高三北師大版文科數(shù)學第38講 空間幾何體的表面積與體積 含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)（三十八）［第38講空間幾何體的表面積與體積](時間:45分鐘分值：100分）eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2012·東北三校聯(lián)考］設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24π圖K38－12．[2011·西安三檢]如圖K38－1是一個幾何體的三視圖，若它的體積是3eq\r(3），則圖中主視圖所標a＝(）A．1B。eq\f（\r(3）,2）C.eq\r(3）D．2eq\r（3)3．一個與球心距離為1的平面截球體所得的圓面面積為π，則該球的表面積為（）A．8πB．4πC.eq\f(32π，3)D.eq\f（4\r（2）,3）π4．已知正五棱臺的上、下底面邊長分別為4cm和6cm，側(cè)棱長為5eq\a\vs4\al\co1（能力提升）5．［2012·長春二聯(lián)]如圖K38－2所示是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）圖K38－2A。eq\f（1，2)B．1C.eq\f（3,4）D.eq\f(3,2)6．［2012·湖北荊州中學三模]一個幾何體的三視圖如圖K38－3所示，則這個幾何體的體積為()圖K38－3A。eq\f(\r（3），2)B.eq\f（1，2）C。eq\f（3，2)D。eq\f(\r（3），2)＋17．［2012·唐山期末］一個幾何體的三視圖如圖K38－4所示，其中主視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為(）圖K38－4A.eq\f(16π,3)B.eq\f(8π,3）C．4eq\r（3）D．2eq\r（3)π8．如圖K38－5，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐P－ABC,則此正三棱錐的側(cè)面積是()圖K38－5A．3eq\r(5)B．5eq\r(13）C．3eq\r（15）D．4eq\r（15)9．［2012·武漢適應性訓練］一個多面體的三視圖如圖K38－6所示，其中主視圖是正方形，左視圖是等腰三角形．則該幾何體的表面積為()A．88B．98C．108D．158圖K38－6圖K38－710．［2012·長春調(diào)研]某幾何體的三視圖如圖K38－7所示,這個幾何體的內(nèi)切球的體積為________．11．[2012·哈爾濱質(zhì)檢］一個底面是直角梯形的四棱錐的三視圖如圖K38－8所示,則此四棱錐的四個側(cè)面的面積的和是________．圖K38－812．已知圓錐的底面半徑為eq\r(3)，軸截面為正三角形，則其內(nèi)切球的表面積為________．13．長方體ABCD－A1B1C1D1的體積為V,P是DD1的中點，Q是AB上的動點，則四面體P－CDQ的體積是________14．（10分）已知某幾何體的俯視圖是如圖K38－9所示的矩形,主視圖是一個底邊長為8,高為4的等腰三角形，左視圖是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．(1）求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.圖K38－915．（13分）一直三棱柱高為6cm，底面三角形的邊長分別為3cm，4eq\a\vs4\al\co1（難點突破）16．(12分)如圖K38－10所示，從三棱錐P－ABC的頂點P沿著三條側(cè)棱PA，PB，PC剪開成平面圖形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3。(1)在三棱錐P－ABC中,求證:PA⊥BC；（2）若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱錐P－ABC的體積．圖K38－10

課時作業(yè)(三十八)【基礎(chǔ)熱身】1．B[解析]由于長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，則長方體的體對角線長為eq\r(（2a)2＋a2＋a2)＝eq\r(6）a.又長方體外接球的直徑2R等于長方體的體對角線，∴2R＝eq\r（6）a.∴S球＝4πR2＝6πa2。故選B.2．C［解析]由三視圖可知，該幾何體為一個平臥的三棱柱，結(jié)合圖中的尺寸可得V＝eq\f(1,2）×2×a×3＝3eq\r（3)，∴a＝eq\r(3).3．A[解析］如圖，設(shè)截面的半徑為r，則πr2＝π，r＝1，又已知球心與截面的距離d＝1，則球的半徑R＝eq\r（r2＋d2)＝eq\r（2)，球的表面積S＝4πR2＝8π.4．50eq\r（6)[解析］側(cè)面高為eq\r（52－1）＝2eq\r(6)，所以側(cè)面積為S＝5×eq\f（(4＋6）×2\r(6），2)＝50eq\r(6）(cm2)．【能力提升】5．A[解析]由題意可知，該幾何體為一個四棱錐，底面面積為eq\f（3,2），高為1，體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3，2）×1＝eq\f（1,2）。故選A.6．B[解析]如圖由三視圖可知，該幾何體是一個橫放的四棱錐，底面是直角梯形(上底為1,下底為2，高為1),高為1，故這個幾何體的體積為V＝eq\f(1，3)eq\f（（1＋2）×1,2）×1＝eq\f(1,2）。7．A[解析］設(shè)外接球的半徑為R，則R2＝1＋(eq\r（3)－R）2?R＝eq\f（2\r（3）,3)，這個幾何體的外接球的表面積為4πR2＝4πeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)，3）)）eq\s\up12（2）＝eq\f(16π，3）。8．C[解析]設(shè)球心為O，連接PO，AO，BO.因為P－ABC是正三棱錐，所以PO⊥底面ABC，且PO＝AO＝2,所以PA＝2eq\r（2)。作PD⊥AB于D，則D為AB的中點．連接OD?！鰽OB中，∠AOB＝120°，AO＝BO＝2,所以AB＝2eq\r（3），DO＝1。在Rt△POD中，得PD＝eq\r(5)，所以棱錐的側(cè)面積為3×eq\f（1，2）·AB·PD＝eq\f（3,2)×2eq\r（3)×eq\r（5）＝3eq\r（15).故選C。9．A［解析]由三視圖可知，該幾何體是一個橫放的三棱柱，底面三角形是等腰三角形（底為6，高為4),三棱柱的高為4，故底面三角形的腰長為eq\r(32＋42）＝5.故該幾何體的表面積為S＝eq\f（1，2）×6×4×2＋5×4×2＋6×4＝88.故選A。10。eq\f(4\r（3),27)π[解析]此幾何體是底面邊長為2，高為eq\r(3）的正四棱錐,可算出其體積為eq\f(4\r（3），3)，表面積為12.令內(nèi)切球的半徑為r，則eq\f(1,3)×12r＝eq\f(4\r(3)，3）?r＝eq\f(\r（3），3）,從而內(nèi)切球的體積為V＝eq\f(4，3)πeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，3）))eq\s\up12(3)＝eq\f（4\r（3）π，27).11.eq\f(5\r（2),2）＋eq\f（\r（3)，2)［解析］如圖所示幾何體為一直四棱錐,其中PA⊥平面ABCD，底面為直角梯形，且PA＝eq\r(2），AD＝2，AB＝BC＝1，易知四棱錐側(cè)面△PAB,△PAD均為直角三角形，又由AB⊥BC，PA⊥BC可推得BC⊥平面PAB，故△PBC為直角三角形，所以PC＝eq\r（PB2＋BC2)＝2。CD＝eq\r(2），PD＝eq\r(6）,由勾股定理知△PCD也為直角三角形，故四個側(cè)面面積之和為eq\f(1,2）×1×eq\r（2）＋eq\f(1，2）×2×eq\r（2)＋eq\f（1,2)×2×eq\r（2)＋eq\f（1，2)×1×eq\r（3）＝eq\f（5\r（2），2）＋eq\f(\r(3），2）.12．4π［解析］如圖,球心為O，圓錐底面圓心為O1，OO1為球半徑，AO1為圓錐底面圓半徑，∠O1AO＝30°，OO1＝eq\f（\r（3），3)AO1＝1，所以球的表面積為4π.13.eq\f(1，12）V[解析］設(shè)長方體的長、寬、高分別為AB＝a,BC＝b,AA1＝c，則有V＝abc。由題意知PD＝eq\f(1,2）c,S△CDQ＝eq\f(1,2)·CD·AD＝eq\f（1,2)ab，∴VP－CDQ＝eq\f（1,3）S△CDQ·PD＝eq\f（1,3）×eq\f（1,2）ab×eq\f(1,2)c＝eq\f（1，12)abc＝eq\f(1,12）V。14．解：由已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為4,頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐．（1)V＝eq\f（1，3）×(8×6)×4＝64.(2)該四棱錐有兩個側(cè)面PAD，PBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為h1＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(8，2))）\s\up12(2））＝4eq\r（2），另兩個側(cè)面PAB，PCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2＝eq\r（42＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(6，2）））\s\up12(2）)＝5，因此側(cè)面積S＝2eq\f（1，2）×6×4eq\r（2)＋eq\f（1,2）×8×5＝40＋24eq\r（2).15．解：如圖所示，只有當圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時，圓柱的體積最大,削去部分體積才能最小,設(shè)此時圓柱的底面半徑為R,圓柱的高即為直三棱柱的高．∵在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5,∴△ABC為直角三角形．根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7－2R＝5,∴R＝1.∴V圓柱＝πR2·h＝6π。而三棱柱的體積為V三棱柱＝eq\f（1，2）×3×4×6＝36，∴削去部分的體積為36－6π＝6(6－π）（cm3），即削去部分的體積的最小值為6（6－π)cm3.【難點突破】16．解：（1）證明：由題設(shè)知A，B，C分別是P1P3,P1P2,P2P3的中點,且P2P1＝P2P3，從而PB＝PC，AB＝AC.取BC的中點D,連接AD,PD，則AD⊥BC,PD⊥BC，∴BC⊥面PAD，故PA⊥BC.(2)由題設(shè)有AB＝AC＝eq\f（1,2）P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝eq\r(AB2－BD2）＝12。在等腰三角形DPA中,底邊PA上的高h＝eq\r(AD2