4 1用空間向量研究直線平面位置關(guān)系

人教A版選擇性必修第一冊(cè)1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）

第一章空間向量與立體幾何成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.(邏輯推理)3.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.(邏輯推理)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854

問題導(dǎo)學(xué)

類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854空間中直線、平面垂直的向量表示

探究新知成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群4831228541.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.(

)(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(

)(3)兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.(

)(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√小試牛刀成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群4831228542.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=(

)

A.2 B.-5 C.4 D.-2答案:B

解析:因?yàn)棣痢挺?所以-2-8-2k=0,解得k=-5.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證:無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.典例解析成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854證明:(方法1)以A為原點(diǎn),以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854

利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.歸納總結(jié)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點(diǎn).求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.跟蹤訓(xùn)練成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.典例解析成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854

利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.歸納總結(jié)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854跟蹤訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.

求證:BD⊥平面PAC.跟蹤訓(xùn)練成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854證明:因?yàn)锳P⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(4,0,0),P(0,0,4),成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要證明兩個(gè)平面垂直,由兩個(gè)平面垂直的條件,可證明這兩個(gè)平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.典例解析成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群4831228541.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.利用空間向量證明面面垂直的方法歸納總結(jié)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854跟蹤訓(xùn)練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=.求證:平面AMD⊥平面CDE.分析:因?yàn)镕A⊥平面ABCD,所以可以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.跟蹤訓(xùn)練成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854金題典例

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),E是B1C的中點(diǎn).金題典例成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854解:(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵AC=2a,∠ABC=90°,成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854

應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個(gè):(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn),根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.歸納總結(jié)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群4831228541.若直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),則(

)A.l?α B.l∥α

C.l⊥α D.l與α相交答案:C

解析:∵直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),當(dāng)堂檢測(cè)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群4831228542.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則(

)A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不對(duì)答案:B

解析:以D為原點(diǎn),分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在