遼寧省沈陽市第二名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁遼寧省沈陽市第二名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含解析）沈陽二中2023——2024學(xué)年度上學(xué)期第一次

階段測(cè)試高二（25屆）數(shù)學(xué)試題

說明：

1．測(cè)試時(shí)間：120分鐘總分：150分；

2．客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應(yīng)位置上．

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1.如果直線l的一個(gè)法向量是，則其傾斜角等于（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用直線l的一個(gè)法向量，可得直線l的一個(gè)方向向量，可求直線的斜率，即得直線的傾斜角.

【詳解】由于直線l的一個(gè)法向量為，

所以直線l的一個(gè)方向向量為，

因此其斜率，

因?yàn)閮A斜角范圍是，

所以傾斜角等于．

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的法向量、方向向量、直線斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)，可得，再根據(jù)向量垂直的判定條件即可求出參數(shù)的值.

【詳解】根據(jù)題干條件，可知，即滿足，

解得：.

故選：A.

3.直線的傾斜角的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.

【詳解】直線的斜率，

設(shè)直線的傾斜角為，則，

解得.

故選：A.

4.如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使，用向量，，表示向量為（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，再次代換即可.

【詳解】

，

故選：C

5.已知平面內(nèi)的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出圖形，如圖，通過分析，可得為與平面所成的角的補(bǔ)角，利用余弦定理可以計(jì)算.

【詳解】作出如下圖形，令，則，，

取中點(diǎn)，連接，則即為與平面所成的角的補(bǔ)角，

在中，，

在中，，

，

，

與平面所成的角的余弦值是.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求法，找出所成角，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵.

6.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得到，，進(jìn)而求出，根據(jù)，即可判斷B的大?。焕蒙鲜龇椒ㄇ蟮?，，即可判斷C和D的大小，進(jìn)而可以判斷出三角形的形狀.

【詳解】，，

為銳角，

同理：，，D和C都為銳角，

∴為銳角三角形.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的加減運(yùn)算法則與向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于常考題.

7.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線BD折成直二面角，若點(diǎn)P滿足，則的值為（）

A.B.3C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)量積計(jì)算即可.

【詳解】

取中點(diǎn)O，連接，，

依題平面平面，平面平面

，平面，平面，

，則，

所以，

又，，

則.

故選：D

8.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)G與E分別為線段和的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若，則線段DF長(zhǎng)度的最小值是（）

A.B.1C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，由可得，然后結(jié)合空間兩點(diǎn)的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】

建立坐標(biāo)系，如圖，

令

則

因?yàn)?/p>

即，

時(shí)，最小為，

故選：C.

【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．

9.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）

A.B.C.D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)直線方向向量、平面法向量定義，結(jié)合向量間的位置關(guān)系判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.

【詳解】A：由題設(shè)，對(duì)；

B：由題設(shè)，或，錯(cuò)；

C：由題設(shè)，對(duì)；

D：由題設(shè)，對(duì).

故選：ACD

10.下列說法中，正確有（）

A.點(diǎn)斜式可以表示任何直線

B.直線在軸上的截距為

C.如果A、B、C是平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)不同的點(diǎn)，則這三點(diǎn)共線的充要條件是與共線

D.在軸和軸上截距相等直線都可以用方程（）表示

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式的應(yīng)用范圍即可判斷A；令，求出，即可判斷B；利用向量共線定理即可判斷C，舉出反例即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)斜式不能表示斜率不存在得直線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，令，則，所以直線在y軸上的截距為，故B正確；

對(duì)于C，充分性：根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)，若A，B，C三點(diǎn)共線，

則，其中為非零實(shí)數(shù)，所以與共線，充分性成立；

必要性：若與共線，則，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)B，

所以A，B，C三點(diǎn)共線，必要性成立，

所以A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是與共線，故C正確；

對(duì)于D，舉例直線方程為，其在軸和軸上截距均為0，即截距相等，

但是無法用方程（）表示，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.以下說法錯(cuò)誤的有（）

A.已知向量，，若，則為鈍角

B.對(duì)于任意非零向量，，若則

C.直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為

D.A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若則P，A，B，C四點(diǎn)共面

【答案】AB

【解析】

【分析】A，考慮平角時(shí)；

B，考慮分母為0；

C，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解；

D，應(yīng)用共面向量定理即可判斷.

【詳解】A，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)向量共線，夾角為，A錯(cuò)誤；

B，中任意一個(gè)數(shù)為0，時(shí)，不成立，B錯(cuò)誤；

C，因?yàn)橹本€的方向向量為，

所以其一個(gè)單位方向向量，

由點(diǎn)，點(diǎn)可得，所以，

，所以，C正確；

D，

，

，，

由共面向量定理知與共面，又它們有公共點(diǎn)四點(diǎn)共面，D正確.

故選：AB

12.已知棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，M，N分別為，，的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

A.平面B.直線與直線的距離為

C.點(diǎn)A到平面的距離為D.到平面的距離為

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)正方體特征直接建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法判斷線面平行，運(yùn)用點(diǎn)面距離公式和異面直線的距離公式進(jìn)而求得答案.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則，令，可得，

所以，即，

又因?yàn)槠矫?，所以平面，故A正確；

由已證可知，點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，

因?yàn)樗渣c(diǎn)到平面的距離為，

即直線與平面之間的距離為，故C正確，D錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?/p>

設(shè)，，

則，令，則，

又因?yàn)椋?/p>

所以直線與直線的距離為，故B正確.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：

（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線進(jìn)而求解；

（2）坐標(biāo)法：通過建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間坐標(biāo)運(yùn)算公式求解；

（3）基底法：通過向量的基底轉(zhuǎn)化以及向量的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．

13.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的特征求解作答.

【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

故答案為：

14.若實(shí)數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______

【答案】

【解析】

【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.

【詳解】

如圖，，，，

則，.

因?yàn)?，可表示點(diǎn)與線段上任意一點(diǎn)連線的斜率，

由圖象可知，，

所以有.

故答案為：.

15.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形最大內(nèi)角小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為.根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為__________．

【答案】

【解析】

【分析】函數(shù)表示的是點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)C（1，0）的距離與到點(diǎn)B（-1，0），到A（0，2）的距離之和，連接這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了三角形ABC，由角DOB為，角DOC為，OD=，OC=，OA=，距離之和為：2OC+OA，求和即可.

【詳解】根據(jù)題意畫出圖像并建系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)

函數(shù)表示的是點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)C（1，0）的距離與到點(diǎn)B（-1，0），到A（0，2）的距離之和，設(shè)三角形這個(gè)等腰三角形的費(fèi)馬點(diǎn)在高線AD上，設(shè)為O點(diǎn)即費(fèi)馬點(diǎn)，連接OB，OC，則角DOB為，角DOC為，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距離之和為：2OC+OA=+=2+.

故答案為.

【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了點(diǎn)點(diǎn)距的公式，以及解三角形的應(yīng)用，解三角形的范圍問題常見兩類，一類是根據(jù)基本不等式求范圍，注意相等條件的判斷；另一類是根據(jù)邊或角的范圍計(jì)算，解題時(shí)要注意題干信息給出的限制條件.

16.四棱錐的底面是正方形，平面，，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且（），二面角的大小為，直線與平面所成的角為，若，則的值為______．

【答案】

【解析】

【分析】先找出和，因?yàn)槠矫嬷?，二面角的平面角可由三垂線法作出，再用表示出和，代入，解方程即可.

【詳解】

由平面，連接，則是在面內(nèi)是射影，

則直線與平面所成的角為，

平面，平面，

；又底面是正方形，

，而平面，所以平面，

連接，過點(diǎn)D在平面內(nèi)作于F，連接

故是二面角的平面角，即.

在中，，

在中，，

從而；

在中，.

由，得，所以，

由，解得，即為所求.

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17.已知在第一象限的中，，，.

（1）求邊AB的方程；

（2）求直線AC與直線BC的方程，并把結(jié)果寫成直線方程的一般式.

【答案】（1）邊方程為，

（2）直線的方程為，直線的方程為

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線的方程.

（2）結(jié)合直線、的傾斜角和斜率，求得直線和直線的方程.

【小問1詳解】

因?yàn)?，，所以軸，

所以AB邊方程為，．

【小問2詳解】

因?yàn)?，所以?/p>

所以直線AC的方程為，即，

因?yàn)椋裕?/p>

所以直線的方程為，即．

18.已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，.

（1）求與的夾角的余弦值；

（2）若向量與互相垂直，求的值.

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間向量夾角公式求解即可.

（2）根據(jù)題意得到，再解方程即可.

【小問1詳解】

，.

.

【小問2詳解】

，.

因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，

即，解得或.

19.已知直線：．

（1）求證：無論取何值，直線始終過第一象限；

（2）若直線與，軸的正半軸交點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．

【答案】（1）證明見解析

（2）最小值為4；

【解析】

【分析】（1）由題可得，直線過定點(diǎn)且在第一象限，即證；

（2）由題可，，再利用三角形面積公式及基本不等式即得.

【小問1詳解】

因?yàn)橹本€：，即，

令，求得，，

即直線過定點(diǎn)且在第一象限，

所以無論取何值，直線始終經(jīng)過第一象限．

【小問2詳解】

因?yàn)橹本€與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，所以，

令，解得，令，得，

即，，

∴面積，

∵，∴，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，

∴，

∴面積的最小值為4

此時(shí)直線的方程為，即．

20.

如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，，底面，，M為的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).

（1）證明：直線MN//面OCD；

（2）求異面直線AB與MD所成角的大?。?/p>

（3）求點(diǎn)B到平面OCD的距離．

【答案】（1）證明：見解析；（2）；（3）.

【解析】

【分析】過A作交CD于點(diǎn)P.如圖示，分別以為x、y、z軸正方向建立坐標(biāo)系.

（1）用向量法證明MN//面OCD；

（2）用向量法求異面直線AB與MD所成角；

（3）用向量法求點(diǎn)B到平面OCD的距離.

【詳解】

過A作交CD于點(diǎn)P.如圖示，分別以為x、y、z軸正方向建立坐標(biāo)系，則，，，，，，.

（1），，.

設(shè)平面OCD的法向量為，則.

不妨取，解得：.

因?yàn)?，直線面OCD

所以MN//面OCD.

（2）設(shè)直線AB與MD所成角為，則.

因?yàn)?，?/p>

所以，

所以，即直線AB與MD所成角為.

（3）設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d，則d為在向量上的投影的絕對(duì)值，

由，得.

所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為.

21.如圖，四棱錐中，垂直平面，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）見證明（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）可證平面，從而得到平面平面．

（Ⅱ）在平面內(nèi)過作的垂線，垂足為，由（1）可知平面，從而就是所求的線面角，利用解直角三角形可得其正弦值．

【詳解】（Ⅰ）證明:平面，平面，故．

又，所以．故，即，而，所以平面，

因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?/p>

（Ⅱ）平面，平面，故．又，所以．

在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為．

由（Ⅰ）知平面平面，平面，平面平面所以平面．

由面積法得：即．

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，．所以．

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等．

連結(jié)交于點(diǎn)，則．

所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，即．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

另解：如圖，取的中點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．

因?yàn)?，所以．所以有?/p>

，，，，，

．

．，．

設(shè)平面一個(gè)法量為，則

取，得，．即．

設(shè)直線與平面所成角為，則

．

【點(diǎn)睛】面面垂直的判定可由線面垂直得到，而線面垂直可通過線線垂直得到，注意面中兩條直線是相交的．由面面垂直也可得到線面垂直，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個(gè)平面的交線.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.

22.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，．

（1）證明：；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值.

【答案】（1）證明見解析

（2）當(dāng)時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最小，最小值為

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可知，結(jié)合可證得平面，進(jìn)而分別以BA，BC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可證得.

（2）[方法一]求出平面和平面的法向量，然后利用向量的夾角公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；[方法二]：分別求出的面積，記面與面DFE所成的二面角的大小為，代入及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

【小問1詳解】

因?yàn)槿庵侵比庵?，∴底面ABC，

因?yàn)榈酌鍭BC，∴，

∵，，∴，又，

平面．∴平面．

所以BA，BC，兩兩垂直．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以BA，BC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∴，，，，，，，．

由題設(shè)．因?yàn)?，?/p>

所以，所以．

【小問2詳解】

[方法一]設(shè)平面DFE的法向量為，因?yàn)?，?/p>

所以，即．令，則，

因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面DEF的二面角的大小為，

則．

當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．

所以，此時(shí)．

[方法二]：如圖，聯(lián)結(jié)，F(xiàn)N，

在平面的投影為，記面與面DFE所成的二面角的大小為，

則，設(shè)，在中，．

在中，，過D作的平行線交EN于點(diǎn)Q．

中，．

在中，由余弦定理得，

，，，

，，

當(dāng)，即，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值為．沈陽二中2023——2024學(xué)年度上學(xué)期第一次

階段測(cè)試高二（25屆）數(shù)學(xué)試題

說明：

1．測(cè)試時(shí)間：120分鐘總分：150分；

2．客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應(yīng)位置上．

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1.如果直線l的一個(gè)法向量是，則其傾斜角等于（）

A.B.C.D.

2.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）

A.4B.3C.2D.1

3.直線的傾斜角的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

4.如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使，用向量，，表示向量為（）

A.B.

C.D.

5.已知平面內(nèi)的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（）

A.B.C.D.

6.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

7.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線BD折成直二面角，若點(diǎn)P滿足，則的值為（）

A.B.3C.D.

8.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)G與E分別為線段和的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若，則線段DF長(zhǎng)度的最小值是（）

A.B.1C.D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．

9.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）

A.B.C.D.

10.下列說法中，正確的有（）

A.點(diǎn)斜式可以表示任何直線

B.直線在軸上的截距為

C.如果A、B、C是平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)不同的點(diǎn)，則這三點(diǎn)共線的充要條件是與共線

D.在軸和軸上截距相等的直線都可以用方程（）表示

11.以下說法錯(cuò)誤有（）

A.已知向量，，若，則為鈍角

B.對(duì)于任意非零向量，，若則

C.直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為

D.A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若則P，A，B，C四點(diǎn)