江西省新余市第六中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

江西省新余市第六中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是空間的一個(gè)基底，，，，若四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.2．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.334．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.45．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對(duì)兔子每月生1對(duì)小兔子（一雌一雄），而每1對(duì)小兔子出生后的第3個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個(gè)月的兔子的總對(duì)數(shù)，則有(n＞2)，．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為（）A.11 B.12C.13 D.186．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.10．若傾斜角為的直線過兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)的部分圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞減12．某中學(xué)的校友會(huì)為感謝學(xué)校的教育之恩，準(zhǔn)備在學(xué)校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長(zhǎng)為6米 B.體積為立方米C.側(cè)面積為平方米 D.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上（含100分，滿分150分）的學(xué)生成績(jī)，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為___________14．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為______.類別老年教師中年教師青年教師合計(jì)人數(shù)90018001600430015．將車行的30輛大巴車編號(hào)為01，02，…，30，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為3的樣本，且在某組隨機(jī)抽得的一個(gè)號(hào)碼為08，則剩下的兩個(gè)號(hào)碼依次是__________（按號(hào)碼從小到大排列）16．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個(gè)零點(diǎn).18．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式的常數(shù)項(xiàng).19．（12分）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價(jià)是7元/，以的速度行駛時(shí)，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時(shí)，汽車每小時(shí)耗油，司機(jī)每小時(shí)的工資是91元.（1）求的值；（2）如果不考慮其他費(fèi)用，當(dāng)車速是多少時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低？20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點(diǎn)M是線段PD上的一點(diǎn)，且，當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由共面定理列式得，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等計(jì)算.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，設(shè)存在有序數(shù)對(duì)使得，則，即，所以得.故選：A2、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D3、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C4、D【解析】設(shè)公比為，然后由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D5、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，∴前36項(xiàng)共有12項(xiàng)為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為12×1+24×0＝12.故選：B6、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進(jìn)而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.7、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對(duì)大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.8、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B9、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長(zhǎng)弦，最短弦為過點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長(zhǎng)，可得面積.【詳解】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D10、A【解析】解方程即得解.【詳解】解：由題得.故選：A11、D【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，再利用函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期公式逆推即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，所以，又，所以，A正確；因?yàn)榈膱D象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對(duì)稱軸，C正確；令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤故選：D.12、D【解析】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點(diǎn)，連接，則的大小為側(cè)面與底面所成，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求出該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，斜高和高，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點(diǎn)，連接，由正四棱錐的性質(zhì)，可得由分別為的中點(diǎn)，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則,又則,解得故選項(xiàng)A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項(xiàng)B正確.該正四棱錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)C正確.由題意為側(cè)棱與底面所成角，則，故選項(xiàng)D不正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和頻率，即可得答案.【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.故答案為：3014、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點(diǎn)：分層抽樣.15、18，28【解析】根據(jù)等距抽樣的性質(zhì)確定剩下的兩個(gè)號(hào)碼即可.【詳解】由于從30輛大巴車中抽取3輛車，故分組間距為10，又第一組的號(hào)碼為08，所以其它兩個(gè)號(hào)碼依次是18，28故答案為：18，28.16、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，從而可求最值.（2）求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中無參數(shù)，故單調(diào)性與（1）中所求一致，然后利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合的范圍，以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).【小問1詳解】若，則，其定義域?yàn)椋?，由，得，∴?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴【小問2詳解】證明：，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠(chéng)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，故在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∵且，∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).18、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數(shù)公式，計(jì)算即可；選擇②：轉(zhuǎn)化為，計(jì)算即可（1）由于共9項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）寫出展開式的通項(xiàng)，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，，.（2）展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中給出的車速和油耗之間的關(guān)系式，結(jié)合已知條件，待定系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得以行駛所用時(shí)間，構(gòu)造費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槠囈缘乃俣刃旭倳r(shí)，汽車的耗油率為，又當(dāng)時(shí)，，解得.【小問2詳解】若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時(shí)，則這次行車的總費(fèi)用，則，令，解得，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，即.故時(shí)，該次行車總費(fèi)用最低.20、（1）的極大值為0,的極小值為（2）2【解析】（1）先求導(dǎo)可得，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求解；（2）由（1）可得在上的最小值為，由，，可得的最大值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可.【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則或，則當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以極大值為；的極小值為.（2）由題,，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值即為的極小值；因?yàn)?,所以，因?yàn)?，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運(yùn)算能力.21、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】