廣東省江門(mén)市新會(huì)區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(含解析)

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一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．使二次根式有意義的x的取值范圍是（）

A．B．x≥2C．x≤2D．x≠2

2．三角形邊長(zhǎng)分別為下列各數(shù)，其中能圍成直角三角形的是（）

A．，，B．，，C．，，D．，，

3．如圖，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則EC等于（）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm

4．下列計(jì)算正確的是（）

A．B．

C．D．

5．如圖，是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)，添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）

A．B．C．D．

6．小玲的爸爸在釘制平行四邊形框架時(shí)，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條AC、BD的中點(diǎn)重疊并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是（）

A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

C．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

D．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

7．在ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，如果添加一個(gè)條件，即可推出ABCD是矩形，那么這個(gè)條件是（）

A．AB=BCB．AC=BDC．AC⊥BDD．AB⊥BD

8．若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其中∠ABC＝60°，則菱形ABCD的面積為（）

A．4B．C．2D．

9．在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．

10．如圖，正方形中，點(diǎn)P為D上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)N，點(diǎn)M垂足，交兩邊于點(diǎn)E、F，連接，則下列結(jié)論：①；②；③為常數(shù)；④，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

二．填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）

11．已知點(diǎn)，與軸上的點(diǎn)距離為，則點(diǎn)坐標(biāo)為．

12．計(jì)算：．

13．菱形有一個(gè)內(nèi)角是，邊長(zhǎng)為，則它的面積是．

14．若的周長(zhǎng)為48，且，則．

15．按下面程序計(jì)算：輸入，則輸出的答案是．

16．如圖，一根橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)（8,0），然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了cm.

17．在正方形中，．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，對(duì)角線與，分別相交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是．

三．解答題（共8小題，滿分62分）

18．計(jì)算：

19．已知：如圖，四邊形中，，求四邊形的面積．

20．已知：如圖，M是矩形外一點(diǎn)，連接、、、，且．

求證：．

21．已知，，計(jì)算：

（1）

（2）

22．ABC的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a=-1，b=2n，c=+1．

(1)判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由．

(2)若以邊b為直徑的半圓的面積為2π，求ABC的面積．

23．如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)F，使得EF＝DA，連接BF，CF．

（1）求證：四邊形BCEF是矩形；

（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的長(zhǎng)．

24．材料閱讀：在二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如，的計(jì)算，需要運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”，例如：；．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：；．根據(jù)上述知識(shí)，請(qǐng)你完成下列問(wèn)題：

(1)運(yùn)用分母有理化，化簡(jiǎn)：；

(2)運(yùn)用分子有理化，比較與的大小，并說(shuō)明理由；

(3)計(jì)算：的值．

25．如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交直線于E，垂足為F，連接．

(1)求證：；

(2)當(dāng)D在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；

(3)若D為中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

參考答案

1．B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即可求解．

【詳解】解：由題意得：

，

解得，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．

2．B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐個(gè)判斷即可．

【詳解】解：、，即以，，為邊不能組成直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；

、，即以，，為邊能組成直角三角形，故該選項(xiàng)符合題意；

、，即以，，為邊不能組成直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；

、，即以，，為邊不能組成直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：．

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的逆定理，熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

3．C

【分析】根據(jù)在□ABCD中，AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠AEB，即AB=BE，即可求出EC的長(zhǎng)度.

【詳解】∵在□ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∵AD=8cm，AB=5cm，

∴BE=5cm，BC=8cm，

∴CE=8-5=3cm，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題是對(duì)平行四邊形知識(shí)的考查，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)及角平分線知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.

4．D

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，平方差公式，二次根式的運(yùn)算逐一判斷即可．

【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、，故本選項(xiàng)符合題意．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，平方差公式，二次根式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

5．C

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項(xiàng)推理證明即可．

【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，

∵∠ABD＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠CDB，

∴BD∥CE，

∴四邊形BCED為平行四邊形，故A不符合題意；

B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵，

∴ED=CB，

∴四邊形BCED為平行四邊形，故B不符合題意；

C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

根據(jù)，不能判定四邊形BCED為平行四邊形；故C符合題意；

D、∵AE∥BC，

∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，

∵∠AEC＝∠CBD，

∴∠BDE＝∠BCE，

∴四邊形BCED為平行四邊形，故D不符合題意，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

6．A

【分析】根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論．

【詳解】解：∵O是AC、BD的中點(diǎn)，

∴OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理；熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

7．B

【詳解】解：根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形的判定可知：

添加條件AC=BD，即可推出ABCD是矩形.

故選：B.

8．D

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BE＝1，再求出AE的長(zhǎng)，然后由菱形的面積公式即可得解．

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，

則∠AEB＝90°，

∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，

∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，

∴BE＝AB＝1，

∴AE＝BE＝，

∴菱形的面積＝BC×AE＝2×＝2．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．

9．D

【分析】根據(jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)可知，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可獲得答案．

【詳解】解：∵的對(duì)角線與相交于坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形以及中心對(duì)稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

10．D

【詳解】證明四邊形是平行四邊形，可得，再由垂直平分，可證，從而證明，即可判斷①；過(guò)點(diǎn)N作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，，利用勾股定理可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而證明，可得，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，即可判斷②；延長(zhǎng)到點(diǎn)T，使，證明，從而可證是等腰直角三角形，可得，即可判斷③；設(shè)與交于點(diǎn)O，由，，即可判斷④．

解：①作，交于Q．

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵垂直平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在與中，

，

∴，

∴，

故①正確；

②過(guò)點(diǎn)N作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，，

又∵，

∴四邊形是矩形，

∴，，

∵，

∴，

∵垂直平分，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，故②正確；

③延長(zhǎng)到點(diǎn)T，使，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

∴，故③正確；

設(shè)與交于點(diǎn)O，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，故④正確．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．

11．或

【分析】根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中找到點(diǎn)，，然后根據(jù)勾股定理來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【詳解】解：如圖所示：符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，

∵點(diǎn)，

∴，

∵，

∴在直角中，根據(jù)勾股定理知，

∴．

同理可得，

綜上所示，點(diǎn)的坐標(biāo)是或，

故答案為：或．

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答該題時(shí)，采用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．

12．5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的平方運(yùn)算法則和算術(shù)平方根的定義求解即可．

【詳解】解：原式．

故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的平方運(yùn)算以及算術(shù)平方根的求解，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵．

13．

【分析】先求菱形的高，再運(yùn)用公式：底高計(jì)算．可畫(huà)出草圖分析．

【詳解】解：如圖，，．

作于，則．

面積，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的面積求法．菱形的面積有兩種求法：（1）利用底乘以相應(yīng)底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面積兩條對(duì)角線的乘積．具體用哪種方法要看已知條件來(lái)選擇．

14．8

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再由周長(zhǎng)為48可得鄰邊之和為24，然后根據(jù)計(jì)算出即可．

【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∵的周長(zhǎng)為48，

，

．

故答案為：8．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形兩組對(duì)邊相等．

15．30

【分析】根據(jù)題意，先列式，再代入求值即可．

【詳解】解：當(dāng)時(shí)，．

故答案為：30．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)程序流程圖進(jìn)行運(yùn)算，讀懂程序流程圖并列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．

16．2

【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長(zhǎng)，則AD+BD-AB即為橡皮筋拉長(zhǎng)的距離．

【詳解】Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；

根據(jù)勾股定理，得：AD==5（cm）；

∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm．

故答案是：2．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．

17．##

【分析】先構(gòu)造出直角三角形，利用三角函數(shù)求出，，進(jìn)而求出，再構(gòu)造出等腰三角形，求出，最后用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出．

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，

∴，

∵點(diǎn)是正方形的邊中點(diǎn)，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∵是正方形的對(duì)角線，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

由折疊得，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

根據(jù)勾股定理得，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造在出等腰三角形．

18．2

【分析】利用平方差公式，根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得答案．

【詳解】原式=

=

=．

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

19．．

【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再利用三角形的面積公式求解即可．

【詳解】解：如圖所示，連接．

∵

∴，

在中，，

∴是直角三角形，

∴，

，

．

故四邊形ABCD的面積為．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀是解答此題的關(guān)鍵．

20．見(jiàn)詳解

【分析】可證，從而可證（），即可求證．

【詳解】證明：四邊形是矩形，

，，

，

，

，

，

在和中

，

（），

．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵．

21．（1）4；（2）6

【分析】（1）根據(jù)題意，把代數(shù)式進(jìn)行整理，然后代入進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；

（2）直接代入求值，即可得到答案．

【詳解】解：（1）當(dāng)，時(shí)，

原式

；

（2）當(dāng)，時(shí)，

原式

．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．

22．(1)直角三角形，理由見(jiàn)解析

(2)6

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）根據(jù)圓的面積公式可得π（）2=2π，從而求出b的值，進(jìn)而求出n，a的值，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【詳解】（1）解：△ABC是直角三角形，理由：

∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1，

∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=（n2+1）2，c2=（n2+1）2，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）由題意得：π（）2=2π，

∴b=4或b=-4（舍去），

∴2n=4，

∴n=2，

∴a=n2-1=3，

∴△ABC的面積=ab=×3×4=6，

∴△ABC的面積為6．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．

23．（1）見(jiàn)解析；（2）EF=．

【分析】（1）先證明四邊形BCEF是平行四邊形，再根據(jù)垂直，即可求證；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面積法求得CE，勾股定理即可求解．

【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵EF=DA，

∴EF=BC，EF∥BC，

∴四邊形BCEF是平行四邊形，

又∵CE⊥AD，

∴∠CEF=90°，

∴平行四邊形BCEF是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB=3，

∵CF=4，DF=5，

∴CD2+CF2=DF2，

∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，

∴△CDF的面積=DF×CE=CF×CD，

∴CE=，

由（1）