廣東省中山市2021-2022學年高二上學期期末數學試題（含解析）

中山市高二級2021-2022學年度第一學期期末統(tǒng)一考試數學試卷本試卷滿分150分.考試時間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線SKIPIF1<0的傾斜角為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】先求出直線的斜率，再根據傾斜角與斜率的關系即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0得，直線的斜率為SKIPIF1<0，根據傾斜角SKIPIF1<0與斜率的關系得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C2.已知復數z滿足SKIPIF1<0(i為虛數單位)，則復數z的共軛復數SKIPIF1<0()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由復數的除法運算與共軛復數的定義求解即可【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D3.已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A.-1 B.SKIPIF1<0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得到所以數列SKIPIF1<0是以3為周期的周期數列求解.【詳解】解：因為數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是以3為周期的周期數列，所以SKIPIF1<0，故選：A4.過點SKIPIF1<0引直線，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】就直線與SKIPIF1<0平行或過SKIPIF1<0的中點可求直線的方程.【詳解】若過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0平行，因為SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.若過SKIPIF1<0的直線過SKIPIF1<0的中點，因為SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故選：D.5.已知SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點，過SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0作其準線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的橫坐標是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.1【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義，結合已知條件，求出SKIPIF1<0的長，進而求得SKIPIF1<0，再結合拋物線的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，拋物線SKIPIF1<0的焦點坐標為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0作其準線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，根據拋物線的定義，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0.故選：A.6.將邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0(及其內部)繞SKIPIF1<0旋轉一周形成圓柱，如圖，SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的同側.則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大小為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】以O為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，利用空間向量法可計算出異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的余弦值，即可得解.【詳解】以O為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因此，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0.故選：B.【點睛】本題考查利用空間向量法求解異面直線所成角的大小，考查計算能力，屬于中等題.7.設數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A.243 B.244 C.486 D.488【答案】C【解析】【分析】通過SKIPIF1<0，求出數列的通項公式，代入計算即可.【詳解】由SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，②②-①：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0以首項為SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比數列所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：C.8.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點SKIPIF1<0是橢圓上任意一點，以SKIPIF1<0為直徑作圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0(點SKIPIF1<0不在橢圓內部)，則SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0 B.4 C.3 D.1【答案】C【解析】【分析】利用向量數量積運算可得SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，進一步利用橢圓的定義可轉化為SKIPIF1<0，進而得解.【詳解】連接SKIPIF1<0,設橢圓的基本量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故答案為：3.【點睛】本題考查橢圓的定義與平面向量的數量積的運算，屬中檔題，關鍵是利用向量的數量積運算進行轉化，并結合橢圓的定義計算.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列命題正確的是()A.若SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0等差數列B.若SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0為等比數列C.若數列SKIPIF1<0是等差數列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列D.若數列SKIPIF1<0是等比數列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列【答案】AC【解析】【分析】對于A，C，利用等差數列定義判斷即可，對于B，D，通過舉反例判斷【詳解】解：對于A，由等差數列的定義可知當SKIPIF1<0時，數列SKIPIF1<0為等差數列，所以A正確；對于B，當SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，但數列SKIPIF1<0不是等比數列，所以B錯誤；對于C，數列SKIPIF1<0是等差數列，數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，所以C正確；對于D，當等比數列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為零，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不成等比數列，所以D錯誤，故選：AC10.(多選)已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0.則以下幾個命題正確的有()A.直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0 B.圓SKIPIF1<0被SKIPIF1<0軸截得的弦長為SKIPIF1<0C.直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恒相交 D.直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得最長弦長時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【分析】求出直線所過定點坐標，再根據直線與圓的位置關系判斷．【詳解】直線SKIPIF1<0方程整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，A正確；在圓方程中令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0軸上弦長為SKIPIF1<0，B正確；SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在圓內，直線與圓一定相交，C正確；直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得弦最長時，直線過圓心SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．D錯．故選：ABC．【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與圓的位置關系，直線過定點問題．(1)直線方程整理為關于參數的方程，然后由恒等式知識可得定點坐標．(2)直線與圓的位置關系的判斷，若直線所過定點在圓內，則直線與圓相交，若定點在圓上，則直線與圓相交或相切，定點在圓外，直線與圓的三種位置關系都有可能．(3)直線過圓心時弦長最長，直線所過定點是弦中點時，弦長最短．11.已知空間四點SKIPIF1<0，則下列說法正確的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.點O到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0 D.O，A，B，C四點共面【答案】ABC【解析】【分析】計算數量積判斷A，求向量夾角判斷B，利用向量垂直判斷C，根據空間向量共面定理判斷D．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0，B正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點O到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，C正確；SKIPIF1<0，假設若O，A，B，C四點共面，則SKIPIF1<0共面，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此方程組無解，所以O，A，B，C四點不共面，D錯．故選：ABC．12.過雙曲線SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則()A.若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0只有SKIPIF1<0條 B.若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0有SKIPIF1<0條C.若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0有SKIPIF1<0條 D.若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0有SKIPIF1<0條【答案】ABD【解析】【分析】先由雙曲線方程得到焦點坐標和漸近線方程，再對直線SKIPIF1<0的斜率進行討論，利用弦長公式即可判斷.【詳解】因為雙曲線SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，該雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入雙曲線，得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0的斜率存在，可設SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，可設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0聯(lián)立可得SKIPIF1<0，為使SKIPIF1<0與雙曲線有兩個不同的交點，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.A選項，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0無解，因此若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程只有SKIPIF1<0，A正確；B選項，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，B正確；C選項，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，C正確；D選項，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因此，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.13.已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則直線SKIPIF1<0的方程為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由兩個圓的方程相減后可得直線SKIPIF1<0的方程.【詳解】因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點故SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.14.若數列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于___________.【答案】30【解析】【分析】由通項公式可得SKIPIF1<0，從而數列項兩兩結合進行求和.【詳解】解：由題意，數列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為:30.【點睛】方法點睛:求和的常見方法有：等差、等比數列公式法；錯位相減法；裂項相消法；并向求和法等.15.空間直角坐標系SKIPIF1<0中，過點SKIPIF1<0且一個法向量為SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且方向向量為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0是兩個平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交線，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據題意，結合材料，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，即可求解.【詳解】根據材料可知，由平面SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，同理可知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別為平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的法向量.設直線SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.16.拋物線的光學性質：平行于拋物線的對稱軸的光線經拋物線反射后經過拋物線的焦點SKIPIF1<0雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上SKIPIF1<0這些性質可以應用在天文望遠鏡的設計等方面SKIPIF1<0卡塞格林式望遠鏡是由兩塊反射鏡組成的望遠鏡，如圖SKIPIF1<0中心截面示意圖SKIPIF1<0所示SKIPIF1<0反射鏡中大的稱為主鏡，小的稱為副鏡，通常在主鏡的中央開孔，成像于主鏡后面.主鏡是凹拋物面鏡SKIPIF1<0中心截面是拋物線SKIPIF1<0，當來自天體平行對稱軸的光線投射到主鏡上，經過主鏡反射，將會匯聚到卡塞格林焦點F處，但光線尚未完全匯聚時，又受到以F為焦點的凸雙面鏡SKIPIF1<0中心截面是雙曲線D的一支SKIPIF1<0的反射，穿過主鏡中心孔后匯聚于另一個焦點SKIPIF1<0處SKIPIF1<0以SKIPIF1<0的中點為原點，SKIPIF1<0為x軸，建立平面直角坐標系SKIPIF1<0若SKIPIF1<0單位：米SKIPIF1<0，則拋物線C的方程為___________凹拋物面鏡的口徑MN為SKIPIF1<0，凸雙面鏡的口徑ST為SKIPIF1<0，若所有被凹拋物面鏡匯聚的光線恰好都能被凸雙曲面鏡反射，則雙曲線D的離心率為___________.【答案】①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】根據拋物線C的焦點坐標為SKIPIF1<0，求得其方程；根據SKIPIF1<0，求得M的坐標，由ST=SKIPIF1<0，求得S的縱坐標，再根據SKIPIF1<0，求得其橫坐標，再根據雙曲線的焦點為F，設雙曲線方程為SKIPIF1<0，將S的坐標代入求解.【詳解】因為曲線C的焦點坐標為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則拋物線C的方程為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，因為ST=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又雙曲線的焦點為F，則SKIPIF1<0，所以雙曲線方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入上式，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四、解答題：本大題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓SKIPIF1<0過三個點SKIPIF1<0.(1)求圓SKIPIF1<0的方程；(2)過原點SKIPIF1<0的動直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于不同的SKIPIF1<0兩點，求線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)設圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，列出方程組，求得SKIPIF1<0的值，即可求得圓SKIPIF1<0的方程；(2)根據題意得到SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，得到以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程，再聯(lián)立兩圓的方程組，求得交點坐標，即可得到點SKIPIF1<0的軌跡方程.【小問1詳解】解：設圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0過三個點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【小問2詳解】解：因為SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.18.如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夾角大小.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根據線面垂直的判定定理，結合面面垂直的判定定理進行證明即可；(2)建立空間直角坐標系，利用空間平面向量夾角公式【小問1詳解】如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.由題意可知，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；【小問2詳解】由(1)可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，故可以SKIPIF1<0點為坐標原點，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.19.記數列SKIPIF1<0的前n項之積為SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0為等比數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為等比數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)設SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即得解；(2)設等比數列SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即得解.【小問1詳解】解：設SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項之積，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【小問2詳解】解：設等比數列SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足上式，即SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.20.已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)過點SKIPIF1<0作動直線SKIPIF1<0與橢圓交于A，SKIPIF1<0兩點，過點A作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0過定點.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據橢圓的定義，結合題干條件，可求得a、c值，根據a，b，c的關系，可求得b值，即可得答案.(2)當直線SKIPIF1<0不與x軸平行時，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線與橢圓聯(lián)立，根據韋達定理，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表達式，化簡計算，可得直線BN的方程，即可求得定點；當直線SKIPIF1<0平行x軸時，經檢驗符合題意，即可得證.【詳解】(1)解：由橢圓定義知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0.(2)證明：當直線SKIPIF1<0不與x軸平行時，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又SKIPIF1<0，所以直線BN的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0③，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0④，將①?②式代入④式化簡得：SKIPIF1<0⑤，⑤代入③化簡得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.當直線SKIPIF1<0平行x軸時，交點A，SKIPIF1<0為長軸兩個端點，則直線BN為x軸，經過點SKIPIF1<0.綜上：直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.【點睛】解題的關鍵是熟練掌握橢圓的定義、韋達定理的應用等知識，易錯點為：設直線SKIPIF1<0時，需檢驗與x軸平行的直線是否滿足題意.21.容器A內裝有6升濃度為20%的酒精水溶液，容器B內裝有4升濃度為5%的酒精水溶液，先將A內的酒精水溶液倒1升進入B內，再將B內的酒精水溶液倒1升進入A內，稱為一次操作；這樣反復操作n次，A、B容器內的酒精水溶液濃度分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(酒精水溶液濃度=(酒精水溶液中乙醇體積/酒精水溶液總體積)×100%)(1)請計算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并判斷數列SKIPIF1<0是否為等比數列?若是，求出其通項公式；若不是，請說明理由；(2)至少要經過幾次操作，A、B兩容器中溶液濃度之差小于1%?(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)(3)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的表達式.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是，SKIPIF1<0；(2)至少要操作7次才能達到要求；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)先根據題意求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求出SKIPIF1<0，得到數列SKIPIF1<0為等比數列，并求出通項公式；(2)在第一問的基礎上列出不等式，解不等式求出答案；(3)根據SKIPIF1<0與SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由累加法求出SKIPIF1<0，并求出SKIPIF1<0.【小問1詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數列，所以SKIPIF1<0；【小問2詳解】由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以至少要操作7次才能達到要求；【小問3詳解】由(1)知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.22.如圖所示，定點SKIPIF1<0到定直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.動點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0的距離等于它到定直線SKIPIF1<0距離的2倍.設動點SKIPIF1<0的軌跡是曲線SKIPIF1<0.(1)請以線段SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，以線段SKIPIF1<0上的某一點為坐標原點SKIPIF1<0，建立適當的平面直角坐標系SKIPIF1<0，使得曲線SKIPIF1<0經過坐標原點SKIPIF1<0，并求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)請指出(1)中的曲線SKIPIF1<0的如下兩個性質：①范圍；②對稱性.并選擇其一給予證明.(3)設(1)中的曲線SKIPIF1<0除了經過坐標原點SKIPIF1<0，還與SKIPIF1<0軸交于另一點SKIPIF1<0，經過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)建系答案見解析，SKIPIF1<0；(2)答案見解析；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據“定點SKIPIF1<0到定直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.動點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0的距離等于它到定直線SKIPIF1<0