小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練-工程問題

小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練----工程問題一、知識講解在日常生活中，做某一件事、制造某種產(chǎn)品、完成某項(xiàng)任務(wù)、完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”。在分析解答工程問題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間。當(dāng)工作總量沒有具體給出或者不需要給出時(shí)，一般的思路：①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時(shí)間。在解答工程問題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：1．有的工程問題，工作效率往往隱藏在條件中，工作過程也較為復(fù)雜，解題時(shí)要細(xì)心辨析，層層梳理工作過程、靈活運(yùn)用基本數(shù)量關(guān)系。2．涉及到具體數(shù)量的工程問題，關(guān)鍵要找到已知的具體數(shù)量與對應(yīng)分率之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題來解答。3．對一些有循環(huán)周期的工程問題，要注意弄清一個(gè)周期的工作量，還要注意最后不滿一個(gè)周期的部分所需的工作時(shí)間。4.水管工程問題，注水量或排水量就是工作量，單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率，水管工程問題與一般工程問題的解題思路基本相同。解題時(shí)可以借鑒牛吃草問題的解題思路。二、例題解析例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？分析：設(shè)這項(xiàng)工程為單位“1”，則甲乙合作的工作效率是1/12，乙丙合作的工作效率為1/15，甲丙合作的工作效率為1/20。因此甲乙丙三隊(duì)合作的工作效率的兩倍為1/12＋1/15＋1/20，所以甲乙丙三隊(duì)合作的工作效率為（1/12＋1/15＋1/20）÷2＝1/10。因此三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為1÷1/10＝10（天）。我們通常把工作總量“一項(xiàng)工程”看成單位“1”。工作效率=工作量÷工作時(shí)間=1÷工作時(shí)間，即工作時(shí)間的倒數(shù)。如例1中甲乙兩隊(duì)合作的工作時(shí)間為12天，那么工作效率為1/12，它表示甲乙兩隊(duì)一天完成全部工程的1/12。例2甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。審清題意，靈活改編，可以把復(fù)雜的、不熟悉的轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的題型，問題也就迎刃而解了。例3師徒兩人共加工零件168個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用9分鐘，完成任務(wù)時(shí)，兩人各加工零件多少個(gè)？分析：師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，工作效率是每分鐘加工1/5個(gè)零件；徒弟加工一個(gè)零件用9分鐘，工作效率是每分鐘加工1/9個(gè)零件。師徒兩人工作效率的比是1/5：1/9，由于兩人的工作時(shí)間一定，根據(jù)工作量÷工作效率＝工作時(shí)間（一定），工作量與工作效率成正比例。168－x＝168－108＝60（個(gè)）．答：師傅加工108個(gè)，徒弟加工60個(gè)．解法2：由于師徒工作效率的比是1/5：1/9，那么他們工作量的比也是1/5：1/9，因此師傅工作量是徒弟工作量的1/5÷1/9＝9/5倍，徒弟的工作量是單位1。徒弟加工的個(gè)數(shù)：168÷（1/5÷1/9＋1）＝168÷14/5＝60個(gè)師傅加工的個(gè)數(shù)：60×（1/5÷1/9）＝108個(gè)解法3：師傅每分鐘加工1/5個(gè)，徒弟每分鐘加工1/9個(gè)，合作的工作效率就是：1/5＋1/9，工作時(shí)間=工作量÷工作效率，師徒各自加工的個(gè)數(shù)，即工作量，等于各自的工作效率乘以工作時(shí)間。在工程問題中，工作量一定時(shí)工作時(shí)間和工作效率成反比，工作效率一定時(shí)工作量與工作時(shí)間成正比，工作時(shí)間一定時(shí)工作量與工作效率成正比。利用工程問題中三個(gè)基本數(shù)量之間的比例關(guān)系，從比例的角度思考，可以拓寬工程問題的解題思路，使解題方法更加靈活，適用。例4洗衣機(jī)廠計(jì)劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺，生產(chǎn)5天后由于改進(jìn)技術(shù)，效率提高25％，完成計(jì)劃還要多少天？分析：這是一道從比例角度求解的工程問題，工作效率和工作時(shí)間是變量，不變量是計(jì)劃生產(chǎn)5天后剩下的臺數(shù)．從工作效率來看，有原來的效率1600÷20＝80臺/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100臺/天．從工作時(shí)間上看，有原來計(jì)劃的天數(shù)，要求工作效率提高后還需要的天數(shù)．根據(jù)工作效率和工作時(shí)間成反比例的關(guān)系，得：提高后的效率×所需天數(shù)＝剩下的臺數(shù)．解法2：此題還可以轉(zhuǎn)化成正比例。根據(jù)實(shí)際效率是原來效率的1＋25％＝1.25倍，把原來效率看作單位“1”，實(shí)際和原來效率之比是5：4，因?yàn)楣ぷ餍屎凸ぷ鲿r(shí)間成反比例，所以實(shí)際與原來所需時(shí)間的比是4∶5，如果設(shè)實(shí)際還需要x天，原來計(jì)劃的天數(shù)是20－5＝15天，根據(jù)實(shí)際與原來時(shí)間的比等于實(shí)際天數(shù)與原來天數(shù)的比，可以用正比例解答．解法3：（按工程問題解）設(shè)完成計(jì)劃還需x天。1/20×（1＋25％）×x＝1－1/20×51/16×x＝1－1/4x＝12對比三種解法可以發(fā)現(xiàn)：解決工程問題的關(guān)鍵就是確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。有些工程問題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，可以考慮列方程求解，思路更加簡潔。例5蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙丁兩條排水管．要灌滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)，要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí)．現(xiàn)在池內(nèi)有1/6池水．如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙…的順序，輪流各開一小時(shí)，多少時(shí)間后水開始溢出水池？分析：把水池的容積（即工作量）看作單位“1”，甲、乙、丙、丁的工作效率分別為1/3、1/4、1/5、1/6；可以先求按甲、乙、丙、丁的順序，輪流各開一小時(shí)（即一個(gè)周期）水池進(jìn)水多少；再求多少時(shí)間后水開始溢出水池；由此解答即可．池中已有水量為1/6，且空出1/3的容積：（1－1/6－1/3）÷7/60＝4又2/7即需要5個(gè)周期后水池的水量才能達(dá)到2/3，。第6個(gè)周期的進(jìn)水量情況：需要注入水量：1－1/6－5×7/60＝1/4甲管還需要注水時(shí)間：1/4÷1/3＝3/4（小時(shí)）所以，從開始到水溢出共需時(shí)間：4×5＋3/4＝20又3/4（小時(shí)）答：20又3/4小時(shí)后水開始溢出水池。周期工程問題中，工作時(shí)工作人員（或物體）是按一定順序輪流交替工作的。解答時(shí)，首先要弄清一個(gè)循環(huán)周期中的工作量、各個(gè)工作成員獨(dú)自的工作量即工作交替順序，再利用周期規(guī)律，使復(fù)雜疑難問題變得簡單明了。其次要注意算清最后不滿一個(gè)周期的工作量及所需的工作時(shí)間，從而正確解答。三、鞏固練習(xí)（一）選擇題1．一個(gè)水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管。單開甲管1/6小時(shí)能注滿水池，單開乙管1/10小時(shí)能注滿水池。如果甲、乙兩管同時(shí)開啟，多少分鐘后水池還有1/5尚未注滿？（）A.2B.3C.4D.52．一份稿件，甲、乙、丙三人單獨(dú)打字需要的時(shí)間分別是20小時(shí)、24小時(shí)、30小時(shí)，現(xiàn)在三人合打，但甲因中途另有任務(wù)提前撤出，結(jié)果用12小時(shí)完成，甲只打了多少小時(shí)？（）A.2B.3C.4D.5（二）填空題1.一項(xiàng)工作，甲乙兩隊(duì)合作9天完成，乙丙兩隊(duì)合作12天完成，甲丙兩隊(duì)合作需18天完成，現(xiàn)在三隊(duì)合作需天完成.2.輪船以相同的速度航行，從A城到B城需3晝夜，從B城到A城需4晝夜。小筏從A城漂流到B城，需要晝夜.3．修一條路，甲隊(duì)每天修6小時(shí)，4天可以完成；乙隊(duì)每天修8小時(shí)，5天可以完成?，F(xiàn)在讓甲、乙兩隊(duì)合修，要求2天完成，每天應(yīng)修小時(shí).4．某水池可以用甲、乙兩水管注水，單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿。現(xiàn)在規(guī)定10小時(shí)內(nèi)必須注滿水池，那么甲、乙兩管同時(shí)注水時(shí)間至少要小時(shí).5．一段布，可以做30件上衣，也可做48條褲子。如果先做20件上衣后，還可以做條褲子（三）解答題1、修一條路，甲隊(duì)每天修8小時(shí)，5天完成；乙隊(duì)每天修10小時(shí)，6天完成。兩隊(duì)合作，每天工作6小時(shí)，幾天可以完成？2、一件工作，甲獨(dú)做要20天完成，乙獨(dú)做要12天完成。這件工作先由甲做了若干天，然后由乙繼續(xù)做完，從開始到完工共用了14天。這件工作由甲先做了幾天？3.有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？4．一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空？5．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分配8400元工資．按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率，乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲5040元．實(shí)際從第5天開始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲隊(duì)最終可比原計(jì)劃多獲得960元．那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天?鞏固練習(xí)答案：（一）選擇：1.B（1－1/5）÷（1/10＋1/6）＝3（分鐘）2.A[1－（1/24＋1/30）×12]÷1/20＝2（天）（二）填空；1.81÷[（1/9+1/12+1/18）÷2]=8(天)2.6.1÷（）÷2=6（晝夜）3.7.51÷（EQ\F(1,4×6)+EQ\F(1,8×5)）÷2＝7.5小時(shí)4.4（1－10×1/12）÷1/24＝4（小時(shí)）5.16 48－48÷30×20＝16條（三）解答：1、解：把前兩個(gè)條件綜合為“甲隊(duì)40小時(shí)完成”，后兩個(gè)條件綜合為“乙隊(duì)60小時(shí)完成”。則1÷[15×8+110×6]÷6=4（天）或1÷[（15×8+110×6）×6]=4（天）答：4天可以完成。解法二：假設(shè)這14天都由乙來做，那么完成的工作量就是EQ\F(1,12)×14，比總工作量多了EQ\F(1,12)×14-1=EQ\F(1,6)，乙每天的能夠做量比甲每天的工作兩哦了EQ\F(1,12)-EQ\F(1,20)=EQ\F(1,30)，因此甲做了EQ\F(1,6)÷EQ\F(1,30)=5（天）3、解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.4、解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4×60=240（立方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8×8×90，其中90分鐘內(nèi)流入水量是4×90，因此原來水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分鐘）.所以打開13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的