線性測量系統(tǒng)測量結果的不確定度分析

線性測量系統(tǒng)測量結果的不確定度分析

每個設備的性能指標在評估結果時都不確定。一般來說，不確定度的大小與所使用的評價設備、評價方法、評價條件和評價設備指標之間的關系。對于具體指標的評估，確定影響評估結果的所有主要因素的評價結果的不確定性以及影響評價結果的不確定性以及這些因素之間的精確關系，是建立和實施計量標準時必須解決的問題。線性度評估也是如此。采用端基線性法評估線性度，也是一種模型測量的方法。它在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)等數(shù)字線性測量系統(tǒng)的線性度評估中得到了廣泛應用。同時，本文中討論的主要內容不僅是使用端基線性法評估線性度的誤差和來源，還是該方法線性度評估結果的不確定性。1測量原理與方法如圖1所示,在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的測量范圍(EL,EH)內,數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是線性系統(tǒng),假設其輸入E和輸出y關系滿足公式式中:G0為通道直流增益;D0為通道的直流偏移.給測量通道依次輸入符合公式(2)的信號Ei(i=1,…,m):EL＜E1＜E2＜?＜Ei＜?＜Em＜EΗ(i=1,2,?,m),(2)式中:EL為通道的測量范圍下限;EH為通道的測量范圍上限;量程Er=|EH-EL|.分別用對應Ei的采集數(shù)據(jù)yij(j=1,…,n).按式(3)計算各平均值測量值yij的實驗方差均值ˉyi的實驗方差與上述理想公式(1)的關系相比,實際中使用經過(E1,ˉy1)和(Em,ˉym)兩個測量端點的直線作為基準直線,稱為端基直線,它所對應的G和D分別為G=ˉym-ˉy1Em-E1;(4)D=Em?ˉy1-E1?ˉymEm-E1.(5)其它測量點與端基直線間的偏差,作為非線性誤差,則非線性誤差Li=ˉyi-G?Ei-DG?Er=ˉyi(Em-E1)-Emˉy1+E1ˉym(ˉym-ˉy1)Er-EiEr(i=2,...,m-1),(6)線性度L=Lmax=max|ˉyj-G?Ej-DG?Er|j=2,?,m-1.(7)2靈敏度系數(shù)測量值從式(6),式(7)可見,線性度L的測量不確定度u(L)的主要來源:1)直流標準信號Ei的不確定度u(Ei);2)被校系統(tǒng)測量過程引入的不確定度u(ˉyi).這一分量主要包含兩部分內容:Ei的測量重復性引入的不確定度u1(ˉyi);被校系統(tǒng)分辨力(A/D位數(shù))引入的不確定度u2(ˉyi).顯然,兩者不相關.u(ˉyi)=√u21(ˉyi)+u22(ˉyi).由式(7)得設L=Lj,則:①當Lj>0時,由式(7)得靈敏系數(shù)cL(E1)=?L?E1=?Lj?E1=ˉym-ˉyj(ˉym-ˉy1)Er;(9)cL(Ej)=?L?Ej=?Lj?Ej=-1Er;(10)cL(Ei)=?L?Ei=?Lj?Ei|i≠j=0;(11)cL(Em)=?L?Em=?Lj?Em=ˉyj-ˉy1(ˉym-ˉy1)Er;(12)cL(ˉy1)=?L?ˉy1=?Lj?ˉy1=(ˉyj-ˉym)(Em-E1)(ˉym-ˉy1)2Er;(13)cL(ˉyj)=?L?ˉyj=?Lj?ˉyj=Em-E1(ˉym-ˉy1)Er;(14)cL(ˉyi)=?L?ˉyi=?Lj?ˉyi|i≠j=0;(15)cL(ˉym)=?L?ˉym=?Lj?ˉym=(ˉy1-ˉyj)(Em-E1)(ˉym-ˉy1)2Er.(16)②當Lj<0時,由式(7)得靈敏系數(shù)cL(Ei)=?L?Ei=-?Lj?Ei;cL(ˉyi)=?L?ˉyi=-?Lj?ˉyi.測量值y=f(x1,x2,…xN)對于輸入Xi的測量值xi(i≠j,則Xi≠Xj)的不確定度傳遞公式為式中:xi為輸入Xi的測量值;xj為輸入Xj的測量值,(i≠j,則Xi≠Xj);u(xi)為xi的標準不確定度;u(xj)為xj的標準不確定度,(i≠j);u(xi,xj)為xi,xj的協(xié)方差估計值,(i≠j);r(xi,xj)為xi,xj的相關系數(shù)估計值,(i≠j).本檢定裝置測量過程中,對于相關系數(shù)的估計值,當(i≠j)時,顯然有:r(Ei,Ej)=0;不同的輸入值之間不相關;r(ˉyi,ˉyj)=0;不同的測量值之間可以認為是不相關;r(Ei,ˉyi)=r(ˉyi,Ei)=1?(i=1,?,m);測量值與其輸入值之間可以認為是完全相關;則有線性度L的合成標準不確定度其有效自由度veff=m-(獨立變量個數(shù))=m-3.3a/d級數(shù)v,v以TDS784D數(shù)字存儲示波器為被校系統(tǒng),其測量范圍設為(EL,EH)=(-5V,5V),A/D位數(shù)為b=8;則,校準儀器的輸入值Ei按公式(2)給出并列表如表1所示,各輸入值Ei的允許誤差極限±Δi由標準儀器說明書獲得,對應的被校系統(tǒng)測量值的平均值ˉyi均值方差s2(ˉyi)和不確定度u(yˉi)可相應獲得,如表1所示.1誤差區(qū)間半寬度B類評價方法獲得.假設信號Ei的誤差在其允許誤差極限[-Δi-,+Δi+]內服從均勻分布,則誤差區(qū)間半寬度ai=(Δi+-Δi-)/2,Ei的不確定度u(Ei)=ai/3.Δi+與Δi-由說明書可知,如表2所示.2a/d個數(shù)va/d級數(shù)v類評價方法獲得,在測量點Ei上有u1(yˉi)=s(yˉi).由系統(tǒng)測量范圍(EL,EH)=(-5V,5V),A/D位數(shù)為b=8;得量化誤差為LSB=(EH-EL)/2b=3.90625×10-2V,設分辨力造成的誤差在(-0.5×LSB,0.5×LSB)內服從均勻分布,則a=0.5×LSB=1.953125×10-2V?u2(yˉi)=a/3=1.127670×10-2V,由u1(yˉi),u2(yˉi)合成u(yˉi).4線性度的合成不確定度u根據(jù)表2數(shù)據(jù),由式(4),式(5)可得直流增益和直流偏移的最小二乘估計值為:G=1.0026;D=0.110V.由式(6),式(7)可得線性度的估計值為:L=7.3×10-4,j=5.由式(13)～(16)可得各靈敏系數(shù)如表3所示.由表2和表3所示的數(shù)據(jù),由式(19)計算出線性度的合成標準不確定度其有效自由度veff=m-3=13.特別是,當測量系統(tǒng)理想時,其不確定度為u(yˉi)=0,則僅由信號源帶來的線性度的合成標準不確定度為它們代表了檢定裝置評價線性度指標的能力極限.5擴展不確定度u令置信概率P=95%,由有效自由度veff=13,查t分布表,得包含因子k=tp(veff)=t0.95(14)=2.16,則擴展不確定度U(L)=k×uc(L)=2.16×1.44×10-3=3.1×10-3.6目標函數(shù)端基直線法獲得的端基線性度:L0=L±U(L)=7.3×10-4±3.1×10-3(k=2.16,P=95%);其中,擴展不確定度U(L)的包含因子為k=2.16,是由有效自由度veff=13,置信概率P=95%,由t分布表查得.7信號源、被校設備、相關性的測量不確定度由上述過程可見,使用模型化測量方法評價儀器設備的線性度指標,屬于間接測量法,其測量不確定度分析較為復雜,影響評價結果的因素較多,涉及信號源、被校設備、相關性等等.尤其是信號源提供的信號量綱與被評價參數(shù)的量綱不一致時,更是如此.