數(shù)列求和方法總結3篇

Word版本，下載可自由編輯數(shù)列求和方法總結(3篇）數(shù)列求和方法總結（1）

有關數(shù)列求和公式方法總結

總結是指社會團體、企業(yè)單位和個人在自身的某一時期、某一項目或某些工作告一段落或者全部完成后進行回顧檢查、分析評價，從而確定成果，獲得閱歷，找出差距，得出教訓和一些規(guī)律性熟悉的一種書面材料。以下是細心整理的數(shù)列求和公式方法總結，供大家參考借鑒，渴望能夠幫忙到有需要的伴計。

一、分組轉化求和法

若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構成，則求這個數(shù)列的前n項和Sn時能夠用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。

例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n

∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

=n（n+1）2

二、奇偶分析求和法

求一個數(shù)列的前n項和Sn，假如需要對n進行奇偶性爭論或將奇數(shù)項、偶數(shù)項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

分析：觀看數(shù)列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項數(shù)n的奇偶性有關，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也能夠在奇偶分析法的基礎上利用并項求和法求的結果。

解：當n為偶數(shù)時。

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

=-n2-n2+n2+n2=n

當n為奇數(shù)時。

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

=-n2+n2+n2-n2=-n

綜上所述，Sn=（-1）nn

三、并項求和法

一個數(shù)列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特別的`性質，因此能夠幾項結合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就能夠采納相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。

例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

四、基本公式法

假如一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項為自然數(shù)的平方、立方的，那么能夠直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。

常用公式有

（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

（4）1+3+5+…+2n-1=n2

（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

例1：已知等比數(shù)列an的通項公式是an=12n-1，設Sn是數(shù)列an的前n項和，求Sn。

解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

五、裂項相消法

假如一個數(shù)列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中能夠相互抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數(shù)列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。

裂項相消法中常用的拆項轉化公式有：

（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n）。

其中n∈N，k∈R且k≠0

例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

=2（1-1n+1）=2nn+1

數(shù)列求和方法總結（2）

等差數(shù)列求和方法總結

求數(shù)列的前n項和要借助于通項公式，即先有通項公式，再在分析數(shù)列通項公式的基礎上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉化為基本數(shù)列求和。當遇到詳細問題時，要留意觀看數(shù)列的特征和規(guī)律，找到適合的方法解題。下面是整理的相關內容，歡迎閱讀參考！

一.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和

假如一個數(shù)列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采納把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就獲得一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學學問時，不但要知其果，更要索其因，學問的得出過程是學問的源頭，也是研發(fā)同一類學問的工具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”。

例題1：設等差數(shù)列{an}，公差為d，求證：{an}的前n項和Sn=n(a1+an)/2

解：Sn=a1+a2+a3+...+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n(a2+an)Sn=n(a1+an)/2

二.用公式法求數(shù)列的前n項和

對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的留意事項：首先要留意公式的應用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。

三.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和

裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。

四.用錯位相減法求數(shù)列的.前n項和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列{an·bn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即能夠求出前n項和。

五.用迭加法求數(shù)列的前n項和

迭加法主要應用于數(shù)列{an}滿意an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，獲得一系列式子，把全部的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an，從而求出Sn。

六.用分組求和法求數(shù)列的前n項和

分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。

七.用構造法求數(shù)列的前n項和

構造法就是先依據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析，找出數(shù)列的通項的特征，構造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項和。

數(shù)列求和方法總結（3）

數(shù)列求和公式方法總結

總結是事后對某一時期、某一項目或某些工作進行回顧和分析，從而做出帶有規(guī)律性的結論，它能夠幫忙我們有查找學習和工作中的規(guī)律，不妨讓我們仔細地完成總結吧。那么你真的懂得怎么寫總結嗎？以下是整理的數(shù)列求和公式方法總結，歡迎閱讀與保藏。

一、分組轉化求和法

若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構成，則求這個數(shù)列的前n項和Sn時能夠用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。

例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n

∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

=n（n+1）2

二、奇偶分析求和法

求一個數(shù)列的`前n項和Sn，假如需要對n進行奇偶性爭論或將奇數(shù)項、偶數(shù)項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

分析：觀看數(shù)列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項數(shù)n的奇偶性有關，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也能夠在奇偶分析法的基礎上利用并項求和法求的結果。

解：當n為偶數(shù)時。

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

=-n2-n2+n2+n2=n

當n為奇數(shù)時。

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

=-n2+n2+n2-n2=-n

綜上所述，Sn=（-1）nn

三、并項求和法

一個數(shù)列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特別的性質，因此能夠幾項結合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就能夠采納相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。

例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

四、基本公式法

假如一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項為自然數(shù)的平方、立方的，那么能夠直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。

常用公式有

（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

（4）1+3+5+…+2n-1=n2

（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

例1：已知等比數(shù)列an的通項公式是an=12n-1，設Sn是數(shù)列an的前n項和，求Sn。

解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

五、裂項相消法

假如一個數(shù)列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中能夠相互抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數(shù)列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。

裂項相消法中常用的拆項轉化公式有：

（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

（4）1n+n+1=n+1-n，