流體流動與傳熱的數(shù)值計算

傳熱與流體流動過程的

數(shù)值模擬基礎與應用課程性質：研究生課程

授課時數(shù)：40

學時授課教師：

張建文博士

11/4/20231課程簡介與總體步驟：數(shù)學描述（MathematicalModel）2)離散化、求離散化系數(shù)(Discritization&Coefficients)3)解方程→得到變量如速度、溫度等的分布(Distribution&Profile)4)求各傳遞系數(shù)(HeatTransferCoefficient,MassTransferCoefficients,etc)11/4/20232教材：傳熱與流體流動過程的數(shù)值模擬基礎與應用張建文楊振亞張政編著

參考書：SVPatankar,NumericalHeatTransferandFluidFlowR.B.Bird&W.E.Steward，TransportPhenomenaE.R.G.Eckert，AnalysisofheatandmasstransferJacob，HeatTransfer王補宣，工程傳熱與傳質學O.C.Zienkiewieg，Thefiniteelementmethod,byH.Schlichting，Boundarylayertheory陶文銓，數(shù)值傳熱學,陳義良，湍流計算模型粘性流體力學，E.R.G.Eckert，對流傳熱傳質（中譯本）11/4/20233目錄第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第九章11/4/20234§1本課程范圍一、課程范圍1.工程設備、自然環(huán)境及生物機體中出現(xiàn)的熱質傳遞，流體流動、化學反應及其他一些相關過程。數(shù)值計算方法與計算機數(shù)值計算方法相結合求解相關的問題。2.預備知識化工傳遞過程、線性代數(shù)、流體力學與傳熱學、矩陣、Fortran語言、數(shù)學物理方程、計算方法等

第一章序言（論）

11/4/202353.研究化工過程的六個層次：a.物質的基本物化特性：外觀、性質、物化性質（密度、Cp、K、D等）基礎物性數(shù)據(jù)

b.化工遷移的基本物理現(xiàn)象c.化工單元設備：核心裝置與過程化學工程的核心d.基本化工裝置：工段、車間各種或大或小的化工系統(tǒng)，不同尺度范圍的系統(tǒng)e.工廠f.大系統(tǒng)11/4/20236二、研究傳遞現(xiàn)象、化學反應過程的重要性：亦即預測傳熱、傳質，流動的必要性1．存在于一切過程單元設備與過程中①若說化工原理是解決化工單元過程的基本共性的宏觀的問題如流動阻力系數(shù)、傳熱系數(shù)、傳質系數(shù)；相應的方程式如貝努利方程、傳熱Nu關系式，三傳類比關系式等）②化工傳遞、流體力學、傳熱學的研究則主要是放在協(xié)助人們去揭示這些過程的內在規(guī)律（起源、發(fā)展、變化、結果）、細節(jié)（如生產效率的提高、產品質量的提高）→要知道局部或細節(jié)的改變？為何改變及如何著手去改進？11/4/20237③局部變化、整體機理；④化學反應過程：反應級數(shù)、何處需先加熱、何處不需加熱等具體實施過程；⑤攪拌、混合：槳葉形式、擋板構型；⑥流動則是研究傳熱與傳質過程的基礎，而不僅僅是知道總壓力降（總阻力）而已！11/4/202382.傳遞現(xiàn)象存在于自然界的幾乎所有工業(yè)過程中，影響著有關科學技術的發(fā)展，有時甚至是決定性的。自然環(huán)境：大氣、海洋的環(huán)流、生態(tài)環(huán)境的保護、污染、臭氧層空洞的變化、CO2的溫室效應，暴風雨、河流泛濫；生物流體：血液流動、人體溫度控制、腎臟、肺功能等；工業(yè)過程：電力、能源工業(yè)、原子能→解決能源工業(yè)與熱能工程；動力、航天、交通：解決衛(wèi)星回收、保護的關鍵問題；電子線路、計算機：超大型計算機發(fā)展的核心問題；化工安全、冶金、輕工、建筑、機械、材料工業(yè)：無不與這些過程有關→所有這些都要求更細的過程、更精密的控制→有必要預測有關的過程。

11/4/20239意義：①工程設備設計師可從大量了解方案中確定最佳設計以確保最佳性能；②生產過程工藝師可更安全、有效地操作現(xiàn)有設備；③自動化控制工程師；④研究工程師；⑤預災難發(fā)生及應對措施。11/4/202310三、本課程的目的目的在于使學生通過學習本課程之后，掌握應用電子計算機研究化工單元內部過程（即三傳和一反過程）的一套數(shù)值計算方法，即應用電子計算機求解有關的動量、能量、物質（組分）傳遞的微分方程，計算在有關化工單元過程中物料（包括固體、液體及氣體）的溫度、壓力、速度、濃度分布，并由此進而計算有關過程的傳熱、流動阻力、傳質參數(shù)、反應速率、產品分布的基本方法等。11/4/202311三、本課程的目的數(shù)值求解有關過程的方法很多，但本課程不打算介紹所有現(xiàn)成的方法，這樣只會把同學們搞糊涂，感到茫然、不知所措。本課程主要介紹由Patankar教授與Spalding教授所開創(chuàng)的（通用）數(shù)值計算方法。學習和掌握這一套方法后即可用以計算分析在科研工作中可能遇到的實際問題，并可在此基礎上學習、掌握其他數(shù)值計算方法。11/4/202312根據(jù)我們課題組多年來在不同項目的研究經驗和體會來看，這一套方法非常行之有效。本書以物理上的依據(jù)為基礎，形式又簡明易懂。推薦采用本書學習。本課程為40學時，由于時間關系，不能對全書內容作詳細介紹，特別是計算程序，只能作少量介紹，但本課程重在培養(yǎng)分析、解決問題的方法和思想，以便：①在本書學習的基礎上自學，鉆研、編制有關的程序；②今后辦相關學習、研討班，同學可參加；③建立工作上的聯(lián)系。11/4/202313§2、預測有關物理現(xiàn)象的方法1．實驗研究最可靠的數(shù)據(jù)資料往往來源于實驗，如化工過程設備的氣動性能，塔、反應器、流化床，…的操作性能、流體力學性能等的實驗研究；核爆實驗等…。采用實物實驗研究可抓住特征、重點的試驗，直觀、明確的觀察→對于掌握有關外部現(xiàn)象與基本性能之間的本質關系有重要意義。但試驗的代價→昂貴，某些時候甚至不可能實現(xiàn)，尤其是在大型工業(yè)化裝置上進行實驗更為困難?！荒茚槍σ延械默F(xiàn)象或裝置做→很難用于開發(fā)。1：1，逐漸放大→大大影響了我國化學工業(yè)的發(fā)展。對一些基本物理現(xiàn)象的規(guī)律并不都能從實物試驗中獲得。11/4/202314②相似理論指導下的實驗縮小規(guī)模：或取一局部物體作模型試驗。如裂解爐的開發(fā)：單管試驗、多管縮小尺寸、傳熱試驗、加熱時間等；再如降膜結晶法：a.短單管→物理現(xiàn)象觀察分析；b.長、單管，中間實驗；c.多根管的放大試驗；d工業(yè)裝置。但即使如此，有時也存在不同程度的困難。11/4/202315②相似理論指導下的實驗幾何相似：按比例縮放，比例放大…本來已經小的尺寸怎么辦？調試干擾困難等等，有時幾何不相似反而好！控制無因次準數(shù)相等很困難；運動相似，熱質條件相似；對多個準數(shù)控制時，很難滿足都相等。如Re相等，M數(shù)相等，Gr數(shù)、Pr數(shù)等，氣相、自然對流、射流主要因素相似11/4/2023162．理論計算、或是理論計算輔以實驗（工作量大大減少的試驗）→建立在數(shù)學模型基礎上→一組反映物理過程內部聯(lián)系的微分方程

傳遞過程原理方面的知識，數(shù)學模型的可靠程度將起決定性作用（1）依賴于準確可靠的數(shù)學模型，（2）依賴于合適的數(shù)學方法。1)經典的求解方法（應用范圍極其有限）即經典流體力學傳熱、傳遞過程提供的方法；獲得求解微分方程，簡化模型的封閉解，有一定的參考價值，說明某個局部問題、簡化問題、或是用于對數(shù)值方法的驗證。

11/4/2023172)數(shù)值方法代數(shù)方法代替微分方程，進而用計算機求解，隨著計算機技術及計算技術的發(fā)展，近20年來得到蓬勃的發(fā)展。數(shù)值方法的發(fā)展及大型計算機機的應用使得可對似乎任何實際問題求出數(shù)學模型隱含解。新的專業(yè)方向：CFD、CHT、CHM、CC、環(huán)境流體力學、大氣、海洋環(huán)流等…學科的蓬勃發(fā)展。

11/4/202318優(yōu)缺點3)優(yōu)點：a.成本低：硬件、實物成本下降；智力成本、知識成本上升，知識價值體現(xiàn)；b.速度快，高效能，人的智力因素起重要作用；c.可提供完備的資料：研究細節(jié)、不受干擾；局部情況，可以揭示內部規(guī)律；d.模擬真實的條件：高低溫，快、慢速；有毒、易爆等條件；e.模擬理想條件：二維、穩(wěn)態(tài)、常物性、絕熱、無干擾、有干擾等。11/4/202319優(yōu)缺點4)缺點：一分為二的觀點，缺點難免存在。a.數(shù)學模型的適用限度是關鍵因素，對于一些數(shù)學模型尚不清楚的過程（如復雜紊流、某些非牛頓流、多相流、相變過程、流變化等等）。有待于進一步的模型研究如紊流模型、非牛頓流體模型、二相氣液流等；需要提出模型，計算分析→較正模型，深化完善模型。需要的是弄清楚模型：伴有傳質過程、復雜化學反應、動力學等等。30多年來模型研究在不斷發(fā)展完善更接近于真實。11/4/202320b：即便對于已能用合適的數(shù)學模型描述的過程，如熱傳導、層流、流動、擴散過程、簡單紊流邊界層，本構方程均清楚的非牛頓流體等也存在一些問題，幾何復雜、變物性大、紊流變化快、尺度小、多孔介質，一些非穩(wěn)態(tài)（非定常）問題不得不作一定的簡化→受計算方法、計算機功能的限制、實際問題仍需作適當簡化11/4/202321→計算精度與范圍有賴于計算機及計算方法的進一步發(fā)展，如以前不能完成的，現(xiàn)在可以解決；以前只能粗略解決的，現(xiàn)可以精細分析→最好的預測方法實驗與理論相結合；各自優(yōu)點互相補充，而不是互相排斥、隨著技術的發(fā)展，理論所起作用逐漸變大。技術發(fā)展對理論和實驗二方面都提出更高的要求。11/4/202322§3本課程基本內容與安排第一部分基本理論預計課時實際第一章緒論22第二章數(shù)學描述33第三章離散化方法44第四章熱傳導與擴散46第五章對流傳熱與擴散46第六章流場計算46第七章求解方法、方法修飾22第八章專題22第九章應用實例1111/4/202323第二部分計算程序及應用預計課時實際一、基本框圖結構分析33

二、幾何處理及網(wǎng)絡44

三、主程序分析44

四、介紹部分應用程序44CFX、Phoenix、Fluent、Star-CD

第三部分考試3學時

11/4/202324§4學習本課程的基礎知識要求1.傳遞過程原理、流體力學、傳熱學2.線性代數(shù)、張量、數(shù)值計算方法3.數(shù)學物理方程4.計算機語言、計算機應用能力

11/4/202325第二章物理現(xiàn)象的數(shù)學描述重點內容：①笛卡爾坐標（x，y，z）系中流動控制微分方程組（PDE）的推導；②牛頓粘性定律及奈維爾—斯托克斯方程的獲得③控制微分方程之間的相似性及傳遞方程的定義④傳遞方程在有限時間和有限控制體積內的積分形式；⑤物理行為分類：橢圓型、拋物型和雙曲型⑥粘性流體流動的定解約束條件

11/4/202326如緒論所言，將控制傳熱、流體流動及其他有關過程的規(guī)律表達成數(shù)學形式（數(shù)學形式參見TRANSPORTPHENOMEA，流體力學，工程傳熱傳質學）后，下一步即可著手對這些過程方程進行數(shù)值解（離散化，網(wǎng)格），本章在于進一步明確相關方程的形式和意義。本課程的一個重要形式將所有方程用一個共同的形式來表達——通用變量的傳遞方程形式來表達，進而構成通用解法的基礎11/4/202327§2.1控制微分方程1)直角坐標上的穩(wěn)態(tài)過程

2)圓管內軸對稱運動

3)邊界層類型

4)TW=Const時的充分發(fā)展

5)恒定壁面熱流密度一、基本概念首先介紹一下傳遞過程現(xiàn)象中的一些基本概念11/4/2023281.主要物理量→所研究的問題（因變量）在一定時間、空間的變化①因變量（物理量）滯止焓比內能e≡h-P/ρ密度ρ[kg/m3]速度單位時間、單位面積、密度的質量流

(kg/sec/m2)/(kg/m3)=m/s質量分量mi[kg/kg]∑mi=1比焓h[J/kg],對多組分：溫度T[°K，°C]湍流動能k[m2/s2]11/4/202329湍流耗散率ε[m2/s3]其他：物性λ、μ、a、D、Cp（參數(shù)、因變量）→φ:普遍化變量→φ=f（x,y,z,t）或f（，t）2)自變量(坐標)A.

空間坐標：正交坐標系,非正交坐標系，一、二、三維B.

時間坐標：定常(穩(wěn)態(tài)),非定常(非穩(wěn)態(tài))C.

單向坐標與雙向坐標：當流速高到一定程度，為何僅影響下游？導數(shù)階數(shù)與坐標單向性的關系?11/4/2023302.向量運算(1)向量的點積A·B=aibi，i=1,2,3,Einstain

求和約定(2)向量的散度divAor

單位時間、單位法向面積內流過的通量直角坐標：

,(Ax

Ay

Az)圓球坐標：

,(Ar

Aθ

Az)球坐標：

,(ArAθAφ)11/4/202331(4)Laplace算符圓柱坐標:球坐標:(5)標量的梯度(變量變化最快的方向)由Laplace算符+圓柱與球坐標的標量梯度及向量散度公式構成gradSor▽s圓柱坐標：球坐標：

11/4/202332(6)乘積的散度▽·(sA)=s▽·A+A·▽s=(7)Kroneckerδ

δij=0，i≠j

δij=1，i=j11/4/202333二、守恒律為研究有關的物理過程,必須將它們的規(guī)律描述成相應的數(shù)學形式(一般為微分方程形式)。建立微分方程是對微元建立有關物理量的守恒關系。

守恒律表達：單位體積內某物理量的變化率=凈流入率+生成率11/4/2023341．質量守恒律圖2.2流入/流出微元的質量平衡微元內的質量增加率=進入微元的凈質量流率

11/4/202335對面積△y△z(沿x方向):在x處進入的量：在x+△x處離開的：x方向通過△y△z流出的凈流量為y方向通過△x△z流出的凈流量為z方向通過△x△y流出的凈流量為凈流入率:單位體積流入率:11/4/202336特殊情況:l

直角坐標下l

l

ρ=const密度凈流率:單位體積上:故得到一般的表達式:11/4/202337說明:本課程數(shù)值方法是通過對一個控制容積（微元）進行平衡構成的。以單位容積為基礎來表達一個項的另一個例子是變化速率。若φ是某個“比“性質，而ρ是密度，則（ρφ）就表示單位容積所包含的相應容積性質的大小。一個微分方程包括這樣的一些項：每一項代表一個以單位容積為基礎的效應，而所有各項合在一起反映著平衡或守恒規(guī)律。

11/4/2023382．運動方程牛頓第二定律描述流體粒子的動量的增加率等于作用在粒子上的合力：流體粒子的動量增長率=作用在流體粒子上的合力對粒子，沿x-，y-，z-三個方向的單位體積的動量的增長率分別為：

(2-11)11/4/2023392．運動方程

作用在流體粒子上的力可分為兩類:表面力：如壓力、粘性力；體積力：重力、離心力、哥氏力、電磁力等．通常，將表面力的貢獻以單獨的項來表示，而把體積力的貢獻歸入源項圖2.3作用在流體微元6個表面上的應力11/4/2023402．運動方程以△x△y△z微元為例圖2.4x方向的應力分量11/4/202341動量累積速率=流入的動量速率-流出的動量速率+作用在微元上的力的和

以x方向的動量為例：在微元內x方向的動量累積速率為2)在x流入微元的x方向動量

在x+△x流出微元的x方向動量

在y流入微元的x方向動量

在y+△y流出微元的x方向動量

在z流入微元的x方向動量

在z+△z流出微元的x方向動量為j方向上的質量11/4/202342由于對流作用進入微元△y△z△x的x方向的凈動量為：通過分子傳遞(因摩擦)而進入微元△y△z△x的凈流量：4)x方向作用在微元上的表面壓力：根據(jù)x方向的動量與力的平衡,最后除以△x△y△z,得到:5)在x方向作用于微元的體積力（徹體力）：11/4/202343類似地，可寫出y方向及z方向的動量方程:11/4/20234411/4/202345此即Navier-Stokes(N—S)

方程。

式中各項的意義：左端：1）單位容積內，單位時間在i方向的動量變化率。2）第二項為單位容積內、單位時間通過微元表面凈流出的i方向的動量。

11/4/202346式中各項的意義（續(xù)前頁）：右端：3）第一項為i方向流速所產生的摩擦力（單位容積內）

4）第二項為i方向單位容積內所受的表面正壓力差。5）第三項為i方向單位容積所受的體積力(如ρgi)。6）第四項為i方向除第一項外的粘性力7）當ρ=const時的低速流及粘度≈常數(shù)時，▽.V=0式中ρvi可以看成是單位容積內在i方向的“比”動量，式中ρvj可以看成是單位容積內在j方向的“比”動量。11/4/2023473．化學組分守恒方程單位容積內組分l

的增長率=

單位容積內組分l

因對流與擴散造成的凈流入率+由化學反應造成的組分l的凈生成率Jl:擴散流量密度（Fick定律）

11/4/202348式中：ml

化學組分的質量分量，Γl

擴散系數(shù)，Rl單位時間單位容積化學反應生成的物料質量.

各項意義：

1）單位容積內化學組分l的質量變化率。

2）單位容積內化學組分l的對流流出率

3）單位容積內化學組分l的擴散流入率，F(xiàn)ick定律確定

4）單位容積內化學組分l的生成率。有

11/4/2023494．能量守恒（熱力學第一定律）在忽略粘性耗散項下，有：單位容積內儲存的能量（內能e+動能，一般動能相對于內能可忽略；或）的增長率=單位容積內通過對流與擴散凈流入的能量+外功、其他能源（如輻射，電加熱等）所外加的能量+化學反應等的生成熱

qj——Fourier定律

11/4/202350多組分情形

11/4/202351單位質量流體的比焓，c為定壓比熱。各項意義：第1項單位容積內單位時間的焓變第2項單位容積內單位時間的通過微元表示表示凈對流出的熱焓。第3項單位容積內單位時間的根據(jù)定理通過熱傳導流出的熱焓第4項單位容積內單位時間的單位容積內生成的熱焓量。

11/4/202352穩(wěn)態(tài)

更進一步，對靜止流體，u=0，即得到穩(wěn)態(tài)熱傳導方程若取c=const，則

能量方程變?yōu)?1/4/202353三、傳遞律

1、熱傳導（Fourier定律）定義

2、擴散（Fick定律）11/4/2023543、粘性作用（Newton/Stokes定律）粘性應力張量，影響i方向的動量。或

此即本構方程。對非牛頓流體需給出其與變形率張量之間的關系。11/4/202355四、守恒與傳遞方程相結合

1、動量方程（運動方程）其中

當▽?v=0，又μ=const時11/4/2023562、傳質方程3、傳熱方程多組分物系

11/4/202357五、一般形式或

應清楚，對實際問題，源項S可能很復雜。如圓柱坐標、球坐標的形式極其復雜。

φ：可代表相應的物理量，如化學組分的質量分量，焓或溫度、速度分量、紊流動能或紊流耗散率。

Γ、S：對不同的物理量有相應的形式11/4/202358凡是能寫成div(gradφ)

項的擴散流量密度均可并入源項內。

結論：由通用φ變量方程形式，可編制通用的計算方法，計算程序，從而可收到事半功倍的效果。實際求解：限定相應的初始和邊界條件。11/4/202359六、湍流的時均方程實際應用中，常常會碰到紊流的問題。就工程中所遇到的實際問題，通常關心的是這種流動狀態(tài)的時間平均特性。通常的做法是將湍流分解成時均值與瞬時變化的脈動值?；緱l件是：時均值>>脈動值。這樣可通過平均運算的方法把上述不穩(wěn)態(tài)的湍流方程轉化為對紊流流動的時間平均方程。由平均運算所產生的附加項是雷諾（Reynolds）應力，紊流熱流密度，紊流擴散流量密度等。采用流動的平均性質來表示這些附加量的方法就是紊流模型的任務。

11/4/202360許多紊流模型采用紊流粘度或紊流擴散系數(shù)來表示紊流應力及流量密度。這樣，紊流的時間平均方程就具有了與層流流動方程完全相同的形式，但對如粘度μe、擴散系數(shù)De及導熱系數(shù)λe等則要由相應的有效系數(shù)取代。另一方面，當然也有其它處理紊流問題的方法。與湍流相關的一些特性：(1)強湍流區(qū)，湍流影響遠大于層流，即湍流核心μt>>μ,λt>>λ,Dt>>D(2)層流與湍流過渡區(qū)，μt≈μ,λt≈λ,Dt≈D(3)層流底層，μt<<μ,λt<<λ,Dt<<D11/4/202361時間平均：處理湍流問題的方法t：足夠大（對湍流脈動），但又不太大（尺度），一種近似處理。l

時均化規(guī)則：11/4/202362===0!——>將各守恒方程進行時均化處理，即得湍流時均方程：質量守恒：11/4/202363(設

)化學組分守恒：設，，11/4/202364動量守恒利用Boussinesq

假設：11/4/202365能量方程在無化學反應時，，∵此處的σh、σl≈const，一般由實驗確定！由上述內容知：最重要的問題如何得到μt：11/4/202366現(xiàn)已提出了多種模型，現(xiàn)代紊流理論有許多確定μt的模型，例如：(1)混合長度：（在壁面附近的近壁區(qū)有效）可比較正確地應用于平行流、管流。但對于回流問題不好，如會在處出現(xiàn)μt=0，與實際相反。一些實例：Bleeve、Patankar、Launder等人的發(fā)展。

(2)雙方程模型k~ε11/4/202367(3)其它模型

k~w、k~p、k~w~pl通用普遍化變量：11/4/202368§2坐標的性質以上內容用了不少篇幅介紹了因變量，下面講自變量

φ=φ（x,y,z,t）

因變量

自變量，包括：3個空間變量x,y,z；1個時間變量，t

對實際問題，并不是都涉及這四個所有自變量。11/4/202369

從求解角度講，所涉及的自變量數(shù)越少，需計算φ值的位置（或網(wǎng)格結點）也越少，工作量相應越少，例如：①

當有關物理量只與一個方向的空間坐標有關時，所研究的就是一維問題；當有關物理量只與兩個方向的空間坐標有關時，所研究的就是兩維問題；而當有關物理量與三個方向的空間坐標有關時，所研究的就是三維問題。②

若研究的問題與時間無關，稱為穩(wěn)態(tài)問題，反之則是非穩(wěn)態(tài)問題。11/4/202370③

因變量與自變量實際上是函數(shù)與變量的問題，并不具有唯一形式。對特定的研究對象，選擇合適的自變量和因變量類型和形式。

§2.2坐標的合適選擇對方程（組）的求解過程，由于網(wǎng)格結點的數(shù)目（計算工作量）與自變量的數(shù)目有關，因此以較少的自變量進行研究，可大大節(jié)省計算的時間。這可通過選擇合適的坐標（系），如：11/4/202371(1)在靜止的坐標系上看以恒速飛行的飛機周圍的流體動是非穩(wěn)態(tài)的；但若將坐標固定在飛機上，在這種移動坐標系內，氣流流動是穩(wěn)態(tài)的。(2)圓管內的軸對稱運動，在直角坐標系內是三維的，而在(r,θ,z)圓柱坐標系內則是二維的，顯然，φ=φ(r,z)，與角度無關

(3)坐標變換可減少自變量數(shù)量，例子有：a.平板上的二維層流邊界層給出流速僅與η

有關其中C：有因次常數(shù)，由二維問題轉化為一維問題

φ=φ(x,y)φ=φ(η)11/4/202372b.半無限固體內的不穩(wěn)定導熱，φ=φ(x,t)

對一些簡單的邊界條件，可把溫度表示成僅與ξ有關，其中

φ=φ(ξ)(同a的情形)

4)改變因變量可導致自變量數(shù)目的減少，如：a.在充分發(fā)展的通道流中，溫度T=T(x,y)。但對具有均勻壁溫TW的熱發(fā)展區(qū)，有：θ=θ(y)θ=(T-TW)/(Tb-TW)Tb：整體溫度或混合杯溫度，隨x

變化。11/4/202373b.平面自由射流是一種二維流，但可寫作：uc表示中心線上的速度，y是橫向坐標，δ是射流的特征寬度。應注意：uc

和δ均隨流動方向的坐標x而變化。

由以上分析選擇合適的坐標構造非常很重要。其中：11/4/202374§2.3單向與雙向坐標對一定的特定空間方向而言：若該處條件受某坐標方向來自兩個方向上的影響，則為雙向坐標若該處條件受某坐標方向來自一個方向上的影響，則為單向坐標時間坐標是單向的；空間坐標一般是雙向的。例：不穩(wěn)態(tài)熱傳導：上一時刻的溫度或加熱狀態(tài)影響后一時刻的溫度或熱狀態(tài)，而不會相反——>單向坐標

11/4/202375§2.3單向與雙向坐標空間坐標也可以形成近似的單向坐標：具有某一方向非常接近于單向的坐標。影響從上游傳到下游，下游條件對上游的狀態(tài)幾乎沒有影響。如雨滴、降膜液體、活塞流。對流是一種單向的過程，而擴散則具有雙向的影響

11/4/202376拋物型、橢圓型與雙曲型

a)拋物型b)橢圓型c)雙曲型方程形式如下：11/4/202377上述坐標的單向、雙向坐標正好與拋物型、橢圓型、雙曲型對應。這里：一階導數(shù)項代表單向特征，具有拋物特性二階導數(shù)項代表雙向特征，具有橢圓或雙曲特性

不穩(wěn)態(tài)導熱問題：時間坐標

拋物或單向空間坐標

橢圓或雙曲

二維邊界層問題橫向y方向

橢圓、雙曲主流x方向

拋物、單向術語：將至少存在一個單向坐標的狀態(tài)稱為拋物型狀態(tài)，否則為橢圓狀態(tài)。從計算學的觀點考慮：一個單向坐標可大大簡化計算機的存儲量和計算時間。11/4/202378以不穩(wěn)態(tài)二維熱傳導問題為例：計算時首先構成右圖的二維網(wǎng)格結點。在任一時刻，存在一個相應的溫度場。由于時間t是單向的，任一時刻的溫度場T(t)僅受上一時刻T(t-Δt)的影響，而與T(t+Δt)無關。所以計算時只需要根據(jù)時間序列順序求解。這樣，在計算時：

11/4/202379(1)內存只需提供上一時刻已知的溫度場。(2)同時處理的未知量只有一個二維的溫度數(shù)組。它與所有以后時刻的溫度值無關。(3)由此，求解大大簡化，節(jié)省了機時。

一個二維邊界層流動

沿流線計算時是一個單向問題三維通道流→沿流線計算時是一個二維問題

均可減少一維儲存及求解方程。11/4/202380單向坐標與雙向坐標的討論還可參見:Patankar，Spalding，Gosman，Pun，Runchal，Spalding、Wolfstein（1969）等的論述。雙曲型問題是比較特殊的類型。一般作為橢圓型，但若沿特征線方向，則又是單向的。

作業(yè)：2.12.22.4|2.52.711/4/202381第三章離散化方法難點內容1.定解問題的完整概念。2.數(shù)值方法與離散化方法。3.控制容積（C.V.）法的推導方法與實例。**4.源項處理（初步）。5.四項基本法則所表示或隱含的物理意義。**

11/4/202382引述：對物理現(xiàn)象的理論預測具有顯而易見的好處和優(yōu)勢。對所感興趣的物理現(xiàn)象已采用通用的微分方程（包括對流、擴散等形式）來表示：

從這里開始，探討的重點是推導求解通用方程的方法。首先，對照圖3.1來確定定解問題的含義：0）定解條件：初始條件和邊界條件1）連續(xù)體（連續(xù)介質）內的微分方程2）研究對象的域（范圍）3）域的邊界特性及相關的邊界條件4）與時間相關的問題，進一步需要限定初始條件

11/4/202383圖3.1定解問題說明11/4/202384§1數(shù)值方法與離散化的概念1．數(shù)值方法用于把連續(xù)計算域內有限數(shù)量位置處的因變量值當作基本未知量處理。研究它們之間的代數(shù)關系，最后由給定的邊界條件與初始條件，通過求解代數(shù)方程的方法得到它們的具體值。11/4/202385數(shù)值實驗

實驗研究的類似性

計算域

網(wǎng)格結點

無限

有限

圖3.2計算域及網(wǎng)格分布示意圖

11/4/2023862．離散化概念首先，連續(xù)微分方程

離散位置處的表達式（代數(shù)方程組）由此引出以下的內容：無限

有限過程

有限點（網(wǎng)格結點）這一過程就是離散化方法11/4/202387包括：1）連續(xù)空間

離散化為分割的有限空間的網(wǎng)格、控制體、網(wǎng)格結點

2）連續(xù)的信息離散在各有限點上的離散化信息3）微分方程求取離散信息（有限的）離散化方程4）微分方程的積分

差分代替微分11/4/202388要點：（1）所選取的網(wǎng)格結點上的未知的φ值的代數(shù)方程（離散化方程）由支配φ的微分方程推導得到（2）推導過程中對網(wǎng)格結點之間φ如何變化做出假設（分段假設）（3）對空間和因變量所做的離散化使我們可以用比較容易求解的代數(shù)方程組代替微分方程組

11/4/202389§2離散化方程的特點（1）由一個方程連接一組有限結點上φ值的代數(shù)關系[連接關系]（2）由φ的微分方程推導得到并表示出與之相同的信息[信息傳遞關系]（3）分段分布假設使一個方程只與少數(shù)幾個網(wǎng)格結點上的φ值有關[少量關系]最常用的關系式：（a）多項式（b）其它形式（c）分段線性11/4/202390與分段假設相關，一個網(wǎng)格結點上的φ值僅與有關的鄰點上的φ值有關。采用不同的分段分布假設，離散化方程有不同的形式。（4）當結點數(shù)增加時，各離散化方程的解趨近于相應微分方程的精確解：ngrid

增加,φneighbor變化很小，分布假設的細節(jié)因而不太重要[見下頁的圖]；（5）有限元方法與有限差分方法方程是二種可供選擇的離散化形式，差別在于分布形式及推導方法上的不同；（6）本課程的方法主要是有限差分形式，但采用了許多屬于典型的有限元方法的思想。11/4/202391數(shù)值解與分析解的對比Tx11/4/202392§3推導離散化方程的方法3．1微分方法Taylor級數(shù)方法（要求網(wǎng)格均勻分布）截斷Taylor級數(shù)代替導數(shù)項以一維為例，Δx=x2-x1=x3-x2

一維問題網(wǎng)格分布示意圖11/4/202393獲得過程：從第三項之后截斷，將方程相減得到：從第三項之后截斷，將方程相加得到：11/4/202394代入微分方程獲得由Taylor級數(shù)得到的差分方程這一方法的特點：l忽略高階項可能導致不期望的結果（如對指數(shù)形式），產生較大的誤差l所得方程無明確的守恒意義l對N-S方程等非線性方程，無法使用Taylor級數(shù)簡單可行：φ是x的多次項形式，且高階項顯得不重要

11/4/2023953．2變分公式得到離散化方程的另一個方法是變分方法。變分方法證明：求解某微分方程的問題等效于使一稱之為泛函的相關量最小化(這一點下面還將敘述)。這種等效關系就是所謂的變分原理。若相關的因變量的網(wǎng)格點值使泛函最小，則所得到的條件即給出所需要的離散化方程。變分公式的主要缺點在于它的適用范圍有限：因我們感興趣的所有微分方程都不存在變分原理。11/4/202396L(φ)=0(φ∈Ω)L1(φ)=0(ΩL上，ΩL為邊界)建立某種泛函，如：

與邊界條件有關F、g與算子L的形式有關。但對φ而言，I最小，即：即上面（A）處的泛函計小化！

給出相應的離散化方程。常見的有有限元方法

11/4/2023973．3加權余數(shù)法（權余法）本方法是求解微分方程的方法?；靖拍睿毫睿ê笑諏r間或坐標的任意導數(shù)的）微分方程可表示為：L(φ)=0(φ∈Ω)設一近似解可表示為：

將代入微分方程，得到一余數(shù)，R=L()一般，R≠0?？墒筊在某種意義上較小，以建立相應的近似代數(shù)方程組，取代原微分方程，設：11/4/202398積分在整個區(qū)域內進行，w即是權函數(shù)或加權因子。l

選擇一組加權函數(shù)分布得到一組代數(shù)方程l

N個網(wǎng)格結點上N個未知量選擇N組加權函數(shù)分布l

選擇不同的加權函數(shù)分布不同類型的分布：如有限差分、有限元法l

C.V.法是一種特殊的加權余數(shù)法如在C.V.內取w=1，其余為0。迦遼金法：主網(wǎng)格點為1，其余為0，三角形分布。

三角形權函數(shù)分布11/4/202399

為完成積分同樣需要對變量本身做分段分布假設子域法：取N在一個子域內為1，其余為0，以此建立一個方程。每個子域建立一個方程。據(jù)此，子域法又稱控制容積法。3.4控制容積C.V.法推導離散化方程的方法如前所述，控制容積公式可看成是加權余數(shù)法的一種特殊形式。（1）把計算域分成許多互不重疊的控制容積，并使每一個網(wǎng)格結點由一個控制容積所包圍；（2）應用表示網(wǎng)格結點間φ的分段分布公式計算所要求的積分；（3）得到包含一組網(wǎng)格結點處的φ值的離散化方程。11/4/2023100圖3.5C.V.

法網(wǎng)格圖根據(jù)這些原則所得到的離散化方程表示關于有限控制容積的φ的守恒原理，就象微分方程表示關于無窮小控制容積內的φ的守恒原理一樣：11/4/2023101所得到的結果意味著任何一組控制容積內，也就是在整個計算域內，如質量、動量及能量等的物理量的積分守恒等都可精確地得到滿足。對任意數(shù)目的網(wǎng)格結點，這一特征都存在。因此，即使是粗網(wǎng)格的解也同樣顯示準確的積分平衡。注：按照有限差分的觀點，只關心網(wǎng)格結點上（代表C.V.內的變量的值）變量的值，而不關心它們之間是如何變化的。因此，有關網(wǎng)格結點間的變量φ分布的假設只在推導離散化方程時有用，隨后也就沒有什么意義了。11/4/2023102選擇采用不同的分布假設時，自由度大，對微分方程中的不同的項可采用不同的分布假設進行積分構成不同的差分格式11/4/2023103§4C.V.法推導離散化方程的實例一維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程:T—溫度k—導熱系數(shù)S—源項，單位容積發(fā)熱率作下頁圖的網(wǎng)格結點群11/4/2023104以一維為例，Δx=xP-xW

=xE-xP

PWExweDx(dx)w(dx)e一維問題網(wǎng)格分布示意圖§4C.V.法推導離散化方程的實例11/4/2023105

l

積分（在C.V.內積分，一維沿x坐標進行，在圖中的w-e間進行）：

l采用分段線性分布T求dT/dx（見下圖簡單分段分布）(a)階梯式分布(b)分段線性

T的兩種簡單分段分布11/4/2023106為S在整個控制容積內的平均值。ke、kw為界面上的導熱系數(shù)值，在下一章討論其確定方法。可進一步表示為：11/4/2023107說明：

1.對二維、三維問題有類似的離散化方法

2.也可采用其它更復雜的分布假設求dT/dx；分段線性分布是最簡單的分布假設

3.對不同因變量可采用不同的分布函數(shù)，如求ke、kw也可不采用線性分布

4.即使對確定的變量，也無必要對所有各項都采用同樣的分布函數(shù)假設

5.選擇分布函數(shù)形式上的自由，導致不同變型的離散化方程形式。但當網(wǎng)格結點數(shù)目增加時，可預料所有的這些不同形式的方程都將給出相同的解。

11/4/2023108提出一些有意義的約束，以縮小可能的離散化公式數(shù)。如要求：即使采用很粗的網(wǎng)格，解也應該總滿足（新的離散化方法的依據(jù)）:1）物理上真實的性狀要求如（1）無內熱源導熱，內部溫度應該位于邊界及初始溫度范圍內；（2）被冷卻的熱固體的溫度不可能降低到周圍流體的溫度之下等。

圖3.4物理上真實與不真實的性狀11/4/20231092）總的平衡要求：在整個積分域內積分守恒。要求熱流密度、質量流量及動量通量必須準確地同相應的源和匯建立平衡。這種平衡不應只限于網(wǎng)格結點數(shù)很大時的情形，而是對于任何數(shù)目的網(wǎng)格結點均應得到滿足。

控制容積守恒+控制容積之間的連續(xù)處理控制容積界面上的熱流密度、質量流量及動量通量時需小心處理。11/4/2023110l

物理真實性+總的平衡：這兩方面的條件指導選擇分布假設及所采用的有關措施在這些約束條件的基礎上，建立一些相關的法則，從而由此發(fā)展新的公式。這樣就可直接由物理學上的原理進行指導。l

源項的處理建立基本法則前，首先對源項S進行處理。通常源項是因變量本身的函數(shù)；在構成離散化方程的過程中，需要知道這種函數(shù)關系。但我們離散化方程由線性代數(shù)方程的求解技術，形式上只考慮線性的函數(shù)關系，這通常稱之為“源項的線性化”。下一章中具體討論。這里只做簡單的表示：11/4/2023111SC：S的常數(shù)部分，SP是TP的系數(shù)，SP（P點處(C.V.內)的平均源項值）這一式中TP表示在表示平均值時，假設TP代表整個控制容積內的值，即采用階梯式分布（前已說過，對dT/dx

項采用線性分布時，可自由地對源項采用階梯式分布）。應用線性化源項表達式，離散化方程式形式為：

S=SC+SPTP11/4/2023112在此基礎上將建立離散化方程應服從的一些基本公式，以確保得到的解滿足物理上真實及總的平衡兩方面的要求。

11/4/2023113§5推導離散化方程的四條法則法則1：控制容積面上的連續(xù)作為兩個相鄰控制容積的公共面的界面，在這兩個相鄰控制容積的離散化方程內必須用相同的表達式表示通過界面的熱流密度、質量流量及動量通量（流量密度）討論：通過一個特定的面離開控制容積的流量密度必須與通過同一面進入相鄰控制容積的流量密度相同，否則將不能滿足總體平衡。這易于理解，但稍不小心就可能會違反。舉例：11/4/2023114作法1：對右圖控制容積，可能通過TW、TP、TE

的二次分布曲線計算界面上的熱流密度kdT/dx

。對下一個控制容積采用同一類公式意味著：公共界面上的梯度dT/dx

是由不同的與正要考查的控制容積有關的分布曲線求出。

11/4/2023115作法2：導致熱流密度的不連續(xù)性。假定在給定的控制容積的各表面上，熱流密度完全為控制容積中心結點的導熱系數(shù)kP

控制。在考慮P點周圍的控制容積時，界面e處的熱流密度將表示成：同理，將E點作為控制容積中心結點時，界面e的熱流密度為：11/4/2023116圖3.5由二次曲線分布所得到的熱流密度的不連續(xù)性11/4/2023117說明：并不是采用高階分布假設就更有利！為避免這種不連續(xù)性，必須將通過界面上的熱流密度當作屬于界面本身的性質，而不屬于某些特定控制容積。11/4/2023118

作法3：線性分布不會出現(xiàn)這一問題：ke的計算也會造成不必要的誤差。如采用階梯分布的導熱系數(shù)，就會出現(xiàn)這種問題，如上面所述.下一章將進一步討論這一問題。

11/4/2023119法則2：正系數(shù)（同號規(guī)則）對大多數(shù)實際問題，某一網(wǎng)格結點處的因變量值只是通過對流與擴散過程才受到相鄰網(wǎng)格結點上值的影響。這樣在其它條件不變時，在一個網(wǎng)格傳點處該因變量值的增加應當導致相鄰網(wǎng)格傳點上該值的增加（而不是減少）。即：

TE

TP

TWaE

aP

同號！aW

11/4/2023120

中心結點系數(shù)aP

與各相鄰結點的系數(shù)aE、aW

均同號。！

可全為正或全為負，但我們取全為正。即：所有的系數(shù)（aP、aE、aW）均必須為正

某些公式會違反這一法則，結果往往得到物理上不真實的解。若存在負相鄰系數(shù)，此時，邊界溫度的增加會引起相鄰網(wǎng)格結點上的溫度降低，而失去物理真實性。11/4/2023121法則3：源項的負斜率線性化

在以前離散化系數(shù)中，?？梢姡杭词顾邢噜徑Y點系數(shù)為正，由于存在SP，中心結點的系數(shù)aP

仍可能為負。但若SP≤0，也不會出現(xiàn)這種危險。故法則3成為：

11/4/2023122說明:1）從物理上講，大多數(shù)物理過程確實在源項與自變量之間有負的斜率關系。實際上正的SP往往使物理狀態(tài)變得不穩(wěn)定。正SP意味著當TP

增加時，源項也隨著增加；若沒有有效的散熱機構，這可能會反過來導致TP

增加，持續(xù)下去造成溫度飛升的不穩(wěn)定現(xiàn)象。2）從計算方法上講，保持負SP

使之不產生不穩(wěn)定性及物理上不真實解是至關重要的。下一章進一步討論源項線性化問題。但必須要注意：為使計算成功，負SP的原則是不必可少的！11/4/2023123法則4：相鄰結點系數(shù)之和控制微分方程往往只包含變量的導數(shù)項（暫不考慮源項中因變量影響）。這表明若T為因變量，則函數(shù)T

與T+C均滿足微分方程。微分方程所具有的這一特性也必定要反映在與之相對應的離散化方程中。因此，當TP

及所有Tnb

都增加同一常數(shù)時，離散化方程形式仍然適用。由此：aP

必須等于所有相鄰結點的系數(shù)之和，即要求，

(3.19)11/4/2023124討論：若TP

、Tnb

是方程(3.19)的解，則TP+C及Tnb+C同樣滿足方程(3.19)。11/4/2023125l

無源項時中心結點值TP是各相鄰結點值Tnb

的加權平均值。l

當源項與溫度有關時，T與T+C

不能同時滿足，本法則不適用。這是因為T與T+C不能同時滿足微分方程。但若取SP=0，本法則又可適用。當T

和T+C

均滿足微分方程時，所求溫度并不變成多值或不確定。T的值可由適當?shù)倪吔鐥l件唯一確定。遵守法則4可確保若邊界溫度增加一常數(shù)值，則所有溫度就會準確地增加同一常數(shù)。

11/4/2023126§6小結本章以簡單的一維熱傳導的例子推導了四條基本法則。在內容上以溫度作為因變量，這樣只是為了概念上的方便，以后將討論對通用變量φ的推導。本章里的四條法則完全適用于一般變量中，具體細節(jié)在后續(xù)章節(jié)中不斷給出。（至于）適用微分方程中的對流項，需要特殊的公式，這是第五章所討論的內容；第四章將以熱傳導問題為例討論方程的處理。11/4/2023127難點內容1.定解問題的完整概念。2.數(shù)值方法與離散化方法。3.控制容積（C.V.）法的推導方法與實例。**4.源項處理（初步）。5.四項基本法則，所表示或隱含的物理意義。**

作業(yè)：3.1，3.2，3.3，3.411/4/2023128第四章熱傳導（所有方法的基礎）重點內容：

(1)不同分布假設

(2)界面導熱系數(shù)的處理**

(3)迭代方法**

(4)源項的線性化、邊界條件的處理**

(5)不同的格式，f=0,0.5,1

對應的顯式、

C—N

格式、全隱格式**

(6)網(wǎng)格布置**

11/4/2023129§1.對象在前面，我們已建立了通用微分方程：非穩(wěn)態(tài)項對流項擴散項源項

φ=u,v,w,T,c......11/4/2023130在第四章，我們不考慮

對流項，集中處理其余的三項來構成求解通用微分方程的數(shù)值方法。l

本章實際上除了熱傳導問題外，還可用于研究位流、質量擴散、通過多孔介質的流動、充分發(fā)展通道流等。原因是這類問題的描述可用這一方程的形式。

這里的技術可直接而有效地應用于不同的領域

11/4/2023131l

解法同樣適用于以后各章，差異僅在于代數(shù)方程各項的差別。●

概念上的一致性：理解動量傳遞與擴散傳遞之間的相似性，用某種方法把速度與溫度相比擬，這對概念上大有幫助，本部分內容是后面更復雜問題的基礎。

11/4/2023132§2.一維穩(wěn)態(tài)熱傳導1、基本方程l

將通用方程中的φ換為T，討論穩(wěn)態(tài)（）熱傳導問題。(4.1)

根據(jù)第三章的離散化方法及網(wǎng)格構成圖（圖3.2），得到了對各節(jié)點的離散化方程：11/4/2023133圖4.1網(wǎng)格構成示意圖：網(wǎng)格結點及控制容積界面在圖4.1中，網(wǎng)格結點的位置是任意的，可以有許多不同的安排方案，如：等距（均勻分布）網(wǎng)格、變距（非均勻分布）網(wǎng)格。

PWExweDx(dx)w(dx)e11/4/2023134(4.2)S=SC+SPTP(4.4)

(4.3)

11/4/2023135這里，對dT/dx采用的是分段線性分布，也可采用其他分布形式。TP代表整個C.V.的值。問題在于：

a.源項S如何線性化？如何表示源項線性化的SP、SC的值？

b.網(wǎng)格構成圖中，(δx)e、(δx)w與Δx的關系？

c.界面上的ke、kw如何處理?11/4/20231362、網(wǎng)格布置圖4.1網(wǎng)格構成示意圖：網(wǎng)格結點及控制容積界面

1)網(wǎng)格間距，即(δx)e、(δx)w不必要相等。

2)網(wǎng)格面的位置，原則上可在P—E、P—W之間任意位置，不受限制。但為了方便，應用中有二種簡單的網(wǎng)格布置方法。PWExweDx(dx)w(dx)e11/4/2023137A：先確定網(wǎng)格點，界面置于網(wǎng)格點中點。網(wǎng)格可能是不等距的。網(wǎng)格點不在界面中點。邊界上有半個C.V.。B：先確定界面，區(qū)分不同區(qū)域，再將網(wǎng)格點布置在C.V.的中心（在邊界上無C.V.）這一問題在第六節(jié)還要討論。

確定網(wǎng)格分布的方法：l

可根據(jù)T~x的變化情況確定網(wǎng)格的粗細分布：在T變化劇烈、陡峭處，采用細密的網(wǎng)格；而在T變化平緩的地方采用粗網(wǎng)格。根據(jù)定性預計設計網(wǎng)格分布求T~x，在此基礎上構成合適的網(wǎng)格（均勻或非均勻網(wǎng)格）

11/4/2023138但由我們方法的本質，即便對于粗的網(wǎng)格分布，也應該獲得具有物理意義的解。計算達到的精度與網(wǎng)格數(shù)目及網(wǎng)格結點的分布方式以及與所求解問題的特性有關。通常的作法是用粗網(wǎng)格進行試探求解，之后逐步加密網(wǎng)格，確定采用合適的網(wǎng)格分布。3、界面導熱系數(shù)ke,kwke,kw分別代表界面上的值，未知。kP,kW為結點上的值，往往已知或人工規(guī)定。

11/4/2023139（1）材料的不均勻導熱系數(shù)k的（2）導熱系數(shù)k與溫度不均勻性來源于：T有關（3）湍流情況下的有效擴散系數(shù)ke,Γe。問題：在已知結點kP,kW,kE下如何求界面的ke,kw？方法1：線性內插

ke=fekP+(1-fe)kE

(4.5)其中，插值因子fe可由圖4.1所示的距離來定義：11/4/2023140

(4.6)

若fe=0.5，控制容積界面e位于P、E之間的中點，

ke=0.5(

kP+kE

)，即算術平均值。但這樣做，往往不能正確地處理組合材料之間的導熱系數(shù)突變問題，如對fe=0.5下的極限情況：圖4.2確定界面導熱系數(shù)ke的方法示意圖

11/4/2023141（1）kE很小ke=fe

kP=0.5kP，實際上應主要與kE有關，（2）kE很大ke=(1-fe)kE=0.5kE，實際上應主要與kP有關，方法2：正確的做法:

實際上主要關心的不是導熱系數(shù)在界面e上的局部值，目的在于使通過界面的熱流qe符合實際，使之得到正確反映，即：

(4.7)符合界面上實際通過的熱流密度。11/4/2023142符合界面上實際通過的熱流密度。見圖4.2，點P周圍由均勻的導熱系數(shù)kP

的材料構成，點E周圍材料的導熱系數(shù)為kE。對界面e，根據(jù)無內熱源的穩(wěn)態(tài)導熱分析：

(4.8)界面上的有效導熱系數(shù)為：

11/4/2023143

(4.9)當fe=0.5時，或

(4.10)(4.10)說明ke是kP和kE

的調和平均值！11/4/2023144(4.11)aE：表示P點和E點之間的材料的熱導，其他系數(shù)的物理意義類似。兩種極限：1）若kE=0，則由（4.10）知：ke—>0

即對絕熱層表面應無熱流密度2）kP>>kE，則：

(4.13)含義1：同調和平均值，ke完全與kP無關。熱阻主要集中在材料kE含義2：ke≠kE，而是它的1/fe11/4/2023145界面上的熱流密度為：(4.14)意義在于為得到正確的qe值，由方程(4.13)知，kP>>kE，溫度TP一直擴展到界面e處，故正確的界面熱流密度應由（4.14）給出。（4.14）可看作（4.13）中的因子fe對方程（4.7）的名義距離(δx)e的補償。11/4/2023146

對式(4.14)的說明11/4/2023147對這一極限情況的討論表明：這一公式可適用于導熱系數(shù)突然變化的情況而不需在發(fā)生突變的領域內采用極細網(wǎng)格；對組合件的處理極為方便。以上是對無內熱源的穩(wěn)態(tài)一維導熱狀態(tài)下，導熱系數(shù)在相鄰的兩個控制容積之間發(fā)生階躍變化時得到的。即使在內熱源不為零或是導熱系數(shù)連續(xù)變化的場合，采用這種調和平均表達式也比算術平均值好得多。有關內容參見后附文獻

的論作。11/4/20231484、非線性與迭代方法離散化方程[形式上]是一個線性的代數(shù)方程，可用解線性代數(shù)方程組的方法來求解。實際問題是多種多樣的，如：

1)k=f(T)2)S是T的非線性函數(shù)這些都將導致離散化方程中的系數(shù)本身將與T有關。難以直接求解，因此更多地采用迭代法求解！

11/4/2023149迭代求解的過程[打靶法]：1)開始時對所有網(wǎng)格結點上估計一個T值2)由估計的T值計算出離散化方程的系數(shù)的試探解3)解當前的線性代數(shù)方程組，得到新的估計值4)以解出的T值作為新的較好的估計值，返回第二步重復進行這一過程（迭代過程）

直至T值不再發(fā)生有意義的變化為止收斂11/4/2023150與收斂相反的可能是：迭代多次永遠不會收斂到一個解。T值可能穩(wěn)定地漂移或以不斷增大的振幅震蕩，這即是解的發(fā)散。需要確保收斂的手段！

11/4/2023151確保收斂的手段：四項基本法則，源項線性化，計算方法上的手段等，下邊具體講。5、源項的線性化源項S與T有關時，采用方程：

這一線性形式表達這一關系。原因：1)線性框架結構只允許采用一種形式的線性關系2)線性關系的組合比把S處理成常數(shù)好S是T的線性函數(shù)時，如何規(guī)定SC、SP？∵SC、SP=SC(T)、SP(T)∴SC、SP均可能隨T而變化。11/4/2023152

要求S的線性化———一個良好的表達式

——滿足非正的SP(SP≤0)例如：(1)S=a-bT，a>0，b>0處理：a.SC=a,SP=-b推薦的方法

b.SC=a-bT*,SP=0懶惰的做法

c.SC=a+c1T*,SP=-(b+c1)相當于欠松弛，使S的

變化變慢

c1>0=-c2>-b

降低升高降低

TSPT

升高降低升高

TSPT11/4/2023153(2)S=a+bT，a>0，b>0處理：a.SC=a,SP=bX!違反四項法則，可能導致

負的系數(shù)