江蘇省鹽城市東臺(tái)市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

江蘇省鹽城市東臺(tái)市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.2C. D.2．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.3．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.254．把點(diǎn)隨機(jī)投入長(zhǎng)為，寬為的矩形內(nèi)，則點(diǎn)與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.5．將的展開(kāi)式按x的降冪排列，第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，若，且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.7．如圖所示幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的是（）A. B.C. D.8．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)9．已知為偶函數(shù)，且，則___________.10．在中，已知點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.11．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，是雙曲線上的點(diǎn)，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．某校高二年級(jí)統(tǒng)計(jì)了參加課外興趣小組的學(xué)生人數(shù)，每人只參加一類，數(shù)據(jù)如下表：學(xué)科類別文學(xué)新聞經(jīng)濟(jì)政治人數(shù)400300100200若從參加課外興趣小組的學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取50名參加學(xué)習(xí)需求的問(wèn)卷調(diào)查，則從文學(xué)、新聞、經(jīng)濟(jì)、政治四類興趣小組中抽取的學(xué)生人數(shù)分別為（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)________14．已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____________.15．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為_(kāi)_________；直線__________過(guò)定點(diǎn).16．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點(diǎn)，使得直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）命題p：直線l：與圓C：有公共點(diǎn)，命題q：雙曲線的離心率（1）若p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若為真，為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說(shuō)明理由20．（12分）人類社會(huì)正進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)成為了必不可少的工具，智能手機(jī)也給我們的生活帶來(lái)了許多方便.但是這些方便、時(shí)尚的手機(jī)，卻也讓你的眼睛離健康越來(lái)越遠(yuǎn).為了了解手機(jī)對(duì)視力的影響程度，某研究小組在經(jīng)常使用手機(jī)的中學(xué)生中進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了換算，統(tǒng)計(jì)了中學(xué)生一個(gè)月中平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x（小時(shí)）和視力損傷指數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x（小時(shí)）1234567視力損傷指數(shù)y25812151923（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）該小組研究得知：視力的下降值t與視力損傷指數(shù)y滿足函數(shù)關(guān)系式，如果小明在一個(gè)月中平均每天使用9個(gè)小時(shí)手機(jī)，根據(jù)（1）中所建立的回歸方程估計(jì)小明視力的下降值（結(jié)果保留一位小數(shù)）.參考公式及數(shù)據(jù)：，..21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于點(diǎn)，若,求面積22．（10分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B2、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根式的運(yùn)算，確定的大小關(guān)系，則問(wèn)題得解.【詳解】因?yàn)椋?；又，?故選：A.3、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.4、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】若點(diǎn)與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，所求概率.故選：A.5、A【解析】按照二項(xiàng)展開(kāi)式展開(kāi)表示出第二項(xiàng)第三項(xiàng)，解不等式即可.【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式，第二項(xiàng)為：，第三項(xiàng)為：，依題意，兩邊約去得到，即，由知，則，同時(shí)約去得到.故選：A.6、C【解析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準(zhǔn)線方程，則可求出準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，然后由題意可得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準(zhǔn)線，由拋物線定義知，解得，則準(zhǔn)線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，原點(diǎn)為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C7、B【解析】根據(jù)側(cè)視圖，沒(méi)有實(shí)對(duì)角線，正視圖實(shí)對(duì)角線的方向，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到答案.【詳解】側(cè)視時(shí)，看到一個(gè)矩形且不能有實(shí)對(duì)角線，故A，D排除而正視時(shí)，有半個(gè)平面是沒(méi)有的，所以應(yīng)該有一條實(shí)對(duì)角線，且其對(duì)角線位置應(yīng)從左上角畫到右下角，故C排除.故選：B.8、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數(shù)，所以，（由條件，所以等號(hào)不成立），所以④正確.故選：C.9、8【解析】由已知條件中的偶函數(shù)即可計(jì)算出結(jié)果，【詳解】為偶函數(shù)，且，.故答案為：810、C【解析】利用三點(diǎn)共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點(diǎn)，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.12、D【解析】利用分層抽樣的等比例性質(zhì)求抽取的樣本中所含各小組的人數(shù).【詳解】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)知：文學(xué)小組抽取人數(shù)為人；新聞小組抽取人數(shù)為人；經(jīng)濟(jì)小組抽取人數(shù)為人；政治小組抽取人數(shù)為人；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)，求出切線斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故答案為：14、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時(shí)，由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)P為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，考查正弦定理的應(yīng)用.15、①.②.【解析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點(diǎn).詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：；.16、【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，解得，則橢圓方程得解；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理以及，即可求解.【小問(wèn)1詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)，其中一條漸近線，則；對(duì)雙曲線，令，解得，則，解得，故雙曲線方程為：.小問(wèn)2詳解】根據(jù)（1）中所求可知，假設(shè)存在軸上的點(diǎn)滿足題意，若直線的斜率不為零，則設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得，則，即，此時(shí)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則，則，即，即，則，此時(shí)滿足題意；若直線的斜率為零，且過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，滿足題意.綜上所述，存在軸上的一點(diǎn)滿足.【點(diǎn)睛】本題考察雙曲線方程的求解，以及雙曲線中存在某點(diǎn)滿足條件的問(wèn)題；解決問(wèn)題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬綜合中檔題.18、（1），；（2）.【解析】(1)求出，成立的等價(jià)條件，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”為假命題，“”為真命題，則、一真一假，當(dāng)真假時(shí)，求出的取值范圍，當(dāng)假真時(shí)，求出的取值范圍，然后取并集即可得答案【小問(wèn)1詳解】若命題為真命題，則，解得：，若命題為真命題，則且，，解得，∴，均為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是，；【小問(wèn)2詳解】若為真，為假，則、一真一假；①當(dāng)真假時(shí)，即“”且“或”，則此時(shí)的取值范圍是；當(dāng)假真時(shí)，即“或”且“”，則此時(shí)的取值范圍是；綜上,的取值范圍是19、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡(jiǎn)求得直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】存在．理由如下：顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時(shí)，不滿足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使20、（1）（2）0.3【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)及參考公式即可求解；（2）由（1）中線性回歸方程計(jì)算小明的視力損傷指數(shù)，再將代入視力的下降值t與視力損傷指數(shù)y滿足的函數(shù)關(guān)系式即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由表格數(shù)據(jù)得：，，，，所以線性回歸方程為；【小問(wèn)2詳解】解：小明的視力損傷指數(shù)，所以，估計(jì)小明視力的下降值為0.3.21、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理解出直線方程，再求面積【小問(wèn)1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡(jiǎn)得，曲線的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，所以曲線的方程為【小問(wèn)2詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過(guò)的直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可