湘教版（2023）必修第二冊 1.4向量的分解與坐標(biāo)表示 課件+學(xué)案 （共4份打包）

第第頁湘教版（2023）必修第二冊1.4向量的分解與坐標(biāo)表示課件+學(xué)案（共4份打包）1.4.1向量分解及坐標(biāo)表示

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一平面向量基本定理

1．定理：設(shè)e1，e2是平面上兩個(gè)________向量，則

(1)平面上每個(gè)向量v都可以分解為e1，e2的實(shí)數(shù)倍之和，即________，其中x，y是實(shí)數(shù)．

(2)實(shí)數(shù)x，y由________唯一決定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，則x＝x′，y＝y(tǒng)′.

2．基：我們稱不共線向量e1，e2組成平面上的一組基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系數(shù)x，y組成的有序數(shù)組(x，y)，稱為v在這組基下的坐標(biāo)．

狀元隨筆平面向量基本定理的理解

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，的選取不唯一，即一個(gè)平面可以有多組的基．

(2)平面內(nèi)的任一向量都可以沿基進(jìn)行分解．

(3)基確定后，實(shí)數(shù)λ1、λ2是唯一確定的．

要點(diǎn)二平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示

1．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)________的向量，叫作把向量正交分解．

2．平面上互相垂直的________向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．

3．若單位向量e1，e2的夾角為90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1與v的夾角為α，則v＝____________．

狀元隨筆標(biāo)準(zhǔn)正交基是平面向量的一組特殊的基．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基．()

(2)平面向量的基確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都能用這個(gè)基唯一表示．()

(3)若{e1，e2}是平面α內(nèi)所有向量的一個(gè)基，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α內(nèi)．()

(4)基向量可以是零向量．()

2．(多選)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，下列向量組是這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基的是()

A．與B．與

C．與D．與

3．已知AD是△ABC的中線，＝a，＝b，以a，b為基表示，則＝()

A．(a－b)B．2b－a

C．(b－a)D．2b＋a

4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標(biāo)表示a＝________．

題型1對平面向量基本定理的理解

例1(1)設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()

A．e1，e2一定平行

B．e1，e2的模相等

C．對同一平面內(nèi)的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

D．若e1，e2不共線，則對同一平面內(nèi)的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

(2)(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一組基，下列四組向量中能作為基的是()

A．e2和e1＋e2B．2e1－4e2和－e1＋2e2

C．e1和e1－e2D．e1＋2e2和2e1＋e2

方法歸納

對基的理解

(1)兩個(gè)向量能否作為一組基，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．

(2)一個(gè)平面的基一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則

提醒：一個(gè)平面的基不是唯一的，同一個(gè)向量用不同的基表示，表達(dá)式不一樣．

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，其中可作為基的一組向量是()

A．B．

C．D．

題型2平面向量基本定理的應(yīng)用

角度1用基表示平面向量

例2如圖所示，在△ABC中，M是AB的中點(diǎn)，且＝，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b，試用基{a，b}表示向量.

方法歸納

用基表示向量的兩種基本方法

用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．

角度2利用平面向量基本定理求參數(shù)

例3在三角形ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足＝＝2，若＝x＋y，則x＋y＝________．

方法歸納

(1)利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次，然后利用系數(shù)相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有

(2)充分利用平面幾何知識對圖中的有關(guān)點(diǎn)進(jìn)行精確定位，往往可使問題更便于解決．

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線上的向量＝a，＝b，試用基{a，b}表示.

題型3平面向量的坐標(biāo)表示

例4在平面直角坐標(biāo)系中，向量a，b，c的方向如圖所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐標(biāo)．

方法歸納

始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)由終點(diǎn)的坐標(biāo)決定．一般可以借助三角函數(shù)的定義來確定點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)需明確點(diǎn)所在的象限，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸正方向的夾角．

跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，{e1，e2}是一組基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則向量a的坐標(biāo)為()

A．(1，3)

B．(3，1)

C．(－1，－3)

D．(－3，－1)

(2)如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示為()

A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j

易錯(cuò)辨析對基成立的條件理解有誤

例5已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，則向量a與b共線的條件為()

A．λ＝0B．e2＝0

C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0

解析：設(shè)a＝kb(k∈R)，即e1＋λe2＝2ke1，∴(1－2k)e1＋λe2＝0，∴(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1≠0，則e1＝，此時(shí)e1∥e2；若2k－1＝0，則λ＝0或e2＝0.∵0與任意向量平行，∴a與b共線的條件為e1∥e2或λ＝0.故選D.

答案：D

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

忽略基的條件“兩個(gè)向量不共線”導(dǎo)致錯(cuò)誤．平面內(nèi)任意一對不共線的向量都可以組成表示該平面內(nèi)所有向量的一組基，一定要注意“不共線”這一條件，還要注意零向量不能作為基．

1．4.1向量分解及坐標(biāo)表示

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

1．不共線(1)v＝xe1＋ye2(2)v＝xe1＋ye2

要點(diǎn)二

1．互相垂直2.單位{i，j}3.(rcosα，rsinα)

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×

2．解析：A中：與不共線；B中：＝－，則與共線；C中：與不共線；D中：＝－，則與共線．由平面向量基的概念知，只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基，故AC滿足題意．

答案：AC

3．解析：如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點(diǎn)，從而＝)，則＝2＝2b－a.

答案：B

4．解析：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標(biāo)表示a＝(2，－3)．

答案：(2，－3)

題型探究·課堂解透

例1解析：(1)D選項(xiàng)符合平面向量基本定理．故選D.

(2)e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基，

e2和e1＋e2，顯然不共線，可以作為基；

e1和e1－e2，顯然不共線，可以作為基；

2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共線，不可以作為基；

因?yàn)閑1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共線，可以作為基．

答案：(1)D(2)ACD

跟蹤訓(xùn)練1解析：由基的概念可知，作為基的一組向量不能共線．由題圖可知，與共線，與共線，與共線，均不能作為基向量，與不共線，可作為基向量．

答案：B

例2解析：易得＝＝b，＝＝a，

由N，E，B三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.

由C，E，M三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.

所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}為基，

所以解得所以＝a＋b.

例3解析：依題意有＝＝－，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.

答案：－

跟蹤訓(xùn)練2解析：方法一設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，則有＝＝＝a，＝＝＝b，

所以＝＝＝a－b，

＝＝a＋b.

方法二設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)，又

所以

解得

即＝a－b，＝a＋b.

例4解析：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．

a1＝|a|cos45°＝2×＝，

a2＝|a|sin45°＝2×＝，

b1＝|b|cos120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin120°＝3×＝，

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.

∴a＝()，b＝，c＝(2，－2)．

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)因?yàn)閑1，e2分別是x軸、y軸正方向上的兩個(gè)單位向量，由題圖可知a＝e1＋3e2，根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義可知a＝(1，3)．

(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝(2，3)＝2i＋3j，＝(4，2)＝4i＋2j，

所以＝＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.

答案：(1)A(2)C(共29張PPT)

1.4.1向量分解及坐標(biāo)表示

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一平面向量基本定理

1．定理：設(shè)e1，e2是平面上兩個(gè)________向量，則

(1)平面上每個(gè)向量v都可以分解為e1，e2的實(shí)數(shù)倍之和，即__________，其中x，y是實(shí)數(shù)．

(2)實(shí)數(shù)x，y由___________唯一決定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，則x＝x′，y＝y(tǒng)′.

2．基：我們稱不共線向量e1，e2組成平面上的一組基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系數(shù)x，y組成的有序數(shù)組(x，y)，稱為v在這組基下的坐標(biāo)．

不共線

v＝xe1＋ye2

v＝xe1＋ye2

狀元隨筆

平面向量基本定理的理解

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，的選取不唯一，即一個(gè)平面可以有多組的基．

(2)平面內(nèi)的任一向量都可以沿基進(jìn)行分解．

(3)基確定后，實(shí)數(shù)λ1、λ2是唯一確定的．

要點(diǎn)二平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示

1．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)________的向量，叫作把向量正交分解．

2．平面上互相垂直的________向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．

3．若單位向量e1，e2的夾角為90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1與v的夾角為α，則v＝____________．

狀元隨筆

標(biāo)準(zhǔn)正交基是平面向量的一組特殊的基．

互相垂直

單位

{i，j}

(rcosα，rsinα)

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基．()

(2)平面向量的基確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都能用這個(gè)基唯一表示．()

(3)若{e1，e2}是平面α內(nèi)所有向量的一個(gè)基，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α內(nèi)．()

(4)基向量可以是零向量．()

×

√

×

×

2．(多選)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，下列向量組是這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基的是()

A．與B．與

C．與D．與

答案：AC

解析：A中：與不共線；B中：＝－，則與共線；C中：與不共線；D中：＝－，則與共線．由平面向量基的概念知，只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基，故AC滿足題意．

3．已知AD是△ABC的中線，＝a，＝b，以a，b為基表示，則＝()

A．(a－b)B．2b－a

C．(b－a)D．2b＋a

答案：B

解析：如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點(diǎn)，從而＝)，則＝2＝2b－a.

4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標(biāo)表示a＝________．

(2，－3)

解析：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標(biāo)表示a＝(2，－3)．

題型探究·課堂解透

題型1對平面向量基本定理的理解

例1(1)設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()

A．e1，e2一定平行

B．e1，e2的模相等

C．對同一平面內(nèi)的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

D．若e1，e2不共線，則對同一平面內(nèi)的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

答案：D

解析：D選項(xiàng)符合平面向量基本定理．故選D.

(2)(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一組基，下列四組向量中能作為基的是()

A．e2和e1＋e2B．2e1－4e2和－e1＋2e2

C．e1和e1－e2D．e1＋2e2和2e1＋e2

答案：ACD

解析：e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基，

e2和e1＋e2，顯然不共線，可以作為基；

e1和e1－e2，顯然不共線，可以作為基；

2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共線，不可以作為基；

因?yàn)閑1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共線，可以作為基．

方法歸納

對基的理解

(1)兩個(gè)向量能否作為一組基，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．

(2)一個(gè)平面的基一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則

提醒：一個(gè)平面的基不是唯一的，同一個(gè)向量用不同的基表示，表達(dá)式不一樣．

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，其中可作為基的一組向量是()

A．B．

C．D．

答案：B

解析：由基的概念可知，作為基的一組向量不能共線．由題圖可知，與共線，與共線，與共線，均不能作為基向量，與不共線，可作為基向量．

題型2平面向量基本定理的應(yīng)用

角度1用基表示平面向量

例2如圖所示，在△ABC中，M是AB的中點(diǎn)，且＝，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b，試用基{a，b}表示向量.

解析：易得＝＝b，＝＝a，

由N，E，B三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.

由C，E，M三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.

所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}為基，

所以解得所以＝a＋b.

方法歸納

用基表示向量的兩種基本方法

用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．

角度2利用平面向量基本定理求參數(shù)

例3在三角形ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足＝＝2，若＝x＋y，則x＋y＝________．

－

解析：依題意有＝＝－，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.

方法歸納

(1)利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次，然后利用系數(shù)相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有

(2)充分利用平面幾何知識對圖中的有關(guān)點(diǎn)進(jìn)行精確定位，往往可使問題更便于解決．

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線上的向量＝a，＝b，試用基{a，b}表示.

解析：方法一設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，則有＝＝＝a，＝＝＝b，所以＝＝＝a－b，

＝＝a＋b.

方法二設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)，又

所以解得

即＝a－b，＝a＋b.

題型3平面向量的坐標(biāo)表示

例4在平面直角坐標(biāo)系中，向量a，b，c的方向如圖所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐標(biāo)．

解析：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．

a1＝|a|cos45°＝2×＝，

a2＝|a|sin45°＝2×＝，

b1＝|b|cos120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin120°＝3×＝，

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.

∴a＝()，b＝，c＝(2，－2)．

方法歸納

始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)由終點(diǎn)的坐標(biāo)決定．一般可以借助三角函數(shù)的定義來確定點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)需明確點(diǎn)所在的象限，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸正方向的夾角．

跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，{e1，e2}是一組基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則向量a的坐標(biāo)為()

A．(1，3)

B．(3，1)

C．(－1，－3)

D．(－3，－1)

答案：A

解析：因?yàn)閑1，e2分別是x軸、y軸正方向上的兩個(gè)單位向量，由題圖可知a＝e1＋3e2，根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義可知a＝(1，3)．

(2)如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示為()

A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j

解析：記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝(2，3)＝2i＋3j，＝(4，2)＝4i＋2j，

所以＝＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.

答案：C

易錯(cuò)辨析對基成立的條件理解有誤

例5已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，則向量a與b共線的條件為()

A．λ＝0B．e2＝0

C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0

解析：設(shè)a＝kb(k∈R)，即e1＋λe2＝2ke1，∴(1－2k)e1＋λe2＝0，∴(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1≠0，則e1＝，此時(shí)e1∥e2；若2k－1＝0，則λ＝0或e2＝0.∵0與任意向量平行，∴a與b共線的條件為e1∥e2或λ＝0.故選D.

答案：D

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

忽略基的條件“兩個(gè)向量不共線”導(dǎo)致錯(cuò)誤．平面內(nèi)任意一對不共線的向量都可以組成表示該平面內(nèi)所有向量的一組基，一定要注意“不共線”這一條件，還要注意零向量不能作為基．?1．4.2向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一平面向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

文字?jǐn)⑹龇柋硎?/p>

加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________

減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝________________

數(shù)乘一個(gè)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘以向量相應(yīng)的坐標(biāo)若a＝(x，y)，則λa＝__________

向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)

狀元隨筆(1)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系，即兩向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，但它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，則＝(3，3)，＝(3，3)，顯然＝，但A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)都不相同．

(2)運(yùn)算時(shí)，注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)的順序不要顛倒．

要點(diǎn)二中點(diǎn)坐標(biāo)公式

已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是線段P1P2的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________．

要點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

向量a，b(b≠0)共線的充要條件是________________．

狀元隨筆已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

(1)當(dāng)≠0→時(shí)，＝λ.

這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量與的長度及方向之間的關(guān)系．

(2)x1y2－x2y1＝0.

這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)、程序化的特征．

(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，＝，即兩向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．()

(2)向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)相等向量的坐標(biāo)相同．()

(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，則b－a等于()

A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)

3．已知M(2，3)，N(3，1)，則的坐標(biāo)是()

A．(2，－1)B．(－1，2)C．(－2，1)D．(1，－2)

4．已知A(1，2)，B(4，5)．若＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

例1已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n.

方法歸納

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用．

(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解．

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知向量a＝，a＋3b＝(5，－3)，則b＝()

A．(－3，2)B．(3，－2)

C．(3，0)D．(9，6)

(2)設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c等于()

A．(1，－1)B．(－1，1)

C．(－4，6)D．(4，－6)

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

例2如圖，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，用向量的方法證明：DE∥BC.

方法歸納

建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可以很容易地解決一些平面幾何問題．

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，且BQ＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求的值．

向量共線的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

角度1向量共線的判定

例3判斷下列各組中的向量是否平行：

(1)a＝(1，3)，b＝(2，4)；

(2)a＝(1，2)，b＝.

方法歸納

向量共線的判定方法

(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.

(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．

角度2利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)

例4已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值為()

A．B．C．1D．2

方法歸納

根據(jù)向量共線的條件求參數(shù)問題的兩種思路

(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．

(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0求解．

角度3三點(diǎn)共線問題

例5(1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；

(2)設(shè)向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？

方法歸納

利用向量解決三點(diǎn)共線問題的一般思路：(1)利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)向量，求出唯一確定的實(shí)數(shù)λ；(2)利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出兩向量共線，再結(jié)合兩向量過同一點(diǎn)，可得兩向量所在的直線必重合，即三點(diǎn)共線．

跟蹤訓(xùn)練3已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．

(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．

易錯(cuò)辨析轉(zhuǎn)換向量關(guān)系失誤

例6平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且＝，連接DC并延長至點(diǎn)E，使||＝||，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．

解析：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝，∴＝)．∴＝2＝(3，－6)．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，－6)．

又∵||＝||，且E在DC的延長線上，∴＝－.

設(shè)E(x，y)，則(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，

得解得

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

答案：

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

不能將“||＝||，且E在DC的延長線上”轉(zhuǎn)化為“＝－”而導(dǎo)致失誤．在將模的關(guān)系轉(zhuǎn)換為向量之間的關(guān)系時(shí)，均需要從方向角度加以分析，若不能確定，則需要分類討論．

課堂十分鐘

1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐標(biāo)是()

A．(－4，2)B．(－4，－2)

C．(4，2)D．(4，－2)

2．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)且a∥b，則m＝()

A．－2B．2C．－D．

3．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P，向量＝，向量＝，那么MN中點(diǎn)坐標(biāo)為()

A．B．

C．D．

4．設(shè)A，B，且＝3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________．

5．已知向量＝i－2j，＝2i＋μj，其中i，j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)μ的值，使A，B，C三點(diǎn)共線．

1．4.2向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)

要點(diǎn)二

要點(diǎn)三

x1y2－x2y1＝0

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．

答案：B

3．解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．

答案：B

4．解析：設(shè)P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，

即解得

答案：(3，4)

題型探究·課堂解透

例1解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

∴實(shí)數(shù)m的值為－1，n的值為－1.

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)b＝(m，n)，

因?yàn)閍＝(－4，3)，所以a＋3b＝(－4，3)＋3(m，n)＝(－4＋3m，3＋3n)，

又a＋3b＝(5，－3)，

所以，

解得m＝3，n＝－2.

故b＝(3，－2)．

(2)因?yàn)橄蛄?a，3b－2a，c對應(yīng)的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．

答案：(1)B(2)D

例2證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)||＝1，則||＝1，||＝2.

因?yàn)镃E⊥AB，而AD＝DC，

所以四邊形AECD為正方形，

從而可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．

又因?yàn)椋?－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，

＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，

所以＝，

因此∥，即DE∥BC.

跟蹤訓(xùn)練2解析：如圖，分別以邊AB，AD所在的直線為x軸，y軸，

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0，0)，P(2，3)，B(4，0)，C(4，3)，Q(4，2)．

∵＝(4，3)，＝(2，3)，＝(4，2)，

由＝λ＋μ，得(4，3)＝(2λ＋4μ，3λ＋2μ)，

∴解得

∴＝.

例3解析：方法一(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，

∴a與b不平行．

(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.

方法二(1)∵≠，∴a與b不平行．

(2)∵＝，∴a∥b.

例4解析：方法一由題意得

a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，

2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．

∵(a＋2b)∥(2a－2b)，

∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.

方法二假設(shè)a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，

∴方程組顯然無解，

∴a＋2b與2a－2b不共線，這與(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，∴假設(shè)不成立，∴a，b共線，∴＝2，解得λ＝.

答案：A

例5解析：(1)因?yàn)椋剑?4，8)，

＝＝(6，12)，

所以＝，即與共線．

又與有公共點(diǎn)A，故A，B，C三點(diǎn)共線．

(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則共線．

又＝＝(4－k，－7)，

＝＝(10－k，k－12)，

所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.

解得k＝－2或k＝11.

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．

因?yàn)閗a－b與a＋2b共線，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－.

(2)＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，

＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．

因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以∥.

所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.

[課堂十分鐘]

1．解析：3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(4，－2)．

答案：D

2．解析：∵a∥b，a＝(－2，3)，b＝(3，m)，

∴－2m－9＝0，解得m＝－.

答案：C

3．解析：由題意M點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－3)＋(1，2)＝(3，－1)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－3)＋(－2，0)＝(0，－3)，

所以MN中點(diǎn)坐標(biāo)為[(3，－1)＋(0，－3)]＝(，－2)．

答案：A

4．解析：∵A，B＝3，

所以＝＝＝，即＝，

∴＝＝＋3＝＋3＝.

答案：(－7，9)

5．解析：方法一∵A，B，C三點(diǎn)共線，即共線，

∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，即i－2j＝λ(2i＋μj)．

可得解得故當(dāng)μ＝－4時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線．

方法二依題意得i＝(1，0)，j＝(0，1)，∴＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，＝2(1，0)＋μ(0，1)＝(2，μ)．

∵A，B，C三點(diǎn)共線，即共線，∴1×μ－2×(－2)＝0，解得μ＝－4.故當(dāng)μ＝－4時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線．(共37張PPT)

1.4.2向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一平面向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

文字?jǐn)⑹龇柋硎?/p>

加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________

減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝________________

數(shù)乘一個(gè)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘以向量相應(yīng)的坐標(biāo)若a＝(x，y)，則λa＝__________

向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

(x1＋x2，y1＋y2)

(x1－x2，y1－y2)

(λx，λy)

狀元隨筆

(1)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系，即兩向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，但它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，則＝(3，3)，＝(3，3)，顯然＝，但A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)都不相同．

(2)運(yùn)算時(shí)，注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)的順序不要顛倒．

要點(diǎn)二中點(diǎn)坐標(biāo)公式

已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是線段P1P2的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

為____________．

要點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

向量a，b(b≠0)共線的充要條件是____________．

x1y2－x2y1＝0

狀元隨筆

已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

(1)當(dāng)≠0→時(shí)，＝λ.

這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量與的長度及方向之間的關(guān)系．

(2)x1y2－x2y1＝0.

這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)、程序化的特征．

(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，＝，即兩向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．()

(2)向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)相等向量的坐標(biāo)相同．()

(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()

×

×

√

×

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，則b－a等于()

A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)

答案：B

解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．

3．已知M(2，3)，N(3，1)，則的坐標(biāo)是()

A．(2，－1)B．(－1，2)C．(－2，1)D．(1，－2)

答案：B

解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．

4．已知A(1，2)，B(4，5)．若＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

(3，4)

解析：設(shè)P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，

即解得

題型探究·課堂解透

題型1平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

例1已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n.

解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

∴實(shí)數(shù)m的值為－1，n的值為－1.

方法歸納

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用．

(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解．

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知向量a＝，a＋3b＝(5，－3)，則b＝()

A．(－3，2)B．(3，－2)

C．(3，0)D．(9，6)

答案：B

解析：設(shè)b＝(m，n)，

因?yàn)閍＝(－4，3)，所以a＋3b＝(－4，3)＋3(m，n)＝(－4＋3m，3＋3n)，

又a＋3b＝(5，－3)，所以，解得m＝3，n＝－2.

故b＝(3，－2)．

(2)設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c等于()

A．(1，－1)B．(－1，1)

C．(－4，6)D．(4，－6)

答案：D

解析：因?yàn)橄蛄?a，3b－2a，c對應(yīng)的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．

題型2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

例2如圖，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，用向量的方法證明：DE∥BC.

證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)||＝1，則||＝1，||＝2.

因?yàn)镃E⊥AB，而AD＝DC，

所以四邊形AECD為正方形，

從而可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．

又因?yàn)椋?－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，

＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，

所以＝，

因此∥，即DE∥BC.

方法歸納

建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可以很容易地解決一些平面幾何問題．

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，且BQ＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求的值．

解析：如圖，分別以邊AB，AD所在的直線為x軸，y軸，

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0，0)，P(2，3)，B(4，0)，C(4，3)，Q(4，2)．

∵＝(4，3)，＝(2，3)，＝(4，2)，

由＝λ＋μ，得(4，3)＝(2λ＋4μ，3λ＋2μ)，

∴解得

∴＝.

題型3向量共線的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

角度1向量共線的判定

例3判斷下列各組中的向量是否平行：

(1)a＝(1，3)，b＝(2，4)；

(2)a＝(1，2)，b＝.

解析：方法一(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，∴a與b不平行．

(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.

方法二(1)∵≠，∴a與b不平行．

(2)∵＝，∴a∥b.

方法歸納

向量共線的判定方法

(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.

(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．

角度2利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)

例4已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值為()

A．B．C．1D．2

答案：A

解析：方法一由題意得

a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，

2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．

∵(a＋2b)∥(2a－2b)，

∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.

方法二假設(shè)a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，

∴方程組顯然無解，

∴a＋2