寧夏銀川市賀蘭縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第第頁寧夏銀川市賀蘭縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）賀蘭縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（每小題5分，共40分）

1．已知為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)的值是（）

A．B．C．D．

2．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（）．

A．B．

C．D．

3．已知直平行六面體中，，，則直線與所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．0

4．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）

A．B．C．1D．4

5．如圖，在三棱錐OABC中，點(diǎn)P，Q分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段PQ上一點(diǎn)，且，若記，，，則等于（）

A．B．

C．D．

6．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）個(gè)

①的最小值為1

②四面體的體積為

③存在無數(shù)條直線與垂直

④點(diǎn)為所在邊中點(diǎn)時(shí)，四面體的外接球半徑為

A．1B．2C．3D．4

7．已知直線，互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．B．或C．D．或

8．一次函數(shù)與為常數(shù)，且，它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能為（）

A．B．C．D．

二、多選題（每小題5分，共20分）

9．設(shè)正方體中，，，的中點(diǎn)分別為，，，則（）

A．B．平面與正方體各面夾角相等

C．四點(diǎn)共面D．四面體，體積相等

10．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

A．

B．存在點(diǎn)，使平面

C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為

D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值

11．已知點(diǎn)，，直線上存在點(diǎn)P滿足，則直線l的傾斜角可能為（）

A．0B．C．D．

12．已知直線過點(diǎn)，且直線在坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程為（）

A．B．C．D．

三、填空題（每小題5分，共20分）

13．已知直線過定點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為．

14．已知三點(diǎn)點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)．

15．在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為.

16．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個(gè)說法：

①存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)N在直線l上；②若，則過MN兩點(diǎn)的直線與直線l平行；

③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．上述所有正確說法的序號是．

四、解答題（第17題10分，第18-20題12分，共70分）

17．已知，與、的夾角都是，并且，，．計(jì)算：

(1)；(2)．

18．已知三條直線，，．

(1)若，且過點(diǎn)，求、的值；(2)若，求、的值．

19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱的長為，且與、的夾角都等于，在棱上，，設(shè)，，．

(1)試用，，表示出向量；

(2)求與所成的角的余弦值．

20．過點(diǎn)作直線分別交的正半軸于兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；

(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程.

21．如圖，在多面體中，四邊形是邊長為4的菱形，與交于點(diǎn)平面．

(1)求證：平面平面；

(2)若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

22．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，．

(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；

(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.

試卷第2頁，共4頁

參考答案：

1．C

【分析】根據(jù)平面向量基本定理得到，進(jìn)而得2，根據(jù)待定系數(shù)法即可.

【詳解】∵四點(diǎn)共面∴必存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對使得，

∴，即∵四點(diǎn)不共面

∴，否則三點(diǎn)共線，即四點(diǎn)共面，與題意不符，

∴，則有，

故而，∴.

2．D

【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立直角坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.

【詳解】平面,平面,平面,

因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則

設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.

3．A

【分析】以為一組基底，利用向量法求解.

【詳解】解：如圖所示：以為一組基底，

則，，則，

，，

，，

，以,

4．D

【分析】依題意有，由求的值.

【詳解】由直線的方向向量為，平面的法向量為，

因?yàn)?，可得，所以，解得?/p>

5．A

【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?/p>

.

6．B

【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A;由線面平行的性質(zhì)及錐體的體積公式判斷B;根據(jù)線面垂直的判定及面面平行的判定定理結(jié)合條件判斷C;利用坐標(biāo)法，根據(jù)正弦定理及球的性質(zhì)結(jié)合條件可求四面體的外接球半徑判斷D.

【詳解】對于A:因?yàn)槭钦襟w，所以平面,平面,

又因?yàn)槠矫?平面,所以,，即是與的公垂線段，

因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時(shí)，最短為1，故A正確;

對于B,因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，且平面

所以平面，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，距離，

由可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，到的距離不變，所以的面積不變，

所以所以B錯(cuò)誤;

對于C,連接，因?yàn)槠矫?，平面，?所以，

又平面，所以平面，當(dāng)不在線段端點(diǎn)時(shí)，

過作交于，過作交于，

平面交線段于,

因?yàn)槠矫妫矫?

故平面，同理平面,

又平面，

所以平面平面，故平面，又平面，

所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以存在無數(shù)條直線，故C正確;

對于D,如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則,所以,

則的外接圓的半徑為

所以可得等腰的外接圓圓心為,設(shè)四面體的外接球球心為，則平面，

所以可設(shè)四面體的外接球球心為，由，

可得,解得，

所以四面體的外接球的半徑為故D錯(cuò)誤.

7．A

【分析】根據(jù)兩一般式直線相互垂直求的值，注意驗(yàn)證求得的值是否滿足直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€，互相垂直，

所以，所以或，當(dāng)，直線不存在，故.

8．C

【分析】根據(jù)圖象分析b、k取值符號進(jìn)行判斷即可．

【詳解】對于選項(xiàng)A中，直線的直線的∴A錯(cuò)；

對于選項(xiàng)B中，直線的直線的，∴B錯(cuò)；

對于選項(xiàng)C中，直線的直線的∴C對；

對于選項(xiàng)D中，直線的直線的∴D錯(cuò)．

9．ABD

【分析】利用余弦定理可求得和，知A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角向量求法可求得B正確；由異面直線定義可確定C錯(cuò)誤；利用線面平行的判定可證得平面，由此可知D正確.

【詳解】對于A，設(shè)正方體棱長為，

則，，，

，，

又，，，A正確；

對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，則，，，

，，設(shè)平面的法向量，

則，令，解得：，，；

又平面，平面和平面的法向量分別為，，，

，平面與正方體各面夾角相等，B正確；

對于C，分別延長，，交延長線于點(diǎn)，

，，四邊形為平行四邊形，；

，，為的中位線，，

不重合，平面，平面，，

與為異面直線，四點(diǎn)不共面，C錯(cuò)誤；

對于D，連接，，，四邊形為平行四邊形，

，又，，平面，平面，平面，

則點(diǎn)到平面的距離相等，四面體，體積相等，D正確.

10．ABD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，設(shè)，，

所以，所以，A選項(xiàng)正確.

點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.

，，設(shè)平面的法向量為，

則，故可設(shè)，要使平面，平面，

則，解得，所以存在點(diǎn)，使平面，B正確.

若直線與直線所成角為，則，

，無解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

11．BCD

【分析】將、兩點(diǎn)代入直線的方程，可知點(diǎn)、不可能同時(shí)在直線上，又，可判斷出點(diǎn)的軌跡即為線段，把原問題轉(zhuǎn)化為直線與線段恒有公共點(diǎn)問題，再求出兩個(gè)臨界值，即可判斷.

【詳解】將點(diǎn)代入直線得，再將點(diǎn)代入直線得，故點(diǎn)、不可能同時(shí)在直線上，又，且，

點(diǎn)的軌跡為線段，即直線與線段恒有交點(diǎn)，

又直線，直線恒過定點(diǎn)，作出示意圖：此時(shí)，，故直線的斜率的取值范圍為：，故直線的傾斜角的取值范圍為：，

12．ABC

【分析】分直線過原點(diǎn)，直線截距相等，直線截距互為相反數(shù)三種情況設(shè)直線分別為，結(jié)合過點(diǎn)可得答案.

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因過點(diǎn)，則直線的方程為，即，故A正確；當(dāng)直線截距相等時(shí)，設(shè)直線方程為，因過點(diǎn)，則，則直線的方程為，故C正確；當(dāng)直線截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為，因過點(diǎn)，則，則直線的方程為，故B正確．

13．2

【分析】利用空間中的點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．

【詳解】設(shè)，，則，則點(diǎn)P到直線的距離．

14．

【分析】設(shè)，由點(diǎn)在直線上求出，表示出和，，利用二次函數(shù)求出最小值，得到點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)，∵，則由點(diǎn)在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得，

所以，則，所以，，

所以，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：.

15．

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算即可.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，

則，.

16．②③

【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合直線方程可判斷①，③；判斷兩直線的斜率是否相等，并判斷直線是否重合可判斷②；

【詳解】對于①，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)不可能在直線l上，錯(cuò)誤．

對于②，因?yàn)?，所以，所以?/p>

若，則，不合題意，故，

所以，所以直線MN的方程為，即，

又，所以過M、N兩點(diǎn)的直線與直線l平行，正確．

對于③，因?yàn)?，所以?/p>

所以，即在直線上，

所以直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)，正確．綜上所述，正確的有②③，

17．(1)(2)

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合數(shù)量積的定義即可求得答案；

（2）利用向量模的計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量積定義，即可求得答案.

【詳解】（1）由題意知，與、的夾角都是，并且，，，

故；（5分）

（2）.（5分）

18．(1)或；(2)

【分析】（1）由直線垂直的特征及直線過的點(diǎn)可得關(guān)于a、b的方程組，即可得解；

（2）由直線平行的特征求解a，b，再代入驗(yàn)證即可.

【詳解】（1）∵，，且，∴，（2分）又直線過點(diǎn)，∴，∴，∴（2分），∴或；（2分）

（2）若，則，解得，當(dāng)時(shí)，（2分），也即，（1分），也即（1分），滿足，所以若，.（2分）

19．(1)(2)

【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算，化簡即得用，，表示向量的式子；

（2）利用空間的數(shù)量積和向量夾角公式進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，（2分）

因?yàn)锳BCD是邊長為1的正方形，則，（2分）

且，可得，

又因?yàn)椋?，，所?（2分）

（2）由題意可知：，，與、的夾角均為60°，與的夾角為90°，

則（1分）

，可得，（1分）

又∵，（1分）

設(shè)與所成的角為，所以．（2分）

20．(1)4，(2)

【分析】（1）由題意可設(shè)直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，注意到，結(jié)合基本不等式進(jìn)而求解.

（2）由（1）中分析可知，且注意到，由乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】（1）顯然直線斜率存在且不過原點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，(1分)

又點(diǎn)在直線上，所以，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等（2分），注意到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)相應(yīng)的直線的方程為.(3分)

（2）由（1）可知，又注意到，

所以，（2分）

對其利用基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，（2分）

此時(shí)相應(yīng)的直線的方程為.（2分）

21．(1)證明見解析(2)

【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，則由三角形中位線定理結(jié)合已知條件可證得四邊形為平行四邊形，所以，再由平面，結(jié)合面面垂直的判定定理可證得結(jié)論，

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接（1分），因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，

所以，因?yàn)?，所以，?分）

所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，所以平面．?分）

又平面，所以平面平面．（1分）

（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，?分）

因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以兩兩垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，（1分）

因?yàn)樗倪呅问沁呴L為4的菱形，，

所以是正三角形，則，

因?yàn)?，所以，?分）

所以，（1分）

所以（1分），設(shè)平面的法向量為，

則，令，則，取平面的法向量．（1分）

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以，

所以二面角的余弦值為.（2分）

22．(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，位于棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理及三角形中位線即可判定；

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)共線向量定理得到，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面的法向量，再根據(jù)兩平面所成銳二面角的余弦值可求得的值，隨即可判斷點(diǎn)的存在性.

【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，（1分）

分別為的中點(diǎn)，且

∵底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)