遼寧省大連金州高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

遼寧省大連金州高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數(shù)為（）A.45 B.55C.90 D.1102．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.3．過點，且斜率為2的直線方程是A. B.C. D.4．按照小李的閱讀速度，他看完《三國演義》需要40個小時.2021年12月20日，他開始閱讀《三國演義》，當(dāng)天他讀了20分鐘，從第二天開始，他每天閱讀此書的時間比前一天增加10分鐘，則他恰好讀完《三國演義》的日期為（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日5．已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．拋物線的焦點坐標(biāo)為A. B.C. D.7．已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.8．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.69．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（）A. B.C. D.10．若，則（）A.1 B.2C.3 D.411．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-1012．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角中，第10行第8個數(shù)是______14．點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是__.15．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率____________.16．已知圓M過，，且圓心M在直線上.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線m截圓M所得弦長為，求直線m的方程；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由18．（12分）各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最小值.19．（12分）甲、乙兩人獨(dú)立地對某一目標(biāo)射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：（1）甲、乙恰好有一人擊中的概率；（2）目標(biāo)被擊中的概率20．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，圓心的軌跡為（1）求動點的軌跡方程；（2）已知直線交軌跡于兩點，，且中點的縱坐標(biāo)為，則的最大值為多少？21．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式;（2）若不等式對恒成立,求實數(shù)m的取值范圍22．（10分）數(shù)列{}的首項為，且（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達(dá)出來，第層有個球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個球設(shè)第層的小球個數(shù)為，則有：故第十層球的個數(shù)為：故選：2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由直線點斜式計算出直線方程.【詳解】因為直線過點，且斜率為2，所以該直線方程為，即.故選【點睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點坐標(biāo)和斜率，故選用點斜式即可求出答案，較為簡單.4、B【解析】由等差數(shù)列前n項和列不等式求解即可.【詳解】由題知，每天的讀書時間為等差數(shù)列，首項為20，公差為10，記n天讀完.則40小時=2400分鐘，令，得或（舍去），故，即第21天剛好讀完，日期為2022年1月9日.故選：B5、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷【詳解】根據(jù)題意，已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則有（），所以，因為，所以，所以當(dāng)時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，而當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列時，不一定成立，所以“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分而不必要條件，故選：A6、D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得其焦點坐標(biāo)【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其焦點坐標(biāo)為，故選D.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題7、D【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題8、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.9、C【解析】依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算10、C【解析】由二項分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因為，所以.故選：C.11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列出方程求解，直接計算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，故選：C12、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、120【解析】根據(jù)二項式的展開式系數(shù)的相關(guān)知識即可求解.【詳解】因為，二項式展開式第項的系數(shù)為，所以，第10行第8個數(shù)是.故答案為：12014、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可【詳解】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點睛】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是綜合性題目15、##【解析】根據(jù)線段為邊作正，得到M在y軸上，求得M的坐標(biāo)，再由，得到邊的中點坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解.【詳解】以線段為邊作正，則M在y軸上，設(shè)，則，因為，所以邊的中點坐標(biāo)為，因為邊的中點在雙曲線上，所以，因為，所以，即，解得，因為，所以，故答案為：16、（1）（2）或【解析】(1)首先由條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將圓上兩點代入，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分斜率不存在和存在兩種情況，分別根據(jù)弦長公式，求得直線方程.【小問1詳解】圓心在直線上，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓過點，，，解得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】①當(dāng)斜率不存在時，直線m的方程為：，直線m截圓M所得弦長為，符合題意②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線m：，圓心M到直線m的距離為根據(jù)垂徑定理可得，，，解得直線m方程為或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果【小問1詳解】在中，，因為，分別是，邊上的中點，所以∥，，所以，所以，因為，所以平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，因為，所以，因為，所以是等邊三角形，取的中點，連接，則，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，所以，得，所以點到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以18、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）化簡，結(jié)合裂項相消法求出數(shù)列的和；（3）利用分組法求得，結(jié)合，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：因為各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，；兩式相減可得，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；所以.【小問2詳解】解：由，可得，所以，所以.【小問3詳解】解：由，可得，所以當(dāng)為偶數(shù)時，，因為，且為偶數(shù)，所以的最小值為48；當(dāng)為奇數(shù)時，，不存在最小的值，故當(dāng)為48時，滿足條件.19、（1）；（2）.【解析】（1）分為甲擊中且乙沒有擊中，和乙擊中且甲沒有擊中兩種情況，進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求得答案；（2）先考慮甲乙都沒有擊中，進(jìn)而根據(jù)對立事件概率公式和獨(dú)立事件概率公式求得答案.【小問1詳解】設(shè)甲、乙分別擊中目標(biāo)為事件，，易知，相互獨(dú)立且，，甲、乙恰好有一人擊中的概率為.【小問2詳解】目標(biāo)被擊中的概率為.20、（1）（2）【解析】（1）利用拋物線的定義直接可得軌跡方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【小問1詳解】由題設(shè)點到點的距離等于它到的距離，點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所求軌跡的方程為；【小問2詳解】由題意易知直線的斜率存在，設(shè)中點為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，得，，且，，又中點為，即，，故恒成立，，，所以，當(dāng)時，取最大值為.【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必