2022學(xué)年舟山中學(xué)第二學(xué)期高一5月月考數(shù)學(xué)試題卷【含答案】

2022學(xué)年舟山中學(xué)第二學(xué)期高一5月月考數(shù)學(xué)試題卷?、單選題（共8題，每題5分，共40分）1．若，則復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是（）A．， B．， C．， 黨．，B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是、故選:B2．已知，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 黨．若，，，則A【分析】根據(jù)線面、面面及線線關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，，可將平移至相交直線，由公理3推論2，確定一個(gè)平面，由線面垂直的性質(zhì)可得的交線垂直于平面，進(jìn)而得到垂直于和的交線，且和的交線與或其平行線能?chē)删匦?，由面面垂直的定義，可得，則A正確;對(duì)于B，若，，，當(dāng)都平行于的交線，則條件滿足，則相交成立，則B錯(cuò);對(duì)于C，若，，，則可能平行、可能異面、可能相交，所以C錯(cuò);對(duì)于黨，若，，，則可能平行、可能異面、可能相交，所以黨錯(cuò).故選:A.3．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則（）A．4 B．6 C． 黨．C【分析】由條件，利用正弦定理化邊為角可求，再結(jié)合正弦定理求.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，所以，所以，可化為，又，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以，?故選:C.4．已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． 黨．B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則有，，，則，所以，當(dāng)，時(shí)取得最小值.故選:B5．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述:“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個(gè)圓臺(tái)形狀的建筑物，下底面周長(zhǎng)為三丈，上底面周長(zhǎng)為二丈，高為一丈”，則該圓臺(tái)的側(cè)面積（單位:平方丈）為（）A． B． C． 黨．B【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，由已知周長(zhǎng)求得和，代入圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，可得，可得，又由圓臺(tái)的高為1丈，可得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選:B.6．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段事件內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志是“連續(xù)日，每天新增疑似病例不超過(guò)人”．過(guò)去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下:甲地:總體平均數(shù)為，中位數(shù)為;

乙地:總體平均數(shù)為，總體方差大于;丙地:中位數(shù)為，眾數(shù)為;

丁地:總體平均數(shù)為，總體方差為．則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（

）A．甲地 B．乙地 C．丙地 黨．丁地黨【分析】通過(guò)反例可知甲乙丙三地均不符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，假設(shè)丁地某天數(shù)據(jù)為，結(jié)合平均數(shù)可知方差必大于，由此知丁地沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染.【詳解】對(duì)于甲地，若連續(xù)日的數(shù)據(jù)為，則滿足平均數(shù)為，中位數(shù)為，但不符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，A錯(cuò)誤;對(duì)于乙地，若連續(xù)日的數(shù)據(jù)為，則滿足平均數(shù)為，方差大于，但不符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，B錯(cuò)誤;對(duì)于丙地，若連續(xù)日的數(shù)據(jù)為，則滿足中位數(shù)為，眾數(shù)為，但不符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，C錯(cuò)誤;對(duì)于丁地，若總體平均數(shù)為，假設(shè)有一天數(shù)據(jù)為人，則方差，不可能總體方差為，則不可能有一天數(shù)據(jù)超過(guò)人，符合沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，黨正確.故選:黨.7．如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． 黨．A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選:A．8．已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)，則最大值為（）A．13 B． C．5 黨．A【分析】建立直角坐標(biāo)系，可以表示出的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)，即可用與表示出，即可求出答案.【詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，則故當(dāng)時(shí)，有最大值為13故選:A.?、多選題（共4題，每題有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全對(duì)得5分，漏選得2分，選錯(cuò)不得分）9．已知a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則C．若，，，則有一解黨．若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則是直角三角形A黨【分析】A由正弦定理邊角關(guān)系判斷;B向量數(shù)量積的定義求;C利用正弦定理解三角形求角C判斷;黨由已知可得，由其幾何意義可知邊上的中線長(zhǎng)等于的一半，即可判斷.【詳解】A:由，又，即，故，正確;B:由已知，錯(cuò)誤;C:由，則，而，故或，錯(cuò)誤;黨:由、、，故，所以在中邊上的中線長(zhǎng)等于的一半，即是為直角的直角三角形，正確.故選:A黨10．在平行六面體中，，，，以下選項(xiàng)正確的是（）A．平行六面體的體積為 B．異面直線與所成角的正弦值為C．面 黨．二面角的余弦值為AB黨【分析】對(duì)A，連接，交于，進(jìn)而根據(jù)勾股定理余弦定理結(jié)合幾何性質(zhì)可得各線段長(zhǎng)，再根據(jù)線面垂直的判定可得平面，進(jìn)而根據(jù)柱體體積公式求解即可;對(duì)B，可得為異面直線與所成角，利用銳角三角函數(shù)及二倍角公式計(jì)算可得;對(duì)C，由B可知與不垂直，則與不垂直，推出矛盾，對(duì)黨，作于，可得二面角即，再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】對(duì)于A，連接，交于，則為，中點(diǎn)，又由，可得為正三角形，故.又，，故，故，故，又，故，.故，則，又，，平面，故平面故平行六面體的體積為，故A正確;對(duì)于B，因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成角，因?yàn)?，且，所以為等腰三角形，則，所以，故，所以異面直線與所成角的正弦值為，故B正確;對(duì)于C，因?yàn)?，所以與不垂直，又，所以與不垂直，又面，故面不成立，故C錯(cuò)誤;對(duì)于黨，由，故.作于，連接，由全等性質(zhì)可得，又，平面，則平面，則二面角的平面角為.又，，故，即二面角的余弦值為，故黨正確;故選:AB黨.11．設(shè)、、是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則或 B．若且，則C．若，則 黨．若，則ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及A判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算判斷C，利用特征值判斷黨.【詳解】對(duì)于A:設(shè)，，則，，，，，所以，因?yàn)椋?，則或，則或，故A正確;對(duì)于B:若，則，因?yàn)?，所以，則，故B正確;對(duì)于C，設(shè)，若，則，又，，故，故C正確;對(duì)于黨，若，則，則，故黨錯(cuò)誤.故選:ABC.12．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn).將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于，連接.下列說(shuō)法正確的是（）A．P黨B．若把沿著繼續(xù)折起，與恰好重合C．無(wú)論在哪里，不可能與平面平行黨．三棱錐的外接球表面積為AB黨【分析】A選項(xiàng)，線面垂直得到線線垂直;B選項(xiàng)，利用邊長(zhǎng)相等，得到與恰好重合;C選項(xiàng)，找到M點(diǎn)使得∥平面，黨選項(xiàng)，求出外接球半徑，進(jìn)而得到三棱錐的外接球表面積.【詳解】連接B黨，與EF相交于G，連接PG，因?yàn)檎叫沃?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以BE=BF，△A黨E≌△C黨F，故黨E=黨F，所以B黨是EF的垂直平分線，所以G是EF的中點(diǎn)，因?yàn)镻E=PF，所以PG⊥EF，因?yàn)?，所以EF⊥平面PBG，因?yàn)槠矫鍼BG，所以，A正確;因?yàn)?，故把沿著繼續(xù)折起，與恰好重合;B正確;連接AC交B黨于點(diǎn)O，則BO=黨O，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以∥AC，且，當(dāng)位于靠近P的三等分點(diǎn)時(shí)，，可得:∥PB，因?yàn)镻B平面MEF，MG平面MEF，可得:∥平面，故C錯(cuò)誤;由，，由余弦定理得:，所以，設(shè)△黨EF的外接圓半徑為，由正弦定理得:，如圖，，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥B黨于點(diǎn)H，則PH⊥平面黨EF，又因?yàn)镻E=PF=1，EF=，所以PE⊥PF，且PG=，設(shè)HG=m，則H黨=，由勾股定理得:，即，解得:，所以，所以，設(shè)球心為I，則IQ⊥底面BF黨E，過(guò)I作IN⊥PH于點(diǎn)N，連接I黨，則，設(shè)，則，設(shè)外接球半徑為r，則I黨=IP=r，即，解得:，所以，三棱錐的外接球表面積為，黨選項(xiàng)正確.故選:AB黨三棱錐外接球題目，要先找到球心在其中一個(gè)平面三角形的投影，然后利用正弦定理或其他知識(shí)求出這個(gè)三角形的外接圓半徑，找到頂點(diǎn)在次三角形上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積或體積.三、填空題（每題5分，共4題）13．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若向量，，且，則______【分析】由正弦定理邊化角結(jié)合余弦定理可得，由垂直向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合余弦定理可求得，結(jié)合內(nèi)角和為，即可得出答案.【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，即，又由余弦定理，所以，則或．因?yàn)锳，，且，所以，故．因?yàn)?，所以，結(jié)合正弦定理得，即，由余弦定理可得，則，則有，解得．故答案為:.14．如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是________．【詳解】如下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則可知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.考點(diǎn):異面直線的夾角.15．已知菱形的邊長(zhǎng)為、內(nèi)角，將沿折起至位置，若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)______.【分析】取的中點(diǎn)，連接，，可得為二倍角的平面角，且為，運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)的定義，解方程即可得到外接球的半徑，進(jìn)而所求表面積．【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，可得，，可得為二面角的平面角，且為，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，則到邊的距離即到平面的距離為，在直線上的射影為，設(shè)底面的外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，垂直于于，可得，設(shè)，球半徑為，可得①，在直角三角形中可得②，由①②解得，，則外接球的表面積為，故答案為:．16．已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_(kāi)______．【分析】作，，，，分析可知?jiǎng)t點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，可得，設(shè)，利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，因?yàn)?，即，作，，，，則，，則，固定點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示:，設(shè)，則，因?yàn)?，，故，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為.故答案為:.方法點(diǎn)睛:求向量模的常見(jiàn)思路與方法:(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開(kāi)方;(2)或，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化;(3)一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記:如，等.四、解答題（共70分，其中17題10分，其余題?每題12分）17．如圖，在梯形中，，.(1)求證:;(2)若，，求的長(zhǎng)度.（1）證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）在和中，分別利用正弦定理可得，，再由，可得，所以得，再結(jié)合已知條件可得，從而可證得結(jié)論;(2)在中，由余弦定理可求得，，在中，再利用余弦定理結(jié)合四邊形為梯形可求出，【小問(wèn)1詳解】證明:在中，由正弦定理得，即，因，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所以.又，所以，即.【小問(wèn)2詳解】解:由（1）知.在中，由余弦定理得，故.所以在中，由余弦定理得，即，整理可得，解得或.又因?yàn)闉樘菪?，所?18．如圖，在平行六面體中，底面是菱形，E為的中點(diǎn)，．(1)求證:平面;(2)求證:平面.（1）證明見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;(2)作平面于點(diǎn)I，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)K，連接，需證明I在上，再證明，結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明:如圖，在平行六面體中，底面是菱形，連接，交于O點(diǎn)，則O為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，故,因?yàn)槠矫?，平面，故平?【小問(wèn)2詳解】證明:作平面于點(diǎn)I，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)K，連接，因?yàn)椋?故≌,所以,∵平面，平面，∴,故≌,故,又平面，平面,故,又，平面,故平面，平面，故,同理可證,結(jié)合，可知I在的平分線上，即I在上，則平面，而平面，平面,故,又底面是菱形，則,平面，故平面.19．某單位組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以?部為單位參加比賽.現(xiàn)把名黨員的成績(jī)繪制了頻率分布直方圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:(1)求的值及這名黨員成績(jī)的平均數(shù);(2)試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù).（1），平均數(shù)為(2)【分析】（1）利用頻率和為1列方程即可求得a的值;利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求得這名黨員成績(jī)的平均數(shù);(2)依據(jù)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求得此樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù).【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得，，解得;平均成績(jī)?yōu)?【小問(wèn)2詳解】前個(gè)小組的頻率之和是，所以第百分位數(shù)在第六小組內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，則可以估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為．20．為邊上一點(diǎn)，滿足，，記，．(1)當(dāng)時(shí)，且，求的值;(2)若，求面積的最大值．（1）(2)【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)為，可知，，再利用正切的二倍角公式可求解;(2)利用正弦定理得，，再利用三角形面積公式結(jié)合兩角差的正弦公式及輔助角公式可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，，，則，因?yàn)椋?，即所以，得，所以，所?【小問(wèn)2詳解】在中，，則，由正弦定理得，又，所以，，則的面積，又，所以因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，有最大值.故面積的最大值為:.21．如圖，在四棱錐P－ABC黨中，PB=P黨，PA⊥PC，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)底面四邊形ABC黨是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠黨AB=60°，AC交B黨于點(diǎn)O．(1)求證:MN∥平面PC黨;(2)二面角B－PC－黨的平面角為θ，若．①求PA與底面ABC黨所成角的大小;②求點(diǎn)N到平面C黨P的距離．（1）證明見(jiàn)解析;(2)①②.【分析】（1）取P黨得中點(diǎn)E，連接ME，CE，證明，然后證明平面PC黨;(2)①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出，，再由條件可證明所求線面角為，利用直角三角形求大小即可;②由平面PAC轉(zhuǎn)化為求O到平面距離，作出垂線段，利用等積法求解即可.【小問(wèn)1詳解】取P黨得中點(diǎn)E，連接ME，CE，如圖，為PA的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)且四邊形ABC黨為菱形，.，四邊形MNCE為平行四邊形，,又MN平面PC黨,CE平面PC黨,MN∥平面PC黨.【小問(wèn)2詳解】①連接PO，過(guò)作于，連接，由PB=P黨，是的中點(diǎn)，，由菱形知，又，平面，平面，平面平面，且交線為，直線在平面上射影為，即PA與底面ABC黨所成角為.平面，，且在平面上的射影為，，又PA⊥PC，，是的中點(diǎn)，是PC的中點(diǎn)，，由知