初中數(shù)學(xué) 菱形 課件

第五章四邊形第28課時(shí)菱形(8年5考，考則1道，5分)目錄玩轉(zhuǎn)北京8年中考真題考點(diǎn)精講重難點(diǎn)突破中考試題中的核心素養(yǎng)玩轉(zhuǎn)北京8年中考真題1.(2017北京22題5分)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點(diǎn)，連接BE.(1)求證：四邊形BCDE為菱形；(2)連接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的長.第1題圖(1)證明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝BE＝AD，又∵AD＝2BC，∴DE＝BC，又∵AD∥BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，又∵BE＝DE,∴四邊形BCDE為菱形；(2分)(2)解：如解圖，連接AC，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝BC，又∵AE＝BE＝BC，∴AB＝

AE＝BE，∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE＝60°，第1題解圖∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°－∠BAE＝30°，∠1＝∠2＝∠BAE＝30°，∴在菱形BCDE中，∠ADC＝2∠ADB＝60°，∴∠ACD＝180°－∠1－∠ADC

＝90°，又∵BC＝1，∴在菱形BCDE中，

CD＝BC＝1，∴在Rt△ACD中，AC＝

CD·tan

∠ADC＝.(5分)2.(2018北京21題5分)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AB＝，BD＝2，求OE的長.第2題圖(1)證明：∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD.∵AD＝AB，∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；(2分)(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝1，OA＝OC，∴OA＝＝2.∵CE⊥AB，OA＝OC，∴OE＝AC＝OA＝2.(5分)3.(2014北京19題5分)如圖，在

ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF、PD.(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值.第3題圖(1)證明：在?ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，同理，∵∠AFB＝∠FBE，∠ABF＝∠FBE，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF＝BE，∵AF∥BE且AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，又∵AB＝AF，∴?ABEF是菱形；(3分)(2)解：過點(diǎn)P作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H，如解圖，∵∠ABC＝60°，∴△ABE和△AEF是等邊三角形，∴AP＝AE＝AB＝2，∴AH＝AP·cos60°＝1，PH＝AP·sin60°＝∴DH＝AD－AH＝6－1＝5，∴tan∠ADP＝＝.(5分)4.(2019北京20題5分)如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，BE＝DF，連接EF.(1)求證：AC⊥EF；(2)延長EF交CD的延長線于點(diǎn)G，連接BD交AC于點(diǎn)O.若BD＝4，tanG＝，求AO的長.第4題圖(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，BE＝DF，∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.∴△AEF是等腰三角形．又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF；(2分)(2)解：由題意作解圖如下，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝BD＝×4＝2.∴∠G＝∠AEG.由(1)知EF⊥AC.又∵BD⊥AC.∴EF∥BD.∴∠AEG＝∠ABO.∴∠G＝∠ABO.∵tanG＝∴tan∠ABO＝＝.∴AO＝OB·tan∠ABO＝2×＝1.(5分)第4題解圖考向拓展5.如圖，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分別交AD于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：AE＝BF；(2)若點(diǎn)E恰好是AD的中點(diǎn)，AB＝2，求BD的值.第5題圖(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠BAE＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC.又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF；(2)解：由題意知，BE垂直平分AD，即BE是AD的垂直平分線，∴點(diǎn)B到線段AD兩端點(diǎn)的距離相等，∴BD＝AB＝2.考點(diǎn)精講【對接教材】北京版：八下第十五章P64－P65，P69－P70；人教版：八下第十八章P55－P58.菱形的性質(zhì)1考點(diǎn)性質(zhì)字母表示邊四條邊_________

AB＝BC＝CD＝DA

對邊平行AB∥CD，AD∥BC

角對角相等∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC

對角線對角線互相垂直且____________

AC⊥

，AO＝OC，DO＝OB對角線平分一組對角AC平分∠DAB與∠BCD，BD平分∠ABC與∠ADC相等平分BD性質(zhì)字母表示周長C＝4a(a為菱形的邊長)面積S＝

(m、n分別表示兩條對角線的長)對稱性既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸菱形的判定2考點(diǎn)1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3.四條邊都相等的四邊形是菱形.重難點(diǎn)突破例1已知四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.(1)如圖①，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD為菱形.①條件一：

；【判定依據(jù)】______________________________________________.②條件二：

；【判定依據(jù)】___________________________________________.例1題圖(2)如圖②，已知點(diǎn)A、點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱，點(diǎn)H為BC上的一點(diǎn)，且AC＝16，BD＝12.①在四邊形ABCD中，△BCD為

三角形，對角線AC、BD的位置關(guān)系為

________________；②若∠BCO＝∠DCO，點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，求OH的長；③若AB＝AD，則四邊形ABCD的面積為

；④若AC⊥BD，則四邊形ABCD的周長為

；⑤在④的條件下，連接OH，若OH⊥BC于點(diǎn)H，求cos∠COH的值；解：(1)①AB＝AD；鄰邊相等的平行四邊形為菱形．②AC⊥BD；對角線互相垂直的平行四邊形為菱形．(2)①等腰，垂直；【解法提示】∵點(diǎn)A、點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱，∴AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴CB＝CD，AC⊥BD.∴△BCD為等腰三角形，AC、BD的位置關(guān)系為垂直．②當(dāng)∠BCO＝∠DCO時(shí)，由AD∥BC知∠BCO＝∠OAD，∴∠OCD＝∠OAD，∴DC＝DA，∴平行四邊形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，∵AC＝16，BD＝12，∴OC＝8，OB＝6.根據(jù)勾股定理可得BC＝＝＝10.∵點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，∴OH＝BC＝5.③96；【解法提示】由題意知四邊形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴四邊形ABCD的面積為×16×12＝96.④40【解法提示】由題意知四邊形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，∴BC＝＝10，∴四邊形ABCD的周長為4×10＝40.練習(xí)如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，求AH的長.練習(xí)題圖(1)證明：∵在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，BD＝8，∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∵AB＝5，且32＋42＝52，∴AO2＋BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，∵S△ABC＝AC·BO＝BC·AH，∴×6×4＝×5·AH，解得AH＝.【滿分技法】1.菱形判定的一般思路：若一個(gè)四邊形是菱形，則必是平行四邊形，故在判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，首先判斷其是平行四邊形，然后根據(jù)平行