江西省九江市第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

江西省九江市第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項和為，，，則=（）A. B.C. D.2．已知的周長為，頂點、的坐標(biāo)分別為、，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.3．某種產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當(dāng)廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為萬元（殘差=真實值-預(yù)測值）A.40 B.30C.20 D.104．圓的圓心為（）A. B.C. D.5．氣象臺正南方向的一臺風(fēng)中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為，距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響持續(xù)時間大約是（）A. B.C. D.6．的展開式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.8．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為A. B.C. D.9．某救援隊有5名隊員，其中有1名隊長，1名副隊長，在一次救援中需隨機分成兩個行動小組，其中一組2名隊員，另一組3名隊員，則正、副隊長不在同一組的概率為（）A. B.C. D.10．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.11．平面與平面平行的充分條件可以是（）A.平面內(nèi)有一條直線與平面平行B.平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行C.平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行D平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行12．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為三角形的一個內(nèi)角，已知曲線：，則可能是___________.（寫出不同曲線的名稱，盡可能多.注：在一些問題情景中，直線可以理解成是特殊的曲線）14．已知函數(shù)，若過點存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________15．已知點在圓C：（）內(nèi)，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______16．已知直線過點，，且是直線的一個方向向量，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若與在處有相同的切線，求實數(shù)的取值；（2）若時，方程在上有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過，兩點.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點O）兩點，若以AB為直徑的圓過原點，試問直線l是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若否，請說明理由.20．（12分）如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點，（1）證明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.21．（12分）已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點的坐標(biāo).22．（10分）已知函數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點和

.（1）求實數(shù)，的值；（2）若，求數(shù)列前項和

.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用公式計算得到，得到答案【詳解】由已知得，即，而，所以故選：D2、D【解析】分析可知點的軌跡是除去長軸端點的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點的位置可得出頂點的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.3、D【解析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應(yīng)的銷售額，這是一個預(yù)測值，再求出與真實值之間有一個誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當(dāng)時，50，當(dāng)廣告費支出5萬元時，由表格得：，故隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為萬元.故選D.點睛：本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查求線性回歸方程，考查預(yù)測y的值，是一個綜合題4、D【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】圓的圓心為，故選：D5、D【解析】利用余弦定理進行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)臺風(fēng)中心為，，小時后到達點處，即，當(dāng)時，氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響持續(xù)時間大約是，故選：D6、B【解析】根據(jù)二項式定理求出答案即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是故選：B7、C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設(shè)點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C8、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題9、C【解析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)，即可求出答案.【詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)為故正、副隊長不在同一組的概率為.故選：C.10、D【解析】判斷點M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【詳解】顯然點橢圓內(nèi)，設(shè)點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D11、D【解析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理可判斷.【詳解】對A，若平面內(nèi)有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故A錯誤；對B，若平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故B錯誤；對C，若平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行，若這無數(shù)條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故C錯誤；對D，若平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，則根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故D正確.故選：D.12、A【解析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、焦點在軸上的橢圓，焦點在軸上的雙曲線，兩條直線.【解析】討論，和三種情況，進而根據(jù)曲線方程的特征得到答案.【詳解】若，則曲線：，而，曲線表示焦點在y軸上的橢圓；若，則曲線：或，曲線表示兩條直線；若，則曲線：，而，曲線表示焦點在x軸上的雙曲線.故答案為：焦點在y軸上橢圓，焦點在x軸上的雙曲線，兩條直線.14、【解析】設(shè)過M的切線切點為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設(shè)過點的直線與曲線相切于點，則，化簡得，，令，則過點存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點∵，故當(dāng)x<0或x>1時，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒15、【解析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過圓內(nèi)一點最短的弦，應(yīng)垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：16、【解析】由題得，解方程組即得解.【詳解】解：由題得，因為是直線的一個方向向量，所以，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在處的切線方程，再由有相同的切線這一條件即可求解；（2）先分離，再研究函數(shù)的單調(diào)性，最后運用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.【小問1詳解】設(shè)公切線與的圖像切于點，f'(x)=1+lnx?f由題意得：；【小問2詳解】當(dāng)時，，①，①式可化為為，令令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，當(dāng)時，由題意知：18、（1）當(dāng)時，或；當(dāng)時，；當(dāng)時，或（2）【解析】（1）由題意得對的值進行分類討論可得不等式的解集；（2）將條件轉(zhuǎn)化為，，再利用基本不等式求最值可得的取值范圍；【小問1詳解】，即，所以，所以，①當(dāng)時不等式的解為或，②當(dāng)時不等式的解為，③當(dāng)時不等式的解為或，綜上：原不等式的解集為當(dāng)時或，當(dāng)時，當(dāng)時或【小問2詳解】不等式在上有解，即在上有解，所以在上有解，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.19、（1）（2）過定點，定點為【解析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達定理，由條件可得，從而得出答案.【小問1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，.聯(lián)立整理的，則，，故.因為以AB為直徑的圓過原點，所以，即則，化簡得.當(dāng)時，直線，直線l過原點，此時不滿足以AB為直徑的圓過原點.所以，則，則直線過定點.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到、，即可得到平面，再根據(jù)，即可得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可得到點，，的坐標(biāo)，最后利用空間向量法求出二面角的余弦值；小問1詳解】證明：連接DE因為，且D為AC的中點，所以因為，且D為AC的中點，所以因為平面BDE，平面BDE，且，所以平面因為，所以平面BDE，所以【小問2詳解】解：由（1）可知因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE兩兩垂直以D為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)．則，，．從而，設(shè)平面BCE的法向量為，則令，得平面ABC的一個法向量為設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則21、(1).(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)求出k的值，再利用平行線間的距離公式求與的距離.(2)先根據(jù)求出k的值，再解方程組得與的交點的坐標(biāo).詳解：（1）若，則由，即，解得或.當(dāng)時，直線：，直線：，兩直線重合，不符合，故舍去；當(dāng)時，直線：，直線