線(xiàn)性測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果的不確定度分析

線(xiàn)性測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果的不確定度分析

每個(gè)設(shè)備的性能指標(biāo)在評(píng)估結(jié)果時(shí)都不確定。一般來(lái)說(shuō)，不確定度的大小與所使用的評(píng)價(jià)設(shè)備、評(píng)價(jià)方法、評(píng)價(jià)條件和評(píng)價(jià)設(shè)備指標(biāo)之間的關(guān)系。對(duì)于具體指標(biāo)的評(píng)估，確定影響評(píng)估結(jié)果的所有主要因素的評(píng)價(jià)結(jié)果的不確定性以及影響評(píng)價(jià)結(jié)果的不確定性以及這些因素之間的精確關(guān)系，是建立和實(shí)施計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)必須解決的問(wèn)題。線(xiàn)性度評(píng)估也是如此。采用端基線(xiàn)性法評(píng)估線(xiàn)性度，也是一種模型測(cè)量的方法。它在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)等數(shù)字線(xiàn)性測(cè)量系統(tǒng)的線(xiàn)性度評(píng)估中得到了廣泛應(yīng)用。同時(shí)，本文中討論的主要內(nèi)容不僅是使用端基線(xiàn)性法評(píng)估線(xiàn)性度的誤差和來(lái)源，還是該方法線(xiàn)性度評(píng)估結(jié)果的不確定性。1測(cè)量原理與方法如圖1所示,在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的測(cè)量范圍(EL,EH)內(nèi),數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是線(xiàn)性系統(tǒng),假設(shè)其輸入E和輸出y關(guān)系滿(mǎn)足公式式中:G0為通道直流增益;D0為通道的直流偏移.給測(cè)量通道依次輸入符合公式(2)的信號(hào)Ei(i=1,…,m):EL＜E1＜E2＜?＜Ei＜?＜Em＜EΗ(i=1,2,?,m),(2)式中:EL為通道的測(cè)量范圍下限;EH為通道的測(cè)量范圍上限;量程Er=|EH-EL|.分別用對(duì)應(yīng)Ei的采集數(shù)據(jù)yij(j=1,…,n).按式(3)計(jì)算各平均值測(cè)量值yij的實(shí)驗(yàn)方差均值ˉyi的實(shí)驗(yàn)方差與上述理想公式(1)的關(guān)系相比,實(shí)際中使用經(jīng)過(guò)(E1,ˉy1)和(Em,ˉym)兩個(gè)測(cè)量端點(diǎn)的直線(xiàn)作為基準(zhǔn)直線(xiàn),稱(chēng)為端基直線(xiàn),它所對(duì)應(yīng)的G和D分別為G=ˉym-ˉy1Em-E1;(4)D=Em?ˉy1-E1?ˉymEm-E1.(5)其它測(cè)量點(diǎn)與端基直線(xiàn)間的偏差,作為非線(xiàn)性誤差,則非線(xiàn)性誤差Li=ˉyi-G?Ei-DG?Er=ˉyi(Em-E1)-Emˉy1+E1ˉym(ˉym-ˉy1)Er-EiEr(i=2,...,m-1),(6)線(xiàn)性度L=Lmax=max|ˉyj-G?Ej-DG?Er|j=2,?,m-1.(7)2靈敏度系數(shù)測(cè)量值從式(6),式(7)可見(jiàn),線(xiàn)性度L的測(cè)量不確定度u(L)的主要來(lái)源:1)直流標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)Ei的不確定度u(Ei);2)被校系統(tǒng)測(cè)量過(guò)程引入的不確定度u(ˉyi).這一分量主要包含兩部分內(nèi)容:Ei的測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度u1(ˉyi);被校系統(tǒng)分辨力(A/D位數(shù))引入的不確定度u2(ˉyi).顯然,兩者不相關(guān).u(ˉyi)=√u21(ˉyi)+u22(ˉyi).由式(7)得設(shè)L=Lj,則:①當(dāng)Lj>0時(shí),由式(7)得靈敏系數(shù)cL(E1)=?L?E1=?Lj?E1=ˉym-ˉyj(ˉym-ˉy1)Er;(9)cL(Ej)=?L?Ej=?Lj?Ej=-1Er;(10)cL(Ei)=?L?Ei=?Lj?Ei|i≠j=0;(11)cL(Em)=?L?Em=?Lj?Em=ˉyj-ˉy1(ˉym-ˉy1)Er;(12)cL(ˉy1)=?L?ˉy1=?Lj?ˉy1=(ˉyj-ˉym)(Em-E1)(ˉym-ˉy1)2Er;(13)cL(ˉyj)=?L?ˉyj=?Lj?ˉyj=Em-E1(ˉym-ˉy1)Er;(14)cL(ˉyi)=?L?ˉyi=?Lj?ˉyi|i≠j=0;(15)cL(ˉym)=?L?ˉym=?Lj?ˉym=(ˉy1-ˉyj)(Em-E1)(ˉym-ˉy1)2Er.(16)②當(dāng)Lj<0時(shí),由式(7)得靈敏系數(shù)cL(Ei)=?L?Ei=-?Lj?Ei;cL(ˉyi)=?L?ˉyi=-?Lj?ˉyi.測(cè)量值y=f(x1,x2,…xN)對(duì)于輸入Xi的測(cè)量值xi(i≠j,則Xi≠Xj)的不確定度傳遞公式為式中:xi為輸入Xi的測(cè)量值;xj為輸入Xj的測(cè)量值,(i≠j,則Xi≠Xj);u(xi)為xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度;u(xj)為xj的標(biāo)準(zhǔn)不確定度,(i≠j);u(xi,xj)為xi,xj的協(xié)方差估計(jì)值,(i≠j);r(xi,xj)為xi,xj的相關(guān)系數(shù)估計(jì)值,(i≠j).本檢定裝置測(cè)量過(guò)程中,對(duì)于相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值,當(dāng)(i≠j)時(shí),顯然有:r(Ei,Ej)=0;不同的輸入值之間不相關(guān);r(ˉyi,ˉyj)=0;不同的測(cè)量值之間可以認(rèn)為是不相關(guān);r(Ei,ˉyi)=r(ˉyi,Ei)=1?(i=1,?,m);測(cè)量值與其輸入值之間可以認(rèn)為是完全相關(guān);則有線(xiàn)性度L的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度其有效自由度veff=m-(獨(dú)立變量個(gè)數(shù))=m-3.3a/d級(jí)數(shù)v,v以TDS784D數(shù)字存儲(chǔ)示波器為被校系統(tǒng),其測(cè)量范圍設(shè)為(EL,EH)=(-5V,5V),A/D位數(shù)為b=8;則,校準(zhǔn)儀器的輸入值Ei按公式(2)給出并列表如表1所示,各輸入值Ei的允許誤差極限±Δi由標(biāo)準(zhǔn)儀器說(shuō)明書(shū)獲得,對(duì)應(yīng)的被校系統(tǒng)測(cè)量值的平均值ˉyi均值方差s2(ˉyi)和不確定度u(yˉi)可相應(yīng)獲得,如表1所示.1誤差區(qū)間半寬度B類(lèi)評(píng)價(jià)方法獲得.假設(shè)信號(hào)Ei的誤差在其允許誤差極限[-Δi-,+Δi+]內(nèi)服從均勻分布,則誤差區(qū)間半寬度ai=(Δi+-Δi-)/2,Ei的不確定度u(Ei)=ai/3.Δi+與Δi-由說(shuō)明書(shū)可知,如表2所示.2a/d個(gè)數(shù)va/d級(jí)數(shù)v類(lèi)評(píng)價(jià)方法獲得,在測(cè)量點(diǎn)Ei上有u1(yˉi)=s(yˉi).由系統(tǒng)測(cè)量范圍(EL,EH)=(-5V,5V),A/D位數(shù)為b=8;得量化誤差為L(zhǎng)SB=(EH-EL)/2b=3.90625×10-2V,設(shè)分辨力造成的誤差在(-0.5×LSB,0.5×LSB)內(nèi)服從均勻分布,則a=0.5×LSB=1.953125×10-2V?u2(yˉi)=a/3=1.127670×10-2V,由u1(yˉi),u2(yˉi)合成u(yˉi).4線(xiàn)性度的合成不確定度u根據(jù)表2數(shù)據(jù),由式(4),式(5)可得直流增益和直流偏移的最小二乘估計(jì)值為:G=1.0026;D=0.110V.由式(6),式(7)可得線(xiàn)性度的估計(jì)值為:L=7.3×10-4,j=5.由式(13)～(16)可得各靈敏系數(shù)如表3所示.由表2和表3所示的數(shù)據(jù),由式(19)計(jì)算出線(xiàn)性度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度其有效自由度veff=m-3=13.特別是,當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)理想時(shí),其不確定度為u(yˉi)=0,則僅由信號(hào)源帶來(lái)的線(xiàn)性度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為它們代表了檢定裝置評(píng)價(jià)線(xiàn)性度指標(biāo)的能力極限.5擴(kuò)展不確定度u令置信概率P=95%,由有效自由度veff=13,查t分布表,得包含因子k=tp(veff)=t0.95(14)=2.16,則擴(kuò)展不確定度U(L)=k×uc(L)=2.16×1.44×10-3=3.1×10-3.6目標(biāo)函數(shù)端基直線(xiàn)法獲得的端基線(xiàn)性度:L0=L±U(L)=7.3×10-4±3.1×10-3(k=2.16,P=95%);其中,擴(kuò)展不確定度U(L)的包含因子為k=2.16,是由有效自由度veff=13,置信概率P=95%,由t分布表查得.7信號(hào)源、被校設(shè)備、相關(guān)性的測(cè)量不確定度由上述過(guò)程可見(jiàn),使用模型化測(cè)量方法評(píng)價(jià)儀器設(shè)備的線(xiàn)性度指標(biāo),屬于間接測(cè)量法,其測(cè)量不確定度分析較為復(fù)雜,影響評(píng)價(jià)結(jié)果的因素較多,涉及信號(hào)源、被校設(shè)備、相關(guān)性等等.尤其是信號(hào)源提供的信號(hào)量綱與被評(píng)價(jià)參數(shù)的量綱不一致時(shí),更是如此.