概率論第一章

一、等可能概型二、經(jīng)典問(wèn)題三、幾何概型四、小結(jié)§1.3等可能概型(古典概型)1.定義一、等可能概型(古典概型)

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含

m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱(chēng)此為概率的古典定義.

解說(shuō)明：

對(duì)于比較簡(jiǎn)單的試驗(yàn)，可以直接寫(xiě)出樣本空間和事件，然后數(shù)出各自所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.

對(duì)于較復(fù)雜的試驗(yàn)，一般不再將其中的元素一一列出，而只需利用排列、組合及乘法原理、加法原理的知識(shí)，分別求出其中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再由公式即可求出概率.例2設(shè)有5件產(chǎn)品，其中3件是正品，2件是次品.今從中抽取兩次，每次1件，取出后不再放回.試求：

（1）兩件都是正品的概率；

（2）一件是正品一件是次品的概率；

（3）至少有一件是正品的概率.

解由公式可求得：說(shuō)明：[1]本例中（3）有更簡(jiǎn)單的求法.[2]本例中樣本空間可以作不同的設(shè)計(jì).思考：改為放回抽樣，結(jié)果又如何？例3

設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任取2個(gè)球，求取到一紅一白的概率.解設(shè)A={取到一紅一白}解法一:二經(jīng)典問(wèn)題

1、隨機(jī)取球問(wèn)題基本事件總數(shù)A所包含的基本事件數(shù)答:取到一紅一白的概率為3/5.解法二:產(chǎn)品檢驗(yàn)、抽簽問(wèn)題、福彩摸獎(jiǎng)等.可見(jiàn):

隨機(jī)取球問(wèn)題可以用組合法解,也可以用排列法解.關(guān)鍵是:計(jì)算事件概率時(shí)保證分子、分母在同一個(gè)樣本空間下討論.類(lèi)似問(wèn)題：在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有——超幾何分布的概率公式課堂練習(xí)1o

電話號(hào)碼問(wèn)題

在7位數(shù)的電話號(hào)碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.

2o

骰子問(wèn)題

擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.例5

將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解設(shè)A={每盒恰有一球},B={空一盒}(1)(2)解法一:(用對(duì)立事件)2、隨機(jī)分球問(wèn)題(2)解法二:(空一盒相當(dāng)于兩球一起放在一個(gè)盒子中,另一球單獨(dú)放在另一個(gè)盒子中)(2)解法三:(空一盒包括1號(hào)盒空,2號(hào)合空,三號(hào)盒空且其余兩盒全滿(mǎn)這三種情況)答:每盒恰有一球的概率為2/9;空一盒的概率是2/3.某班級(jí)有n

個(gè)人

(n365)，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？類(lèi)似問(wèn)題：分房問(wèn)題、生日問(wèn)題等.

一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(n

N)，則每盒至多有一球的概率是：?答

202330405064100

0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.例6

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為解3、隨機(jī)取數(shù)于是所求概率為定義

當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量(長(zhǎng)度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為說(shuō)明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概型.三、幾何概型

那么

兩人會(huì)面的充要條件為例7

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過(guò)時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問(wèn)題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有蒲豐投針試驗(yàn)例9

1777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問(wèn)題.平面上畫(huà)有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為b(b<a)的針,試求針與某一平行直線相交的概率.蒲豐資料蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長(zhǎng)時(shí)間試驗(yàn)者最簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象古典概型

古典概率幾何概型試驗(yàn)結(jié)果連續(xù)無(wú)窮四、小結(jié)蒲豐資料Born:7Sept.1707inMontbard,C?ted'Or,France

Died:16Apr.1788inParis,FranceGeorgesLouisLeclercComtedeBuffonEX

一個(gè)口袋裝有10個(gè)外形相同的球，其中6個(gè)是白球，4個(gè)是紅球，“無(wú)放回”地從袋中取出3個(gè)球，求下述事件發(fā)生的概率.（1）A1={沒(méi)有紅球}；（2）A2={恰有兩個(gè)紅球}；（3）A3={至少有一個(gè)白球}.排列組合基本公式(permutationsandcombinations)乘法公式:設(shè)完成一件事需分兩步,第一步有n1種方法,第二步有n2種方法,則完成這件事共有n1n2種方法.加法公式:設(shè)完成一件事可有兩種途徑,第一種途徑有n1種方法,第二種途徑有n2種方法,則完成這件事共有n1+n2種方法.nnnn共有nk種排列方式.有重復(fù)排列:從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k

次,每次取一個(gè),記錄其結(jié)果后放回,將記錄結(jié)果排成一列,共有Pnk