2023年高考湖北卷數(shù)學(xué)(理科)試題及參考答案

2009年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一、選擇題〔10550分〕1〔200湖北〕P={a|a〔，0+0，∈R}Q={b|b，+n〔，1，nR}是兩個(gè)向量集合，則P∩Q=〔 〕A．{〔1，1〕} B．{〔﹣1，1〕}C．{〔1，0〕} D．{〔0，1〕}2〔200湖北〕設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)y= 〔R，且≠ 〕的反函數(shù)是〔 〕A．y=D．y=

〔x∈Rx≠﹣〕B．y=〔x∈Rx≠﹣〕

〔x∈R，且x≠ 〕C．y= 〔x∈R，且x≠1〕3〔200湖北投擲兩顆骰子得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n則復(fù)〔m+n〔﹣m為實(shí)數(shù)的概率〔 〕A． B． C． D．4〔200?湖北〕函數(shù)y=co〔2x+ 〕2的圖象F按向量a平移到′′的函數(shù)解析式為y=〔x，當(dāng)y=〔〕為奇函數(shù)時(shí)，向量a可以等于．A〔，﹣2〕 B〔，〕C，2〕D，2〕5〔200湖北〕將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生能分到一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為〔 〕A．18 B．24 C．30 D．366〔200湖北〕設(shè)〔+3+++2n〕2]〔 〕A．﹣1 B．0 C．1 D．

+a2nx2n，則

[〔a0+a2+a4+…+a2n〕2﹣7〔200?湖北〕雙曲線 的準(zhǔn)線過橢圓 的焦點(diǎn)，則直線y=kx+2與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是〔〕A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]8〔200湖北”1004輛甲型貨車和84002030010每輛車至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為〔〕A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元9200?湖北〕設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)〔．假設(shè)球的體積以均勻速度c半徑A．成正比，比例系數(shù)為CB．成正比，比例系數(shù)為2C C．成反比，比例系數(shù)為CD．成反比，比例系數(shù)為2C10〔200?湖北〕古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種外形來爭論數(shù)，例如：11，3，6，10，…21，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)．以下數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是〔 〕A．289 B．1024C．1225D．1378二、填空題〔5525分〕1200?湖北〕關(guān)于x的不等式 的解集 ，則實(shí)數(shù)a= ．12〔200湖北〕如圖是樣本容量為200[10]內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在〔2，10〕內(nèi)的概率約為 ．13〔200湖北〕2008“中星九號(hào)”36000km6400km，則“中星九號(hào)”掩蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)的球面距離的最大值約為 k〔結(jié)果中保存反余弦的符號(hào)．14〔200?湖北〕函數(shù)〕=′〔 〕cosx+sin，則〔 〕的值為 ．15〔200湖北〕數(shù){n滿足=〔m為正整數(shù)n+1= 假設(shè)=1，則m全部可能的取值為 ．三、解答題〔675分〕16〔200?湖北〕一個(gè)盒子里裝有4張大小外形完全一樣的卡片，分別標(biāo)有數(shù)23，，；另一個(gè)盒子也裝有4張大小外形完全一樣的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6．現(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機(jī)變量η=x+yη的分布列和數(shù)學(xué)期望．17〔200?湖北〕向〔co，siα=〔coβ，si=〔，0．求向量設(shè)α=

的長度的最大值；，⊥，求coβ的值．18〔200?湖北〕如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形S⊥平面ABCSD=2，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE=λa〔0＜λ≤2〕〔Ⅰ〕求證：對(duì)任意的∈〔，2，都有A⊥BE〔Ⅱ〕設(shè)二面角C﹣AE﹣D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為ωtanθ?tanφ=1λ的值．19〔200?湖北〕數(shù)列n的前n項(xiàng)和令bn=2nan，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．令 ，試比較Tn與 的大小，并予以證明．20〔200?湖北〕某區(qū)從近期賣出的不同面積的商品房中隨機(jī)抽取1000110m2～130m2的商品房 套．21〔200湖北〕在R上定義運(yùn)算：2〔〕=﹣2，x=f〔x〕2〔．①假設(shè)函數(shù)f〔x〕在x=1處有極值 ，試確定b、c的值；

〔bR是常數(shù)〔=﹣2，②求曲線y=f〔x〕上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；③記〔x=|′x〔﹣1≤≤〕的最大值為，假設(shè)k對(duì)任意的c恒成立，試求k的取值范圍〔參考公式：x33b2+43〔x+〔﹣2b〕2009年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題〔10550分〕1〔200湖北〕P={a|a〔，0+0，∈R}Q={b|b，+n〔，1，nR}是兩個(gè)向量集合，則P∩Q=〔 〕A．{〔1，1〕} B．{〔﹣1，1〕}C．{〔1，0〕} D．{〔0，1〕}考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：先依據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡集合P，Q，求集合的交集就是查找這兩個(gè)集合的公共元素，通過列方程組解得．解答：解：由可求得P={〔1，m〕}，Q={〔1﹣n，1+n〕}，再由交集的含義，有，所以選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察交集及其運(yùn)算，屬于根底題．2〔200湖北〕設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)y= 〔R，且≠ 〕的反函數(shù)是〔 〕A．y=D．y=

〔x∈Rx≠﹣〕B．y=〔x∈Rx≠﹣〕

〔x∈R，且x≠ 〕C．y= 〔x∈R，且x≠1〕考點(diǎn)：反函數(shù)。專題：計(jì)算題。分析：從條件中函數(shù)y=〔x∈R，且x≠〕中反解出x，再將x，y互換即得原函數(shù)的反函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)的定義域求得反函數(shù)的定義域即可．解答：解：由函數(shù)y=〔x∈R，且x≠〕得：x= ，∴函數(shù)y=y=

〔x∈R，且x≠ 〕的反函數(shù)是：xR，且≠﹣．應(yīng)選D．求反函數(shù)，一般應(yīng)分以下步驟〔〕由解析式y(tǒng)=〔x〕反求出x〔〔〕交換x〔〕中y的〔3〕求出反函數(shù)的定義域〔一般可通過求原函數(shù)的值域的方法求反函數(shù)的定義域．3〔200湖北投擲兩顆骰子得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n則復(fù)〔m+n〔﹣m為實(shí)數(shù)的概率〔 〕A．B．C．D．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的根本概念；古典概型及其概率計(jì)算公式。專題：計(jì)算題。分析：按多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則開放，化簡為a+bi〔a，b∈R〕的形式，虛部為0，求出m、n的關(guān)系，求出滿足關(guān)系的根本大事的個(gè)數(shù)，求出概率即可．解：由于m+nn﹣m=2mn2﹣i為實(shí)數(shù)所以n=2故m=n則可以取，共6種可能，所以 ，應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考察復(fù)數(shù)的根本概念，古典概型及其概率計(jì)算公式，考察分析問題解決問題的力量，是根底題．4〔200?湖北〕函數(shù)y=co〔2x+ 〕2的圖象F按向量a平移到′′的函數(shù)解析式為y=〔x，當(dāng)y=〔〕為奇函數(shù)時(shí)，向量a可以等于．A〔，﹣2〕 B〔，〕C，2〕D，2〕考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換；余弦函數(shù)的奇偶性。專題：計(jì)算題。分析：由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù)y=cos〔2x+ 〕﹣2到y(tǒng)=﹣sin2x的路線，進(jìn)而確定向量．y=co〔2x+

〕﹣2∴將函數(shù)y=cos〔2x+

〕﹣2向左平移 個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位可得到y(tǒng)=cos〔2x+∴=〔

〕=﹣sin2x，2〕應(yīng)選B．5〔200湖北〕將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生能分到一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為〔 〕A．18 B．24 C．30 D．36考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用。專題：計(jì)算題。4 3 分析：由題意知此題可以先做出全部狀況再減去不合題意的結(jié)果，用間接法解四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是C2，挨次有A3種，而甲乙被分在同一個(gè)班的有A34 3 解答：解：∵每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到一個(gè)班，4用間接法解四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是C2，4元素還有一個(gè)排列，有A3種，3而甲乙被分在同一個(gè)班的有A3種，3∴滿足條件的種數(shù)是C2A3﹣A3=30應(yīng)選C．

4 3 3點(diǎn)評(píng)：此題考察排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考察利用排列組合解決實(shí)際問題，是一個(gè)根底題，這種題目是排列組合中經(jīng)常消滅的一個(gè)問題．6〔200湖北〕設(shè)〔+3+++2n〕2]〔 〕A．﹣1 B．0 C．1 D．

+a2nx2n，則

[〔a0+a2+a4+…+a2n〕2﹣考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：此題由于求極限的數(shù)為二項(xiàng)式開放式的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和的平方與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和的平方的差，故可以把x賦值為1代入二項(xiàng)開放式中求出A=++a+3…2n1+2n= 再令x1可得到B=0﹣+2﹣3+4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=

，而求極限的數(shù)由平方差公式可以知道就是式子A與B的乘積，代入后由平方差公式即可化簡為求得答案．解答：解：令x=1和x=﹣1分別代入二項(xiàng)式 +a2nx2n中得a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=

，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=

由平方差公式- ﹣ 得0++4…+2n2﹣+3+++2n10++2++2n1+2n0﹣+2﹣+a﹣5…2n+2n〕- ﹣ ﹣═==所以 [〔a0+a2+a4+…+a2n〕2﹣〔a1+a3+a5+…+a2n1〕2]= =0﹣應(yīng)選擇B點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，主要是二項(xiàng)式系數(shù)和差的考察，并兼顧考察了學(xué)生的計(jì)算力量與劃歸力量以及求極限問題．7〔200?湖北〕雙曲線 的準(zhǔn)線過橢圓 的焦點(diǎn)，則直線y=kx+2與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是〔 〕A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的應(yīng)用；雙曲線的簡潔性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：先求得準(zhǔn)線方程，可推知ab的關(guān)系，進(jìn)而依據(jù)c2=a2﹣b2求得b，橢圓的方程可得，與直線y=kx+2聯(lián)立y0求得k的范圍．解答：解：依據(jù)題意，易得準(zhǔn)線方程是x=±c2=a2﹣b2=4﹣b2=1b2=3所以方程是y=kx+23x2+〔4k2+16k〕x+4=0由△≤0解得K∈[﹣，]

=±1應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關(guān)鍵是先依據(jù)橢圓的性質(zhì)求出橢圓的方程．8〔200湖北”1004輛甲型貨車和84002030010每輛車至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為〔〕A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元考點(diǎn)：簡潔線性規(guī)劃的應(yīng)用。專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合。分析：依據(jù)題中的表達(dá)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式中的線性規(guī)劃問題，利用線性規(guī)劃確定最值解答：解：設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運(yùn)輸費(fèi)用z元，依據(jù)題意，得線性約束條件求線性目標(biāo)函數(shù)z=400x+300y的最小值．解得當(dāng)應(yīng)選B．

時(shí)，zmin=2200．點(diǎn)評(píng)：在確定取得最大值、最小值時(shí)，應(yīng)留意實(shí)際問題的意義，整數(shù)最優(yōu)解．9200?湖北〕設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)〔．假設(shè)球的體積以均勻速度c半徑A．成正比，比例系數(shù)為CB．成正比，比例系數(shù)為2C C．成反比，比例系數(shù)為CD．成反比，比例系數(shù)為2C考點(diǎn)：球的體積和外表積。專題：計(jì)算題；應(yīng)用題。分析：求出球的體積的表達(dá)式，然后球的導(dǎo)數(shù)，推出出球的外表積的增長速度與球半徑的比例關(guān)系．解答：解：由題意可知球的體積為，

，利用面積的導(dǎo)數(shù)是體積，求，則c=′=π2〔′〔，由此可得而球的外表積為S〔〕=π2〔，所以V =′〔=π〔〕=R〕′〔，表即V =8πR〔t〕R′〔t〕=2×4πR〔t〕R′〔t〕=表應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：此題考球的外表積，考察規(guī)律思維力量，計(jì)算力量，是中檔題．10〔200?湖北〕古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種外形來爭論數(shù)，例如：11，3，6，10，…21，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)．以下數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是〔 〕A．289 B．1024C．1225D．1378考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用；歸納推理。專題：計(jì)算題；定義。分析：依據(jù)圖形觀看歸納猜測(cè)出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，再依據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)排解，即可求得結(jié)果．解答：解：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)bn=n2，則由bn=n2〔n∈N+〕可排解D，又由，與 無正整數(shù)解，應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：考察學(xué)生觀看、分析和歸納力量，并能依據(jù)歸納的結(jié)果解決分析問題，留意對(duì)數(shù)的特性的分析，屬中檔題．二、填空題〔5525分〕1200?湖北〕關(guān)于x的不等式 的解集 ，則實(shí)數(shù)a ﹣2 ．考點(diǎn)：其他不等式的解法。專題：計(jì)算題。分析：先利用解分式不等式的方法轉(zhuǎn)化原不等式，再結(jié)合其解集，得到x=﹣是方程ax﹣1=0的一個(gè)根，最終利用方程的思想求解即得．解答：解：∵不等式 ，∴〔a﹣1〔x+〕＜，又∵關(guān)于x的不等式 的解集 ，∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一個(gè)根，〕﹣1=0，∴a=﹣2．故答案為：﹣2．于根底題．12〔200湖北〕如圖是樣本容量為200[10]內(nèi)的頻數(shù)為 64 ，數(shù)據(jù)落在〔2，10〕內(nèi)的概率約為 0.4 ．考點(diǎn)：頻率分布直方圖。專題：計(jì)算題。分析：從直方圖得出數(shù)落在[6，10]內(nèi)的頻率和數(shù)據(jù)落在〔2，10〕內(nèi)的頻率后，再由頻率=，計(jì)算頻數(shù)即得．解答：解：觀看直方圖易得數(shù)落在[6，10]內(nèi)的頻率=0.08×4；數(shù)據(jù)落在〔2，10〕內(nèi)的頻率=〔0.02+0.08〕×4；∴樣本數(shù)落在[6，10]200×0.08×4=64，頻率為0.1×4=0.4．640.4．點(diǎn)評(píng)：此題考察讀頻率分布直方圖的力量和利用統(tǒng)計(jì)圖獵取信息的力量．利用統(tǒng)計(jì)圖獵取信息時(shí)，必需認(rèn)真觀看、分析、爭論統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的推斷和解決問題，同時(shí)考察頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻=．13〔200湖北〕2008“中星九號(hào)”36000km6400km，則“中星九號(hào)”掩蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)的球面距離的最大值約為 12800arccos k〔結(jié)果中保存反余弦的符號(hào)．考點(diǎn)：球面距離及相關(guān)計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：先求出球的半徑，然后求出∠AOB的余弦值，求出角，再求其外接球面上兩點(diǎn)A，B間的球面距離．解答：解：如下圖，可得AO=42400，則在Rt△ABO中可得：cos∠AOB= ，所以l=cosθ×R=2∠AOB?R=12800arccos．球面距離的最大值約為：12800arccos ．故答案為：12800arccos ．點(diǎn)評(píng)：此題考察球面距離的計(jì)算，考察空間想象力量，規(guī)律思維力量，是根底題．14〔200?湖北〕函數(shù)〕=′〔 〕cosx+sin，則〔 〕的值 1 ．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)的值。專題：計(jì)算題。sin〕=cosx及cos〕=sin，求出′x，然后把x等于

代入到f′〔x〕中，利用特別角的三角函數(shù)值即可求出f′〔利用特別角的三角函數(shù)值即可求出f〔

〕的值，把f′〔〕的值．

〕的值代入到f〔x〕后，把x=

代入到f〔x〕中，解答：解：由于f′〔x〕=﹣f′〔 〕?sinx+cosxf′〔f′〔

〕=﹣f′〔〕=﹣1

〕?sin

+cosf〔

〕=f′〔

〕cos +sin = 〔 ﹣1〕+ =11．點(diǎn)評(píng)：此題考察學(xué)生敏捷運(yùn)用求導(dǎo)法則及特別角的三角函數(shù)值化簡求值，會(huì)依據(jù)函數(shù)解析式求自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一道中檔題．15〔200湖北〕數(shù){n滿足=〔m為正整數(shù)n+1= 假設(shè)=1，則m全部可能的取值為 4，5，32 ．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式。分析：假設(shè)a1=m為偶數(shù)，則為偶，故，，當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)，能推導(dǎo)出m=32；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，能推導(dǎo)出m=4；假設(shè)a1=m為奇數(shù)，可得m=5．〔1〕假設(shè)=m為偶數(shù)，則①當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)，

為偶，故故②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， =故 得m=4．〔2〕假設(shè)a1=m為奇數(shù)，則a2=3a1+1=3m+1為偶數(shù)，故… ，所以 =1可得m=5．

必為偶數(shù)故答案為：4，5，32．點(diǎn)評(píng)：此題考察數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，認(rèn)真解答，留意公式的合理運(yùn)用．三、解答題〔675分〕16〔200?湖北〕一個(gè)盒子里裝有4張大小外形完全一樣的卡片，分別標(biāo)有數(shù)23，，；另一個(gè)盒子也裝有4張大小外形完全一樣的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6．現(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機(jī)變量η=x+yη的分布列和數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差。專題：計(jì)算題。分析：隨機(jī)變量η=x+y，依題意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的大事，依據(jù)相互獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生的概率做出概率的值，寫出分布列和期望．解答：解：隨機(jī)變量η=x+yη5，6，7，8，9，10，11得到P〔η=5〕= ；P〔η=6〕=P〔η=7〕=P〔η=9〕=P〔η=11〕=

；P〔η=8〕=；P〔η=10〕=∴η的分布列為η η 5P67891011∴Eη=5×

+6×

+7×

+8×

+9×

+10× +11× =8點(diǎn)評(píng)：此題考察離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考察相互獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生的概率，考察利用概率學(xué)問解決實(shí)際問題，此題是一個(gè)綜合題目．17〔200?湖北〕向〔co，siα=〔coβ，si=〔，0．求向量設(shè)α=

的長度的最大值；，⊥，求coβ的值．考點(diǎn)：平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模；數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系。專題：計(jì)算題。分析〔1〕利用向量的運(yùn)算法則求出 ，利用向量模的平方等于向量的平方求出 的平方，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將其化簡，利用三角函數(shù)的有界性求出最值．〔2〕利用向量垂直的充要條件列出方程，利用兩角差的余弦公式化簡得到的等式，求出值．解答解〔1〕 =〔co1，si，則| 2=〔co﹣2+si2=2〔﹣co．∵﹣coβ，∴0| 24，即0|

2．當(dāng)co=﹣1|b+c|2所以向量的長度的最大值為2．〔2〕由〕可得 =〔co﹣，si，〔 〕=coco+sisi﹣co=co〔〕﹣co．∵⊥〔∴〔

，=0，即co〔=co．由

﹣=cos，即﹣

=2kπ±

〔k∈Z，∴=2k+ 或=2k，∈Z，于是co=0或co=1．點(diǎn)評(píng)：此題考察向量模的性質(zhì)：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要條件；三角函數(shù)的平方關(guān)系、三角函數(shù)的有界性、兩角差的余弦公式．18〔2009湖北〕如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形SD⊥平面ABCDSD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE=〔0〕〔Ⅰ〕求證：對(duì)任意的∈〔，2，都有AC⊥BE〔Ⅱ〕設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，假設(shè)taθta=1，求的值．考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面所成的角；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題。專題：計(jì)算題；證明題?！矌缀畏ā并瘛秤捎赟⊥平面ABCBD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理只要證AC⊥BD即可．〔Ⅱ〕θφSD⊥平面ABCD知，∠DBE=φC﹣AE﹣D的平面角可由三垂線定理法作出．再用λ表示出tanθtanφ，代入tanθ?tanφ=1，解方程即可．〔向量法〕由于DADDS兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求解．〔Ⅰ〕寫出向量和的坐標(biāo)，只要數(shù)量積為0即可．〔Ⅱ〕分別求出平面ACE的法向量、平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量，由夾角公式求出cosθsinφ，再由tanθ?tanφ=1求解即可．〔Ⅰ〕證法：如圖，連接B、B，由地面ABCD是正方形可得AB．∵SD⊥平面ABCD，∴BDBE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE〔Ⅱ〕11，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD，CD?ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．連接AE、CE，過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DE⊥AEFCFCF⊥AE，故∠CDF是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CDF=θ．Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a從而DF=在Rt△CDF中，tanθ= ．tanθ?tanφ=1，得0＜λ≤2，解得

即，即為所求．

=2，所以λ2=2．〔Ⅰ〕2：以D為原點(diǎn)，以DA．DC．DS的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如2所示的空間直角坐標(biāo)系，則D0，，0A，0，，0，C〔，，〔00，∴ ，∴〔Ⅱ〕2：由〔I〕得

，即AC⊥BE．．設(shè)平面ACE的法向量為n〔，，，則由 ，得 即 取，得 ．易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為與．∴ ， ．∵0＜θ＜，λ＞0∴ta?ta=θ+si=cos? 由0＜λ≤2，解得，即為所求．點(diǎn)評(píng)：此題考察空間線線垂直的證明、空間垂直之間的相互轉(zhuǎn)化、空間角的求解，考察規(guī)律推理力量和運(yùn)算力量．19〔200?湖北〕數(shù)列n的前n項(xiàng)和令bn=2nan，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．令，試比較Tn與的大小，并予以證明．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)歸納法。﹣分析〔由題意知S=11+2=所以n=n﹣1n1+，﹣﹣﹣〔2〕 ， ，利用錯(cuò)位相減求和法可知Tn與

的大小關(guān)系等價(jià)于比2n2n+1的大?。聹y(cè)當(dāng)n=1，2時(shí)，2n＜2n+1n≥3時(shí)，2n＞2n+1．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．〔1〕n≥2時(shí)，所以所以

2nan=2n﹣1an1+1

中，令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即﹣bn=2nan，所以bn=bn﹣1+1，即當(dāng)n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1=1﹣b1=2a1=1，所以數(shù)列bn1的等差數(shù)列于是bn=1+〔n﹣1〕?1=n=2nan，所以〔2〕1〕得所以①②由①﹣②得所以于是確定Tn與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2n與2n+1的大?。聹y(cè)當(dāng)n=1，2時(shí)，2n＜2n+1，當(dāng)n≥3時(shí)，2n＞2n+1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：n=3時(shí)，明顯成立假設(shè)當(dāng)n=k〔k≥3〕時(shí)，2k＞2k+1成立則當(dāng)n=k+1時(shí)，2k+1=2?2k＞2〔2k+1〕=4k+2=2〔k+1〕+1+〔2k﹣1〕＞2〔k+1〕+1所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜測(cè)也成立．于是，當(dāng)n≥3，n∈N*時(shí)，2n＞2n+1成立綜上所述，當(dāng)n=1，2時(shí)， ，n≥3時(shí)，點(diǎn)評(píng)：此題考察當(dāng)數(shù)列的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，留意挖掘隱含條件，解題時(shí)要留意數(shù)學(xué)歸納法的解題過程．20〔200?湖北〕某區(qū)從近期賣出的不同面積的商品房中隨機(jī)抽取1000110m2～130m2的商品房 150 套．考點(diǎn)：頻率分布直方圖。專題：圖表型。分析：依據(jù)頻數(shù)直方圖的意義，其他組的商品房的頻數(shù)之和，又有總數(shù)為1000110m2130m2的商品房的頻數(shù)．解答：解：由頻數(shù)直方圖可以看出：110m2130m21000﹣50﹣300﹣450﹣50=150套．故答案為：150．點(diǎn)評(píng)：此題考察讀頻數(shù)分