形為，然后換元令，將證明的問題轉(zhuǎn)換為成立的問題，從而構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，求其最值，進(jìn)而證明不等式成立.【小問1詳解】時(shí)，，,令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，則，故是單調(diào)遞增函數(shù)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，滿足,即，所以，則，令，由于，則，則x2=tx故，要證明，只需證明，即證，設(shè)，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在時(shí)為增函數(shù)，故，即，所以在時(shí)為增函數(shù)，即，即，故，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及涉及到零點(diǎn)的不等式的證明問題，解答時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)極值或最值，解答的關(guān)鍵時(shí)對函數(shù)式或者不等式進(jìn)行合理的變形，進(jìn)而能構(gòu)造新的函數(shù)，利用新的函數(shù)的單調(diào)性或最值達(dá)到證明不等式成立的目的m.20、（1）（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（2）計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，則，故，因?yàn)槠矫?，平面，則，若，則，故、、、，則，，.因此，若，則與所成角的余弦值為.【小問2詳解】解：若，則、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）方程無根，利用根的判別式小于0求出m的取值范圍；（2）和有且只有一個(gè)為真命題，