數(shù)學(xué)建模之輸油管地布置

./2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白,在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式〔包括、電子、網(wǎng)上咨詢等與隊外的任何人〔包括指導(dǎo)教師研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道,抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料,必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們重承諾,嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則,以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為,我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是〔從A/B/C/D中選擇一項填寫： 我們的參賽報名號為〔如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話：所屬學(xué)?！舱?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T<打印并簽名>：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人<打印并簽名>：日期：年月日賽區(qū)評閱編號〔由賽區(qū)組委會評閱前進行編號：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號〔由賽區(qū)組委會評閱前進行編號：賽區(qū)評閱記錄〔可供賽區(qū)評閱時使用：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號〔由賽區(qū)組委會送交全國前編號：全國評閱編號〔由全國組委會評閱前進行編號：輸油管的布置摘要"輸油管的布置"數(shù)學(xué)建模的目的是建立起數(shù)學(xué)模型尋求使鋪設(shè)管道費用最低的設(shè)計方案。但是不同于普遍的最短路徑問題,他受各種實際情況影響,例如,城區(qū)和郊區(qū)費用的不同,采用共用管線和非公用管線價格的不同等都會對設(shè)計產(chǎn)生影響。我們基于最短路徑模型,對于題目實際情況進行研究和分析,對三個問題都設(shè)計了合適的數(shù)學(xué)模型做出了相應(yīng)的解答和處理。問題一：此問只需考慮兩個煉油廠和鐵路之間的位置關(guān)系,根據(jù)位置的不同設(shè)計相應(yīng)的模型,我們根據(jù)光的傳播原理和兩大間線段最短的原則設(shè)計了最短路徑模型,在不考慮共用管線價格差異時,只需考慮如何設(shè)計最短路線即可得到最低費用的設(shè)計方案；在考慮共用管線差價的情況下,只需建立兩個未知變量,當(dāng)代入已知常量,就可以解出變量的值。問題二：此問給出了兩個加油站的具體位置,在此基礎(chǔ)上增加了城區(qū)和郊區(qū)鋪設(shè)管線單位價格的不同,我們進一步改進了數(shù)學(xué)模型,由于鋪設(shè)費用存在差異,輸油管在城區(qū)和郊區(qū)的鋪設(shè)將不會是直線方式,基于該模型,我們在模型基礎(chǔ)上建立直角坐標(biāo)系,設(shè)計2個變量就可以列出最低費用函數(shù),利用C++編輯程序求借出最小值。問題三：該問題的解答方法和問題二類似,但由于城郊管線和共用管線三者的價格均不一樣,我們利用問題二中設(shè)計的數(shù)學(xué)模型進行改進,在坐標(biāo)系增加一個變量,建立最低費用函數(shù),并且利用C++解出最低費用和路徑坐標(biāo)。關(guān)鍵字：c++程序設(shè)計光的傳播原理數(shù)學(xué)模型最低費用輸油管的布置一、問題的重述某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠,同時在鐵路線上增建一個車站,用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性,油田希望建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。1.針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形,提出你的設(shè)計方案。在方案設(shè)計時,若有共用管線,應(yīng)考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。2.目前需對復(fù)雜情形進行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示,其中A廠位于郊區(qū)〔圖中的I區(qū)域,B廠位于城區(qū)〔圖中的II區(qū)域,兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離〔單位：千米分別為a=5,b=8,c=15,l=20。若所有管線的鋪設(shè)費用均為每千米7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用,為對此項附加費用進行估計,聘請三家工程咨詢公司〔其中公司一具有甲級資質(zhì),公司二和公司三具有乙級資質(zhì)進行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費用〔萬元/千米212420請為給出管線布置方案及相應(yīng)的費用。3.在該實際問題中,為進一步節(jié)省費用,可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力,選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元,輸送B廠成品油的每千米6.0萬元,共用管線費用為每千米7.2萬元,拆遷等附加費用同上。請給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。二、模型假設(shè)1、管道均以直線段鋪設(shè),不考慮地形影響。2、不考慮管道的接頭處費用。3、忽略鋪設(shè)過程中的勞動力費用,只考慮管線費用。4、將兩煉油廠和車站近似看作三個點。5、將鐵路近似看作一條直線。6、不考慮施工之中的意外情況,所有工作均可順利進行。7、共用管線的價格如果和非公用管線不一致,則共用管線價格大于任意一條非公用管線價格,小于兩條非公用管線價格之和。8、根據(jù)查詢資料我們可以為所給出的三個工程咨詢公司進行分權(quán),甲級資質(zhì)分權(quán)0.4,乙級資質(zhì)分權(quán)為0.3。9、假設(shè)共用管線與非共用管線存在價格差時,共用管線價格大于非共用管線價格低于兩倍的非共用管線價格。10、默認(rèn)A煉油廠距離鐵路比B煉油廠近。三、符號說明W：方案的經(jīng)費a：A廠到鐵路的距離b：B廠到鐵路的距離c:A廠到城郊分界線的距離l:A、B兩廠之間的鐵路長度m：共用管道的費用〔萬元/千米n：非共用管道費用〔萬元/千米L:為管線總長度h：共用管線的長度x1：車站的橫坐標(biāo)〔問題二y1：城郊分界處拐點的縱坐標(biāo)〔問題二x2：共用管線和非共用管線交點的橫坐標(biāo)〔問題三y2：城郊分界處拐點的縱坐標(biāo)〔問題三p：附加費用的估計值。四、問題分析問題一：首先要考慮兩個工廠是否在鐵路的同一側(cè),如果兩個工廠在鐵路的同一側(cè)那么一定要考慮共用管線的問題。如果不在鐵路的同一側(cè)那么就沒有必要考慮共用管線這個問題。當(dāng)兩個工廠在鐵路兩邊時,根據(jù)兩點之間線段最短的原理只要求出兩廠之間的距離,就可以得到最低費用設(shè)計；當(dāng)兩個工廠在鐵路的同一側(cè)時,且當(dāng)沒有共用管線時,只需利用光的傳播原理可得到最短路徑；在考慮到有共用管線時,需建立方程求解最低消費設(shè)計方案。問題二：這個問題從市區(qū)和郊區(qū)分兩個部分分析,火車站建立在郊區(qū)費用要少；因為郊區(qū)非共用管線與共用管線的費用相同,所以可以用最短路徑的方法來考慮,同時又要求費用最小,可以通過方程解出最低費用及對應(yīng)的鋪設(shè)線路。問題三：通過建立坐標(biāo)系設(shè)兩個點的坐標(biāo),同時也是表示出管線的長度,然后再與各自的費用之積確定總的費用,從而算出兩點的坐標(biāo)值。即確定了管線的路線。五、模型的建立與求解5.1關(guān)于問題1的模型建立與求解對于管線布置的分析,分為兩種情況：兩個煉油廠在鐵路兩側(cè),如圖所示：CCAEDablB兩煉油廠A,B直接的連線與鐵路的交點E為車站位置此時L=此時為最低費用設(shè)計方案。2、兩個煉油廠位于鐵路的同一側(cè),則需考慮有無共用管線兩種情況：a.當(dāng)沒有公用管線時,此時找出兩廠與鐵路交點連線的最近路線即可,如圖：CCA’EDablBAa過鐵路CD作A點的對稱點A’,連接A’B,與鐵路相交于點E即為車站所在位置,此時L=此時為最低費用設(shè)計方案。b．當(dāng)存在共用管線時：A、當(dāng)共用管線與非共用管線價格相同,均為m時：設(shè)計方案如圖所示AACDBblhEFa2xxYX假設(shè)公共管線長度為h；〔0＜h＜bx=a-h〔1L=+h〔2L=+h〔3W=Lm=m*+m*h〔4當(dāng)實際情況下已知a,b,l的情況下,上式只存在一個未知數(shù)h,再結(jié)合h的圍即可得出最低費用的設(shè)計方案。B、當(dāng)共用管線價格為m,非共用管線價格為n；〔n＜m＜2n設(shè)計方案如圖所示：AAaClxhFEbBDW=h*m+n*+n*其中：0＜x＜l；0＜h＜b；實際情況下的費用可以根據(jù)已知道的常量a、b、l再結(jié)合x、h的取值圍可以得出最小費用。5.2關(guān)于問題2的模型建立與求解因為在城區(qū)和郊區(qū)鐵路管線的費用相同,而在城區(qū)有拆遷和工程補償?shù)荣M用,所以城區(qū)和郊區(qū)要分為兩部分來考慮。我們從三家咨詢公司給出的三個方案來看,我們考慮到甲級資質(zhì)和乙級資質(zhì)的評估準(zhǔn)確性,所以我們對三家公司進行分權(quán),甲級資質(zhì)的權(quán)重為40%,乙級資質(zhì)的權(quán)重為30%所需要的附加費預(yù)估值為p=0.4*21+0.3*24+0.3*20=21.6<萬元/千米>由于城區(qū)管線鋪設(shè)所花費的費用比較大,所以車站站點建設(shè)在郊區(qū)才是相對節(jié)約經(jīng)費的。我們根據(jù)共用管線與非共用價格相同設(shè)計出如下圖所示模型：FF〔x1,hG〔5,y1A5ChEBD82015x2xYX如上圖所示建立坐標(biāo)系,在城區(qū)部分我們可以得到每千米鋪設(shè)管線費用為21.6+7.2=28.8萬元。W=7.2*〔h++28.8*〔1x=5-h〔2W=7.2*〔h++28.8*〔3其中0＜h＜80＜y1＜8利用C++程序編輯器編輯程序求解：最小費用W=283.201萬。5.3關(guān)于問題3的模型建立與求解根據(jù)城郊管線之間以及共用管線之間存在價格差異,我們建立出如下圖的模型：FF〔x2,hG〔5,y2A5ChEBD82015x2xYXG為B管線與分界線之間的交點；F為A,B管線間的交點；A廠到F點距離：AF=；GF之間距離：FG=；B廠到G點距離：BG=；共用管道FE距離為h；0＜h＜8；5＜x2＜20；0＜y2＜8；總費用：W=5.6*AF+6*GF+7.2*EF+〔21.6+6*BG<1>W=5.6*+6*+7.2*h+27.6*利用C++程序編輯器編輯程序求解：得到最低的費用為W=252.474萬元。六、模型的評價與應(yīng)用從實際的生活出發(fā)輸油管道是石油生產(chǎn)過程中的重要環(huán)節(jié),石油工業(yè)始終離不開輸油管線的鋪設(shè)問題。它是煉油廠、車站、用戶、產(chǎn)地之間的重要環(huán)節(jié)。優(yōu)點：利用數(shù)學(xué)模型的建立,是復(fù)雜的實際問題簡單化,同時又與實際情況相聯(lián)系。建立合適的數(shù)學(xué)模型可以使設(shè)計達到最優(yōu)的目的,使解決復(fù)雜的時間問題更加簡單化,更加得節(jié)約和快捷。缺點：該模型進行了很多假設(shè),比如忽略接頭問題,和施工費用問題,以及忽略了地形對施工的影響。在計算過程中由于C++程序編程循環(huán)過于龐大,即采用由粗至細(xì)的運算方法,存在一定誤差。應(yīng)用：模型在實際運用中,不僅僅可以用在成品油運輸管布置,還可運用到原油輸送和污水處理,電線電纜的布置還有公路鐵路的修建等一些列的線路布置問題。附錄問題二的C++程序片段#include<iostream.h>#include<math.h>voidmain<>{doubleh,y1,w;doublea,b;h=0;inti,j;doublemin=10000;for<j=0;j<=80000;j++>{h=h+0.0001; y1=0; for<i=0;i<=80000;i++>{y1=y1+0.0001; w=28.8*sqrt<<8-y1>*<8-y1>+25>+<sqrt<<y1+5-2*h>*<y1+5-2*h>+225>+h>*7.2;if<min>w>{ min=w;a=h;b=y1; } }} cout<<"w="<<min<<'\n'; cout<<"h="<<a<<'\n'; cout<<"y1="<<b<<'\n';}問題二的C++程序片段：#include<iostream.h>#include<math.h>voidmain<>{doubleh,y2,x2,w;doublea,b,c;h=0;y2=0;x2=5;inti,j,k;doublemin=10000;for<i=0;i<=8;i++>{h=h+1;y2=0;for<j=0;j<=8;j++>{y2=y2+1;x2=5;for<k=0;k<=15;k++>{x2=x2+1; w=27.6*sqrt<<8-y2>*<8-y2>+25>+5.6*sqrt<<5-h>*<5-h>+<20-x2>*<20-x2>>+6*sqrt<<x2-5>*<x2-5>+<y2-h>*<y2-h>>+7.2*h;if<min>w>{ min=w;a=h;進一步細(xì)化：#include<iostream.h>#include<math.h>voidmain<>{doubleh,y2,x2,w;doublea,b,c;h=0.13;y2=